Кинематический анализ механизма

Цели кинематического анализа:

1.Определение кинематических характеристик механизма: перемещений, скоростей и ускорений отдельных точек звеньев, угловых скоростей и ускорений звеньев;

2.Оценка кинематических условий работы рабочего (выходного) звена.

3.Определение необходимых численных данных для проведения силового, динамического, энергетического и других расчётов механизма.

Графоаналитический метод кинематического анализа

Графоаналитический метод называют методом планов скоростей и ускорений. Задачи о скоростях и ускорениях решаются построением планов скоростей и ускорений звеньев механизма при определённых (заданных) положениях ведущего звена на основе заранее составленных векторных уравнений скоростей и ускорений звеньев механизма.

Планы скоростей и ускорений шарнирного четырёхзвенника

При решении задач такого типа известны угловая скорость w ₁ ведущего звена 1 – кривошипа, длины звеньев и координаты неподвижных точек.

Последовательность решения задачи:

1. Строится схема механизма (рис. 3) в выбранном масштабе длин:

, м/мм,

где L_OA – длина кривошипа, м; AO – длина отрезка, изображающего кривошип на плане механизма, мм.

Рисунок 3. Схема шарнирного четырехзвенника

Для построения плана механизма остальные длины звеньев и координаты неподвижных точек шарнирного четырехзвенника (рис.3) переводятся масштабом длин m _L в отрезки:

AB = L_AB / m _L, мм,

BC = L_BC / m _L, мм,

OC = L_OC / m _L, мм.

2. Составляются векторные уравнения линейных скоростей отдельных точек, принадлежащих звеньям механизма.

Векторное уравнение для звена 2 (шатун):

V_В = V_А + V_ВА, (1.1)

где V_А = V_АО – скорость точки А, которая равна скорости точки А относительно оси вращения кривошипа точки О; V_ВА – вектор относительной скорости точки В шатуна относительно А имеет направление, перпендикулярное отрезку АВ на плане механизма.

Векторное уравнение для звена 3 (коромысло)

V_В = V_С + V_ВС. (1.2)

Так как точка С (ось вращения коромысла 3) неподвижна, то её скорость равна нулю (V_С = 0), а вектор относительной скорости точки В относительно С (V_ВС) имеет направление, перпендикулярное отрезку ВС на плане механизма.

3. Строится план скоростей механизма – это не что иное, как графическое изображение на чертеже векторных уравнений (1.1) и (1.2) в каком-либо масштабе.

План скоростей механизма и его свойства

План скоростей желательно строить рядом с планом механизма (рис. 4). Предварительно рассчитывается скорость точки А кривошипа:

, м/с.

Затем выбирается масштаб плана скоростей m _u по соотношению

, ,

где u _A – скорость точки А, м/с; P_Va – длина отрезка, изображающего на будущем плане скоростей скорость V_A, выбирается произвольной длины в мм; при выборе желательно придерживаться условий: во-первых, план скоростей должен размещаться на отведённом месте чертежа, во-вторых, численное значение масштаба m _u должно быть удобным для расчётов (m _u должно быть круглым числом).

После этого можно приступать к построению плана скоростей механизма. Его следует проводить в последовательности, соответствующей написанию векторных уравнений (1.1) и (1.2).

Сначала проводится из произвольно выбранной рядом с планом механизма точки Р _u (полюса плана скоростей) вектор скорости V_А, который перпендикулярен отрезку ОА на плане механизма и имеет длину P_Va, выбранную нами при определении масштаба плана скоростей m _u. Затем через точку a проводится линия, перпендикулярная отрезку АВ плана механизма, а через полюс P_V – линия, перпендикулярная отрезку ВС. Пересечение этих линий даёт точку b. В соответствии с векторными уравнениями (1.1) и (1.2) на построенном плане наносятся направления (стрелки) векторов V_Ви V_ВА.

Определим скорость точки К, принадлежащей шатуну. Для неё можно записать векторные уравнения скоростей:

V_К = V_А + V_КА,

V_К = V_В + V_КВ,

где вектор скорости V_КА перпендикулярен отрезку АК на плане механизма, а вектор V_КВ – отрезку КВ.

Построением этих векторных уравнений получаем точку k на плане скоростей. При этом из точки a плана скоростей проводим линию, перпендикулярную отрезку АК, а через точку b плана скоростей – линию, перпендикулярную отрезку ВК плана механизма. Величину скорости точки К можно вычислить по формуле

V _К = (Р_V k ) m _V,

где Р_V k – длина соответствующего вектора на плане скоростей.

Можно заметить, что треугольники на плане скоростей и плане механизма подобны:

так как стороны их взаимно перпендикулярны. Это свойство можно использовать для определения скорости любой другой точки, принадлежащей какому-либо звену механизма. Отсюда следует теорема подобия: отрезки относительных скоростей на плане скоростей образуют фигуру, подобную фигуре соответствующего звена на плане механизма. Стороны фигур взаимно перпендикулярны.

Рисунок 4. Планы скоростей и ускорений

Угловые скорости шатуна 2 и коромысла 3 рассчитываются по формулам

, c^-1,

, c^-1.

Направления угловых скоростей определяются по направлениям векторов V_ВАи V_BC. Для этого вектор V_ВА условно переносится в точку В плана механизма. Куда он будет вращать шатун 2 относительно точки А, в ту сторону и будет направлена угловая скорость шатуна ω₂.

Аналогично поступают со скоростью V_ВА. В каком направлении будет вращаться коромысло относительно точки С, туда и будет направлена угловая скорость ω₃.

План ускорений механизма и его свойства

Последовательность построения плана ускорений рычажного механизма аналогична построению плана скоростей. Примем угловую скорость кривошипа постоянной (w ₁ = const, что является наиболее распространённым и рациональным видом движения в реальных механизмах).

Векторное уравнение ускорений для звена 1 (кривошип)

а_А= а_АО = а ⁿ _АО+ а^τ_АО,

где нормальная составляющая ускорения точки A относительно O рассчитывается по формуле .

Вектор аⁿ _АО параллелен отрезку АО на плане механизма. Тангенциальная составляющая ускорения а^τ_АО рассчитывается по формуле

В нашем случае угловое ускорение кривошипа e ₁ = 0, тогда .

Векторное уравнение ускорений для звена 2 (шатун)

а_В= а_А + а ⁿ _ВА+ а^τ_ВА,

где нормальная составляющая ускорения точки В относительно точки А рассчитывается по формуле .

Вектор аⁿ _ВА параллелен отрезку АВ и направлен от В к А, а тангенциальная составляющая а^τ_ВА, перпендикулярна АВ.

Векторное уравнение ускорений для звена 3 (коромысла)

а_В= а_С + а ⁿ _ВС+ а^τ_ВС,

где ускорение точки С а_С = 0; нормальная составляющая ускорения точки В относительно точки С рассчитывается по формуле .

Вектор аⁿ _ВС направлен параллельно отрезку ВС плана механизма от В к С, а вектор– а^τ_ВС перпендикулярно ВС.

Выбираем масштаб плана ускорений: , , где Р_аа^’ – длина отрезка, изображающего ускорение на плане ускорений. Его длина выбирается произвольно из расчета, чтобы план ускорений разместился на отведенном месте чертежа и численное значение μ_а было удобным для расчетов (μ_а должно быть круглым числом).

Тогда ускорение аⁿ _ВА будет изображаться на плане ускорений вектором, имеющим длину , мм, а ускорение аⁿ _ВС – вектором длиной , мм.

Затем строится план ускорений (рис. 2.2) с использованием составленных векторных уравнений ускорений. Из произвольно выбранного полюса Р_а параллельно отрезку ОА плана механизма проводится вектор ускорения , длина которого Р_аа′ была выбрана произвольно при расчете масштаба μ_а. Из конца этого вектора (точки а′) проводится вектор ускорения длиной а′ n ₂, который должен быть параллелен отрезку АВ плана механизма и направлен от точки В к точке А. Перпендикулярно ему через точку n ₂ проводят прямую. Затем из полюса Р_а проводят вектор ускорения длиной Р_а n ₃. Перпендикулярно ему через точку n ₃ проводят прямую до пересечения с прямой, проведенной через точку n ₂ перпендикулярно отрезку АВ. Точка пересечения обозначается буквой b ′, которая, будучи соединена с полюсом Р_а, образует отрезок Р_а b ′, изображающий вектор полного ускорения точки В.

Используя план ускорений, можно вычислить ускорения

Запишем

( ,)

где w ₂ и e ₂ – угловые скорость и ускорение шатуна.

где w ₂ и e ₂ не зависят от выбора (расположения) полюса Р_а плана ускорений, а отношение масштабов постоянно (m _L / m _a= const) для данного плана ускорений. Поэтому для любой точки (например, К, принадлежащей шатуну) можно записать пропорции

Отсюда формулируется теорема подобия: отрезки полных относительных ускорений на плане ускорений образуют фигуру, подобную соответствующей фигуре звена на плане механизма.

Величину ускорения точки К можно вычислить по формуле

Для точки D, лежащей на шатуне

Следовательно:

Угловые ускорения звеньев шатуна , c^-1, направление e₂ определяются по а^τ_ВА; угловые ускорения звеньев коромысла , c^-1, направление e₃ – по а^τ_Вс.

Так как w₂ и e₂ направлены в противоположные стороны, вращение шатуна является замедленным.

Силовой анализ механизма

При проведении силового анализа решаются основные задачи:

1. Определение реакций в кинематических парах механизмов, находящихся под действием заданных внешних сил. Эти реакции затем используются для расчёта звеньев и элементов кинематических пар (например, подшипников) на прочность, жёсткость, долговечность и т.д.

2. Определение уравновешивающей силы или уравновешивающего момента , приложенных к ведущему звену. Они уравновешивают внешние силы, приложенные к механизму. Эти величины нужны, например, для выбора двигателя, приводящего в движение данный механизм.

Пример силового расчета структурной группы II класса

Предварительные вычисления для каждого звена:

1) Определяем силу тяжести звена:

2) Определяем главный вектор сил инерции: , - ускорение центра масс i-го звена определяем по плану ускорений для данного положения механизма.

3) Определяем главный момент сил инерции звена: ,

– момент инерции i-го звена относительно главной центральной оси, проходящей через центр масс звена (точка ), для кривошипа – .

- угловое ускорение звена, модуль и направление определяют из плана ускорений (через касательное ускорение относительного вращения).

Задан план структурной группы в масштабе .

Рисунок 5. Схема нагружения группы Ассура

К звеньям приложены: силы тяжести, равнодействующие сил инерции и моменты сил инерции (рис. 5) .

Требуется найти значения и направления реакций: в шарнире А - (реакция первого звена на второе), в шарнире С - (реакция четвертого звена на третье), во внутреннем шарнире B - .

Порядок расчета

1) Во внешних шарнирах А и С неизвестные реакции раскладываем на составляющие: , . Нормальные составляющие направлены вдоль линий, соединяющих центры шарниров, касательные им перпендикулярны. Направление векторов выбираем произвольно, так как они пока неизвестны.

2) Рассматриваем равновесие звена 2 и определяем силу , составив уравнение моментов сил звена 2 относительно точки B:

Плечи определяем непосредственными измерениями на чертеже. Если сила получится со знаком минус, то в дальнейших расчетах нужно изменить ее направление.

3) Аналогично определяем силу , рассмотрев равновесие звена 3 и составив уравнение уравнения моментов сил относительно точки В:

4) Рассматриваем равновесие всей группы в целом и определяем силы , из уравнения:

В соответствии с этим уравнением строим план сил для всей группы Ассура (рис. 6).

Начиная с произвольно выбранной точки строим силовой многоугольник, задавшись масштабом . Начинаем построение с известных сил в следующей последовательности : и заканчиваем , . Силы и , и должны следовать друг за другом. Проводим через точку с линию, параллельную и через точку о линию, параллельную силе , находим пересечение этих линий – точку е.

Рисунок 6. План сил группы Ассура

Определяем искомые значения нормальных составляющих:

Соединив точки е и а получим полную силу :

Разумеется, что .

Соединив точки е и d получим полную силу :

Разумеется, что .

5) Рассматриваем равновесие звена 2 и определяем силу

Сумма первых трех векторов на плане сил уже построена. Из конца вектора (из точки в) проводим прямую в начало вектора (точку е). Получаем силу , замыкающую многоугольник сил, действующих на звено 2. Истинная величина этой силы:

Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 343; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 4 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!