Расчетно-графическое задание №3.
Определение кинематических параметров для материальной точки, движущейся криволинейно.
Задание
Определение скорости и ускоренна точки по заданным уравнениям ее движения По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t = t1 (сек) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории в соответствующей точке.
Необходимые для решения данные приведены в табл.1.
Пример выполнения задания
Исходные данные в см и сек:
} (1)
t1 = 
Решение
Уравнения движения (1) являются параметрическими уравнениями траектории точки М. Чтобы получить уравнение траектории в обычной координатной форме, исключим время t из уравнений движения.
Тогда
у = х2 - 1. (2)
Это выражение есть уравнение параболы.
Для определения скорости точки находим проекции скорости на оси координат:
u x = 
= 4 см/сек;
u y = 
= 32 t см/сек.
Модуль скорости точки
u = 
. (3)
|
|
|
Аналогично проекции ускорения точки
w x = 
= 0; w y = 
= 32 см/сек2.
Модуль ускорения точки
w = 
= 32 см/сек2.
Координаты точки, а также ее скорость, ускорение и их проекции на координатные оси для заданного момента времени t = 1/2 сек приведены в табл.2.
Таблица 2
| Координаты, См | Скорость, см/сек | Ускорение, см/сек2 | Радиус кривизны, см | |||||||
| x | Y | u x | u y | u | w x | w y | w n | w t | w | r |
| 2 | 3 | 4 | 16 | 16,5 | 0 | 32 | 7,94 | 31 | 32 | 34,3 |
Касательное ускорение находим путем дифференцирования модуля скорости (З):
wt = 
;
= 
= 
.
При t = 1/2 сек
= 
= 31 см/сек2
Следовательно, модуль касательного ускорения
wt = 31 см/сек2.
Знак «+» при 
показывает, что движение точки ускоренное и, следовательно, направления 
и 
совпадают.
Нормальное ускорение точки в данный момент времени
wn = 
= 
= 7,94 см/сек2
Радиус кривизны траектории в той точке, где при t = 1/2 сек находится в точке М,
|
|
|
r = 
= 
= 34,3 см .
Полученные значения wt и wn и r также приведены в таблице.
Пользуясь уравнением (2), вычерчиваем траекторию (рис.1) и показываем на ней положение точки М в заданный момент времени. Вектор 
строим по составляющим 
и 
, причем этот вектор должен быть направлен по касательной к траектории точки. Вектор 
находим как по составляющим 
и 
, так и по 
и 
, чем контролируется правильность вычислений.
Рис.1
Таблица 1
| Номер варианта | Уравнения движения | t1, сек | |
| x = x ( t ) см | y = y(t) см | ||
| 1 | —2t2+3 | —5t | ½ |
| 2 | 4 cos2  t + 2
| 4 sin2 t
| 1 |
| 3 | -cos t2 + 3
| sin t2 - 1
| 1 |
| 4 | 4t + 4 | - 
| 2 |
| 5 | 2sin t
| — 3 cos t + 4
| 1 |
| 6 | 3t2 + 2 | —4t | ½ |
| 7 | З t2 -t + 1 | 5t2 -  t - 2
| 1 |
| 8 | 7 sin  t2 + 3
| 2 — 7 cos t2
| 1 |
| 9 | - 
| 3t + 6 | 2 |
| 10 | — 4 cos  t
| —2sin t — 3
| 1 |
| 11 | — 4t2 + 1 | -3t | ½ |
| 12 | 5 sin2 t
| — 5 cos2 t— 3
| 1 |
| 13 | 5 cos  t2
| — 5 sin t2
| 1 |
| 14 | -2t - 2 | 
| 2 |
| 15 | 4cos t
| —3sin t
| 1 |
| 16 | 3 t | 4t2 + 1 | ½ |
| 17 | 7sin2 t — 5
| — 7 cos2 t
| 1 |
| 18 | 1 + 3 cos t2
| 3 sin t2 + 3
| 1 |
| 19 | — 5t2 — 4 | 3t | 1 |
| 20 | 2 — 3t — 6t2 | 3 -  t - 3t2
| 0 |
| 21 | 6 sin  t2 — 2
| 6 cos t2 + 3
| 1 |
| 22 . | 7t2—3 | 5t | 
|
| 23 | 3 — 3t2 + t | 4 - 5t2 + t
| 1 |
| 24 | — 4 cos t — 1
| — 4 sin t
| 1 |
| 25 | —6t | — 2t2 — 4 | 1 |
| 26 | 8 cos2  t + 2
| — 8 sin2 t — 7
| 1 |
| 27 | — 3 - 9 sin t2
| —9cos t2 + 5
| 1 |
| 28 | — 4t2 + 1 | —Зt | 1 |
| 29 | 5t2 + t - 3
| 3t2 + t + 3 | 1 |
| 30 | 2 cos t2 — 2
| - 2 sin  t2 + 3
| 1 |
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
|
|
|
- Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механики. Под ред. проф. А.А. Яблонского. Учеб. пособие для втузов. М., «Высшая школа», 1972.- 432 с.
- Бать М. И. И др. Теоретическая механика в примерах и задачах. М., «Политехника», 1995. – 670 с.
- Мещерский И. В. Задачи по теоретической механики. М.: « Лань», 2001.- 448 с.
- Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики: Учебник для втузов. – 12 изд., стер. – М.: Высшая школа, 2002. – 416 с.
- Федута А. А., Чигарёв А. В., Чигарёв Ю. В. Теоретическая механика и методы математики: - Уч. пособие, - Минск.: УП « Технопринт», 2000. – 504 с.
- Яблонский А. А., Никифорова В. А. Курс теоретической механики. М.: « Лань», 2001. – 768 с.
- Цывильский В. Л. Теоретическая механика. М., «Высшая школа» 2001. – 319 с.
|
|
|
Игорь Павлович Карначев
Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 152; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!