Система с несколькими степенями свободы

Лекция

Динамика

Системы с одной степенью свободы

Рассмотрим действие переменной во времени силы , действующей на груз с массой , расположенный на балке с изгибной жесткостью (массой балки пренебрегаем).

Рис. 1. Балка с расположенным на ней грузом, на который действует динамическая сила

Мысленно отсечем груз и приложим к нему все действующие на него силы

Рис. 2. Силы, действующие на груз

Согласно принципу Д’Аламбера запишем уравнение равновесия для всех сил, действующих на груз (сумма проекций на ось y)

. (1.1)

Деля на массу, получим каноническое уравнение для вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы

(1.2)

где круговая частота собственных (свободных) колебаний

(1.3)

находится через жесткость или через гибкость системы.

Период свободных колебаний связан с круговой частотой соотношением

(1.4)

Рис. 3. Свободные колебания без учета диссипации энергии

Коэффициент гибкости для системы с одной степенью свободы с учетом упругих связей находятся с помощью соотношения:

, (1.5)

где - изгибающий момент от единичной силы, приложенной в направлении колебаний массы; - символическая запись интеграла Мора-Максвелла; - линейная жесткость опоры; – моментная жесткость в системе; - реакция в упругой опоре; - момент в упругом шарнире.

Характеристическое уравнение для однородного ( =0) уравнения (1.2)

(1.6)

имеет корни

(1.7)

поэтому общее решение однородного уравнения (2.2) запишется так:

(1.8)

Частное решение неоднородного уравнения для любого закона изменения нагрузки удобно решать способом вариации постоянных.

	. .	ПЧ
		0

Запишем определитель Вронского

(1.9)

и его алгебраические дополнения при разложении по элементам последней строки

(1.10)

Производные постоянных находятся из соотношений

(1.11)

Общее решение неоднородного уравнения при произвольной нагрузке запишется так:

(1.12)

Наиболее распространенной динамической нагрузкой является гармоническая нагрузка, которая появляется в результате вращения несбалансированных масс различных типов оборудования. В этом случае внешнее воздействие можно записать в виде

(1.13)

с амплитудным значением возмущающей силы - и круговой частотой - . Вынужденные колебания будут происходить с то же частотой, поскольку собственные колебания быстро затухают вследствие внутреннего трения в материале

(1.14)

где коэффициент динамичности

(1.15)

Изгибающие моменты в системе находятся как сумма статической и динамической составляющей

(1.16)

Из выражения (1.15) следует, что при совпадении частоты собственных колебаний и частоты возмущающей силы (явление резонанса) коэффициент динамичности равен бесконечности (рис. 5), то есть любая конструкция в этом случае обречена на разрушение.

Рис. 4. Коэффициент динамически без учета диссипации энергии

В действительности все конструкционные материалы обладают внутренним трением, которое приводит к затуханию собственных колебаний. Уравнение вынужденных колебаний с учетом диссипации энергии

(1.17)

после деления на массу имеет вид:

(1.18)

где - относительный коэффициент демпфирования; - частота собственных колебаний недемпфированной системы; с - жесткость, k - коэффициент демпфирования системы реагирует лишь на ускорение. Коэффициент затухания Характеристическое уравнение однородного уравнения (1.18)

(1.19)

имеет корни

(1.20)

следовательно, решение будет иметь вид:

(1.21)

или

(1.22)

Амплитуды свободных колебаний уменьшаются по экспоненциальному закону.

Пусть внешнее воздействие изменяется по гармоническому закону , а Тогда решение будет иметь вид, аналогичный (1.14)

но коэффициент динамичности с учетом диссипации энергии запишется так

(1.23)

Коэффициент динамичности с учетом диссипации энергии представлен на рис. 6. Кривые построены для нескольких значений относительного коэффициента затухания

Рис. 5. Коэффициент динамичности демпфированной системы

(1 – D=1; 2 – D=0.5; 3 – D=0.25; 4 – D=0.1; 5 – D=0.05)

Последовательность решения задач:

1. Вычисляется коэффициент гибкости (податливости).

2. Определяется собственная частота.

3. Находится коэффициент динамичности.

4. Определяется динамическая реакция.

5. Определяются внутренние усилия от силы и веса оборудования.

Варианты заданий представлены на рис. 1-24.

Пример выполнения задания

Рис. 1. Система с одной степенью свободы

Для нахождения коэффициента гибкости приложим в направлении колебаний массы силу, равную единице (рис. 2) и построим эпюру изгибающих моментов М₁. Коэффициент гибкости определяем по формуле

Рис. 2. Единичная эпюра моментов

Круговая частота свободных колебаний

Коэффициент динамичности

Суммарный изгибающий момент состоит из статической составляющей ( ) и динамической реакции на действие возмущающей нагрузки (

Учет статического действия массы здесь не производится, т. к. вес массы не создает изгибающего момента, а только сжимает стойку силой . Эпюры изгибающего момента, поперечных и продольных усилий приведены на рис. 3.

Рис. 3. Эпюры изгибающего момента, поперечных и продольных усилий

При отсутствии упругих связей коэффициент гибкости

Круговая частота свободных колебаний

Коэффициент динамичности

Суммарный изгибающий момент

Наличие демпфирующих элементов уменьшает динамические составляющие внутренних усилий в 11.325 раз.

Рис. 4. Эпюры изгибающего момента, поперечных и продольных усилий недемпфированной системы

Система с несколькими степенями свободы

Систему уравнений вынужденных колебаний системы с несколькими степенями свободы без учета диссипативных сил можно записать в матричном виде двояко: или

, (2.1)

или

. (2.2)

Здесь: вектор динамических перемещений

; (2.3)

вектор ускорений

; (2.4)

вектор динамических нагрузок

; (2.5)

матрица масс

; (2.6)

матрица гибкости (податливости)

; (2.7)

матрица жесткости

. (2.8)

Элемент матрицы гибкости, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца, можно найти из выражения

(2.9)

Здесь: изгибная жесткость - ; моменты от единичных сил, приложенных в направлении колебания i-й и j-й массы соответственно - (символическая запись означает взятие интеграла Мора-Максвелла или “перемножение” эпюр по способу Верещагина); жесткость линейной упругой связи - ; реактивные усилия в линейной упругой связи от единичных сил, приложенных в i-ом и j-ом направлениях соответственно - ; жесткость моментной упругой связи - ; моменты в этой упругой связи от i-й и j-й единичных сил соответственно - .

Пример 1. Найти матрицу гибкости (податливости)

Рис.1. К формированию матрицы гибкости

Таким образом, матрица гибкости имеет вид:

Матрица жесткости является обратной по отношению к матрице гибкости

, (2.10)

следовательно, должно выполняться очевидное равенство

, (2.11)

где единичная матрица

. (2.12)

Элементы обратной матрицы находятся из соотношения

, (2.13)

где номер строки и столбца соответственно - i и j; определитель матрицы гибкости - ; алгебраическое дополнение, получаемое путем разложения прямой матрицы по i-му элементу j-й строки - , т. е.