Момент инерции материальной точки.

Величина

является моментом инерции тела относительно оси вращения.

Из этого выражения следует, что момент инерции вычисляется путем суммирования по всем частицам тела. В случае непрерывного распределения массы тела по его объему естественно перейти от суммирования к интегрированию, вводя плотность тела. Если тело однородно, то плотность определяется отношением массы к объему тела:

Для тела с неравномерно распределенной массой плотность тела в некоторой точке определяется производной

Момент инерции представим в виде:

где DV — микроскопический объем, занимаемый точечной массой.

Поскольку твердое тело состоит из большого числа частиц, практически непрерывно заполняющих весь занимаемый телом объем, в выражении (1.94) микроскопический объем можно считать бесконечно малым, в то же время полагая, что точечная масса «размазана» по этому объему. Фактически мы производим сейчас переход от модели точечного распределения масс к модели сплошной среды, какой в действительности и является твердое тело благодаря большой его плотности. Произведенный переход позволяет в формуле (2.94) заменить суммирование по отдельным частицам интегрированием по всему объему тела:

16.Момент инерции тела. Теорема Штейнера.

См. билеты номер 12 и 15.

В общем случае вращения тела произвольной формы вокруг произвольной оси, вычисление момента инерции может быть произведено с помощью теоремы Штейнера: момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции J0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

J=Jс+ma^2.

Например, момент инерции диска относительно оси О' в соответствии с теоремой Штейнера:

Определение момента инерции тонкого стержня

Пусть тонкий стержень имеет длину l и массу m. Разделим его на малые элементы длины dx (рис.27), масса которых . Если выбранный элемент находится на расстоянии x от оси, то его момент инерции , т.е.
Интегрируя последнее соотношение в пределах от 0 до l/2 и удваивая полученное выражение (для учета левой половины стержня), получим

(п.1)

Момент инерции тонкого диска.

Вычислим момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр (рис.).

Поскольку диск однороден, плотность можно вынести из-под знака интеграла. Элемент объема диска dV = 2πr·b·dr, где b— толщина диска. Таким образом,

где R — радиус диска. Введя массу диска, равную произведению плотности на объем диска π·R2 b, получим: .

Момент инерции шара.

Сплошной шар массы m и радиуса R можно рассматривать как совокупность бесконечно тонких сферических слоев с массами dm , радиусом r, толщиной dr (рис.35).

Рассмотрим малый элемент сферического слоя delta m с координатами x, y, z. Его моменты инерции относительно осей проходящих через центр слоя -delta J_x, delta J_y, delta J_z, равны

Т. е. можно записать (п.26)

Так как для элементов сферического слоя x²+y²+z²=r² то

После интегрирования по всему объему слоя получим (п.27)

Так как, в силу симметрии для сферического слоя dJ_x=dJ_y=dJ_z=dJ , а , то
Интегрируя по всему объему шара, получаем

Окончательно (после интегрирования) получим, что момент инерции шара относительно оси, проходящей через его центр равен (п.28)

21.Поле. Силовое поле. Работа и кинетическая энергия

Рассмотрим тело или систему тел в отсутствие внешних сил. Система тел, на которую не действуют внешние силы (или векторная сумма этих сил равна нулю), является замкнутой. В этом случае F=0.

В отсутствие внешних сил сохраняется еще одна скалярная величина. Если умножить уравнение одновременно слева и справа на вектор скорости, в левой части окажется производная от полного дифференциала, и уравнение примет вид

Пусть F = 0. Тогда постоянной во время движения является величина

Она называется кинетической энергией частицы. При отсутствии внешних сил, т. е. в замкнутой системе, сохраняется кинетическая энергия как в случае одного тела, так и для системы тел. Когда на частицу действует внешняя сила F, кинетическая энергия не остается постоянной. В этом случае приращение кинетической энергии за время dt равно скалярному произведению . Величина dA = — это работа, совершаемая силой F на пути dr .

Проинтегрируем соотношение вдоль некоторой траектории от точки 1 до точки 2:

Левая часть представляет собой приращение кинетической энергии на пути между точками 1 и 2, а величина есть работа силы на пути 1—2.

Таким образом, работа сил, действующих на частицу, расходуется на изменение ее кинетической энергии:

Соответственно, изменение кинетической энергии частицы служит мерой работы, произведенной над частицей.

Если частица в каждой точке пространства подвержена действию других тел, то говорят, что эта частица находится в поле сил. В случае силового поля действие силы распределено по всему пространству. Рассмотрим такое поле сил, действие которого на частицу зависит только от положения частицы в пространстве. Такое поле можно описать с помощью некоторой скалярной функции φ(r), зависящей, а соответствии со сказанным, только от координат. Это случай специального, но часто встречаемого в природе потенциального поля, а функция φ(r), характеризующая поле, является потенциалом поля. Сила связана с потенциалом в каждой точке соотношением

где постоянная определяется свойствами частицы, взаимодействующей с полем сил.

Подставим соотношение ,в и опять проинтегрируем вдоль траектории от точки 1 до точки 2. Получим : T ₂ - T ₁ +const(φ₂ - φ₁) = О,

т.е. величина T ₂ +const ·φ₂ = T ₁ +const ·φ₁

остается постоянной при движении вдоль траектории. Таким образом, для частицы в потенциальном поле внешней силы сохраняется, т. е. является интегралом движения, величина E = T+const·φ(r).

Величина U = const·φ(r) называется потенциальной энергией частицы в поле φ(r), а выражение представляет собой полную механическую энергию частицы E = T + U.

Работа и энергия.

Работа равнодействующей силы на элементарное перемещение частицы ведет к приращению ее кинетической энергии (теорема о кинетической энергии):

В случае конечного перемещения частицы, будем иметь ,

т.е. работа равнодействующей силы, действующей на частицу, независимо от природы этой силы, равна приращению кинетической энергии частицы. Если работа положительна, то кинетическая энергия частицы возрастает. Силы сопротивления уменьшают кинетическую энергию частицы.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n частиц, которые имеют кинетические энергии .

Кинетическая энергия i-той частицы равна работе равнодействующей силы, действующей на эту частицу: . Полная работа сил, действующих на систему, будет

где величина есть сумма кинетических энергий составляющих систему частиц, и называется кинетической энергией системы. Следовательно, полная работа сил, действующих в системе, равна приращению ее кинетической энергии.

Диссипативные силы, их работа.

Действующие в системе силы мы разделяем на внешние и внутренние, а по характеру совершаемой ими работы - на консервативные и неконсервативные силы. Работу консервативных сил всегда можно представить в виде убыли скалярной функции - потенциальной энергии, зависящей от координат.

К классу неконсервативных сил относятся диссипативные силы.

Диссипативные силы – это силы трения и сопротивления. Выяснение физической природы диссипативных сил выходит за рамки механики. Отметим только, что это сложно устроенные силы электромагнитной природы. Так что, здесь мы ограничимся изложением экспериментально полученных законов трения.

В отличие от сил упругости, кулоновских сил и сил всемирного тяготения, которые зависят только от взаимного положения взаимодействующих частиц, силы трения зависят от относительных скоростей диссипативно взаимодействующих тел. Любую силу диссипативного взаимодействия можно представить в виде ,

где – относительная скорость взаимодействующих тел, а – положительная функция. Диссипативная сила всегда направлена обратно относительному движению тел.

Диссипативные силы также можно делить на внешние и внутренние. Например, в случае движения автомобиля, силы, действующие на него со стороны воздуха и покрытия дороги, это внешние диссипативные силы, а силы трения, действующие во внутренних узлах автомобиля - внутренние диссипативные силы.

Работа внешних диссипативных сил, в зависимости от выбранной системы отсчета, может быть как положительной, так и отрицательной.

Независимо от выбора системы отсчета, работа внутренних диссипативных сил всегда отрицательна.

Полная работа, совершенная в системе диссипативными силами, есть сумма работ всех парных сил диссипативного взаимодействия:

Заметим, что в разных системах отсчета результаты, полученные для работы внутренних диссипативных сил, совпадают

Кинетическая энергия

Про тела, которые могут совершать работу, говорят, что они обладают энергией. Энергией называют скалярную физическую величину, показывающую, какую работу может совершить тело. Энергия равна той максимальной работе, которую тело может совершить в данных условиях. Механическая работа является мерой изменения энергии в различных процессах. Поэтому энергию и работу выражают в одних и тех же единицах (в СИ - в джоулях). В более общем смысле энергия - это единая мера разных форм движения материи, а также мера перехода движения материи из одной формы в другую. Для характеристики конкретных форм движения материи используют понятия о соответствующих видах энергии: механической, внутренней, электромагнитной и т. д. Механическая энергия является характеристикой движения и взаимодействия тел. Она зависит от скоростей и взаимного расположения тел.

Кинетическая энергия

Рассмотрим случай, когда тело массой m под действием постоянной силы (F=const) движется прямолинейно равноускоренно (а=const). Определим работу силы, приложенной к телу, при изменении модуля скорости этого тела от v₁ до v₂.

Как было отмечено в §17, работу постоянной силы вычисляют по формуле А=Fscosa. Так как в рассматриваемом нами случае направление силы F и перемещения s совпадают, то cosa=1 и А=Fs. По второму закону Ньютона F=ma. В § 2 было показано, что для прямолинейного равноускоренного движения справедлива формула

v₂=v_o²+2as.

Из этой формулы при v_о=v₁ и v=v₂ Следует, что

s=(v₂²-v₁²)/2a.

Подставив значения F и s в формулу работы, получим

А=mv₂²/2-mv₁²/2 (3.12).

Из последней формулы видно, что работа силы, приложенной к телу, при изменении скорости этого тела равна разности двух значений некоторой величины mv₂²/2.

Выше отмечалось, что механическая работа есть мера изменения энергии. Следовательно, в правой части формулы (3.12) стоит разность двух значений энергии данного тела. Это значит, что величина mv₂²/2 представляет собой энергию, обусловленную движением тела. Эту энергию называют кинетической. Она обозначается W_к. Следовательно,

W_к=mv₂²/2. (3.13)

С учетом (3.13) формулу (3,12) можно записать в виде

А=W_k2-W_k1=DW_k, (3.14)

т.е. работа, совершаемая силой при изменении скорости тела, равна изменению кинетической энергии этого тела.

Когда направление силы совпадает с направлением перемещения тела, работа силы положительна (т.е. A>0). Из формулы (3.14) видно, что в этом случае W_k2-W_k1>0, т.е. W_k2>W_k1. Следовательно, когда сила совершает положительную работу, кинетическая энергия тела увеличивается. Когда же направление силы противоположно направлению перемещения, то A<0 и W_k2-W_k1<0, т.е. W_k2<W_k1. Следовательно, когда сила совершает отрицательную работу, кинетическая энергия тела уменьшается.

Потенциальная энергия

Определим работу, совершаемую силой тяжести F_т при переносе материальной точки массой m по криволинейной траектории ВС из одной точки В поля тяготения Земли в другую точку С (рис 31). Для этого разобьем траекторию движения тела на сколь угодно малые участки Ds_k, каждый из которых можно считать прямолинейным.

На произвольно выбранном таком участке сила тяжести F_т составляет с перемещением Ds_k угол a_k. Поэтому на данном участке работа силы тяжести

DA_k=F_т·Ds_k·cos(a_k). (3.15)

Спроецируем участок Ds_k на вертикаль BD. Его проекция

Dh_k=Ds_k·cos(a_k). (3.16)

Из (3.15) и (3.16) имеем DA_k=F_т·Dh_k. Очевидно, что работа A_BC силы тяжести F_т на всем пути ВС равна сумме элементарных работ Dh_k на всех участках Ds_k этого пути:

ABC=F_т(h₁-h₂)=mgh₁-mgh₂ (3.17)

Из последней формулы видно, что работа силы тяжести при переносе материальной точки массой m в поле тяготения Земли равна разности двух значений некоторой величины mgh. Поскольку работа есть мера изменения энергии, то в правой части формулы (3.17) стоит разность двух значений энергии этого тела. Это значит, что величина mgh представляет собой энергию, обусловленную положением тела в поле тяготения Земли.

Энергию, обусловленную взаимным расположением взаимодействующих между собой тел (или частей одного тела), называют потенциальной и обозначают W_п. Следовательно, для тела, находящегося в поле тяготения Земли,

W_п=mgh. (3.18)

С учетом (3.18) формулу (3.17) можно записать в виде

A_BC=W_п1-W_п2=-(W_п2-W_п1)=-DW_п (3.19)

т. е. работа силы тяжести равна изменению потенциальной энер-гии тела, взятому с противоположным знаком.

Из рис. видно, что работа A_BD, совершаемая силой тяжести при перемещении материальной точки массой m из точки B в точку D по вертикали ВD, составляет A_BC=mgh₁-mgh₂. Следовательно, A_BD=A_BC. Таким образом, работа силы тяжести не зависит от траектории движения тела, а определяется лишь положением в поле тяготения Земли начальной и конечной точек перемещения тела.

В § 12 отмечалось, что силы, работа которых не зависит от траектории движения тела, называют консервативными, а поле таких сил называется потенциальным. Сила тяжести является консервативной, а поле тяготения - потенциальным. Из формулы (3.19) следует, что работа консервативных сил равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком.

Следует отметить, что тела имеют потенциальную энергии не только вследствие их притяжения к Земле. В § 10 было показано, что в результате упругой деформации тело тоже приобретает потенциальную энергию. Если, например, сжимается или растягивается упругая пружина, то ее потенциальная энергия вычисляется по формуле W_п=kх²/2, где k - жесткость пружины, x - ее удлинение, т.е. смещение точки приложения силы упругости.
Работа силы упругости определяется по формуле

A=W_п1-W_п2= kх₁²/2- kх₂²/2=-DW_п (3.20)

Сумму кинетической и потенциальной энергии тела называют полной механической энергией этого тела и обозначают W.

W=W_п+W_k (3.21)

Дата добавления: 2019-02-13; просмотров: 510; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 45

Мы поможем в написании ваших работ!