Дифференциальное уравнение теплопроводности

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 12Следующая ⇒

Процесс распространения теплоты теплопроводностью математически описывается дифференциальным уравнением, выведенным на основе закона сохранения энергии.

; (6) –

Дифференциальное уравнение теплопроводности в неподвижной среде . - коэффициент температуропроводности; характеризует теплоинерционные свойства вещества. Чем больше , тем тело быстрее охлаждается (нагревается).

, , - не изменяются по направлению и во времени.

Для стационарных процессов - , т.е. температура не меняется со временем и уравнение (6) принимает вид . Т.к. а ¹ 0, то (7)

или - Дифференциальное уравнение теплопроводности в неподвижной среде при стационарном тепловом режиме. Уравнения (6) и (7) дают возможность решать задачи связанные с распространением тепла в теле путем теплопроводности как при стационарном, так и при нестационарном тепловом режиме. При решении конкретных задач уравнения дополняются соответствующими начальными и граничными условиями.

Теплопроводность плоской стенки

В инженерной практике часто встречаются задачи стационарной теплопроводности через плоскую и цилиндрическую стенки. Это задачи расчета тепловой изоляции аппаратов и трубопроводов.

Стенка состоит из однородного материала; d - толщина стенки;l - теплопроводность материала стенки; t _ст1 , t _ст2 – температура стенки. t _ст1 > t _ст2 .

Вывод уравнения теплопроводности плоской стенки

Запишем уравнение Фурье в развернутом виде

При стационарном режиме температура в различных точках постоянна во времени, т.е

Температурное поле одномерно (плоская стенка) .

Т.о. уравнение Фурье приобретает вид: d ² t / dx ² =0.

Проинтегрируем дважды: dt / dx = C ₁ ; t = C ₁ x + C ₂. C ₁ и С₂ найдем из условий на границе: х=0; х= d . При х=0 t _ст1 =С₂, а при х= d t _ст2 = C ₁ d + t _ст1 ;

C ₁ =( t _ст2 - t _ст1 )/ d ; В результате получим

t = x ( t _ст2 - t _ст1 )/ d + t _ст1(8)

Температура по толщине стенки х меняется линейно, температурный градиент сохраняет постоянное значение. Подставим полученное значение градиента температуры в (4)-з. Фурье и получим уравнение теплопроводности плоской стенки при стационарном тепловом режиме

dQ = l / d ( t _ст1 - t _ст2 ) dFd t .

Q = l / d ( t _{ст 1} - t _ст2 ) F t (9).

Здесь l / d - термическая проводимость стенки.

Теплопроводность цилиндрической стенки (самост.)

В тепловых процессах одновременно с теплопроводностью и конвекцией почти всегда имеет место тепловое излучение, причем, чем выше температура тела, тем больше тепла оно передает в виде теплового излучения.

Тепловое излучение

- это процесс распространения энергии в форме электромагнитных волн.

Взаимное излучение твердых тел

- лучистая энергия, попадающая на тело, частично поглощается, частично отражается, а частично проходит через тело. Поглощенная энергия увеличивает внутреннюю энергию тела, а значит и температуру тела. Твердые тела, как и жидкости, излучают сплошной спектр излучения. В твердых телах в процессах лучистого теплообмена участвуют поверхностные слои тела.

Тепловое излучение газов -газы излучают и поглощают не весь спектр длин волн, а лишь определенную часть. Кроме того, поглощение носит объемный характер, т.е. поглощение зависит от толщины газового слоя и давления.

Конвективный теплообмен

Конвективный теплообмен - это процесс переноса теплоты от стенки к движущейся относительно нее жидкости или от жидкости к стенке. Вследствие «прилипания» жидкости к поверхности стенки вблизи нее образуется пограничный слой, в котором движение определяется силами вязкого трения.

С точки зрения тепловых процессов, вблизи стенки также имеется тепловой пограничный слой, в котором тепло передается преимущественно путем теплопроводности.

Рис.

Наряду с теплопроводностью в движущейся жидкости происходит конвективный перенос теплоты, который обусловлен перемещением частиц жидкости из зоны с большей температурой в зону с меньшей температурой. Т.о. перенос теплоты от стенки к движущейся относительно нее жидкости или наоборот осуществляется одновременно путем теплопроводности и конвекции и называется конвективным теплообменом или теплоотдачей. При теплоотдаче тепло от стенки к жидкости или наоборот распространяется через пограничный слой в ядро потока, где распространяется уже путем конвекции. Очевидно, что на теплоотдачу существенное влияние оказывает режим движения жидкости. По природе возникновения различают свободное и вынужденное движение. Свободное - возникает из-за разности плотностей в жидкости, обусловленной термическим расширением. Вынужденное - обусловленно действием внешней силы (насосом, вентилятором). Вынужденное движение определяется свойствами жидкости (r,n,t), формой канала.

Различают ламинарный и турбулентный режим движения. Интенсивней теплообмен при турбулентном режиме.

Уравнение теплоотдач и- уравнение Ньютона.

Кинетика переноса теплоты от стенки к жидкости (или наоборот) выражается законом Ньютона: Количество теплоты в Дж, переданной от поверхности теплообмена к среде (или наоборот) прямо пропорционально поверхности теплообмена dF, разности температур стенки и среды D t и времени теплообмена d t.

dQ = a dF d t Dt (10 ),

где D t - разность температур стенки и жидкости, a- коэффициент теплоотдачи, Вт/м²град. Физический смысл a - выражает количество теплоты, передаваемое за 1с через 1м² поверхности при D t=1 град. от теплоносителя к стенке (или наоборот).

Для стационарных процессов температура и a постоянны во времени и

dQ = a D t dF (11) .

При расчете конкретных стационарных процессов обычно принимают, что a постоянен вдоль поверхности теплообмена и уравнение теплоотдачи записывается в виде

Q = a D t F (12)

Это уравнение в расчетной практике применимо, если известно a. Однако, определение a связано с большими трудностями, т.к. на теплоотдачу влияет множество факторов: режим движения, скорость движения, физические параметры жидкости, форма и размер поверхности теплообмена, t _ст. и t_cp. и т.д. Т.о. для проведения расчетов по теплообмену необходимо уравнение, которое бы связывало a с переменными, выражающими условия конвективного теплообмена. Таким уравнением является дифференциальное уравнение конвективного теплообмена.

Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 426; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!