Революция в науке. Новая теория Вселенной. Идеи Ньютона ниспровергнуты.

 

Посередине второй колонки красовался подзаголовок Пространство «покоробилось» . Внезапно все стали говорить о теории относительности.

Напомним, что, согласно одному из предсказаний общей теории относительности, гравитация искривляет траекторию распространения света, причем на величину, вдвое превышающую ту, что предсказывается ньютоновскими законами. Фрэнк Дайсон и сэр Артур Стенли Эддингтон предприняли экспедицию на остров Принсипе у побережья Западной Африки, где предстояло наблюдать солнечное затмение.

Одновременно Эндрю Кроммлин из Гринвичской обсерватории возглавил вторую экспедицию в Собрал в Бразилии[74]. Оба отряда наблюдали звезды вблизи края солнечного диска во время полного солнечного затмения и обнаружили легкие сдвиги в кажущихся положениях звезд, согласующиеся с предсказанием Эйнштейна, но не с предсказанием ньютоновской механики.

 

Эйнштейн, проснувшийся знаменитым, послал своей матери открытку такого содержания: «Дорогая мама, сегодня радостная новость. X.А. Лоренц телеграфировал, что английские экспедиции действительно доказали отклонение света Солнцем». Дирак заглотил наживку: «Меня захватило всеобщее возбуждение, вызванное теорией относительности. Мы постоянно об этом говорили. Студенты обсуждали ее между собой, однако имелось слишком мало точной информации для того, чтобы двигаться дальше». Общественное знание о теории относительности по большей части сводилось к словам; философы утверждали, что они уже многие годы знали, что «все на свете относительно», и выказывали пренебрежение к новой физике, как к старой шляпе. К сожалению, они лишь выставляли напоказ свое невежество и легковерность, с которой они переняли некорректную терминологию.

Поль сходил на несколько лекций по теории относительности, прочитанных Чарли Броудом, который в то время был профессором философии в Бристоле, но математическое содержание этих лекций его не удовлетворило. В конце концов он купил экземпляр эддингтоновской книги «Пространство, время и тяготение» и самостоятельно освоил необходимые разделы математики и физики. Еще до своего отъезда из Бристоля он досконально изучил и специальную, и общую теории относительности.

 

Полю хорошо давалась теория, зато лабораторные работы были для него кошмаром. Позднее физики стали говорить об «эффекте Дирака»: стоило только ему войти в лабораторию, как все эксперименты там начинали выходить из-под контроля. Мир инженерных наук для него означал бы катастрофу. Он получил блестящий диплом, но некоторое время оставался безработным, поскольку это было время послевоенной экономической депрессии. По счастью, ему представилась возможность изучать математику в Бристольском университете, причем за обучение уже было заплачено, и он ухватился за этот шанс. Его специализацией стала прикладная математика.

В 1923 году Поль стал аспирантом в Кембриджском университете, где столкнулся с серьезными проблемами из-за своей застенчивости. Он не интересовался никакими видами спорта, неохотно заводил друзей и всячески избегал женщин. Время он проводил главным образом в библиотеке. Еще в 1920 году он проработал все лето на той же фабрике, что и его брат Реджинальд. Два брата периодически встречались на улице, но часто проходили друг мимо друга, не останавливаясь, чтобы перекинуться парой слов, — настолько укоренилась семейная привычка к молчанию.

Поль быстро стал заметной фигурой; за шесть месяцев исследований он написал свою первую научную работу. Бурным потоком за ней последовали другие. Именно тогда, в 1925 году, он и столкнулся с квантовой механикой. Во время одной из долгих осенних прогулок по окрестностям Кембриджа он вдруг задумался о гайзенберговских «списках». Они представляют собой матрицы, а матрицы не коммутируют[75] — обстоятельство, которое изначально не давало покоя Гайзенбергу. Дираку была известна идея Ли, что в такой ситуации важную роль играет не произведение AB , а коммутатор AB − BA , и он всерьез заинтересовался захватывающей идеей, что некий весьма похожий объект имеется в гамильтоновом формализме описания механики, где он называется скобкой Пуассона. Но Дирак никак не мог вспомнить соответствующую формулу.

Мысли об этом занимали его почти всю ночь, а на утро он «поспешил в одну из библиотек, прямо к моменту ее открытия, и там посмотрел в уитгекеровской „Аналитической динамике“, как выглядит скобка Пуассона; оказалось, это было именно то, что требовалось». Его открытие состояло вот в чем: коммутатор двух квантовых матриц равен скобке Пуассона соответствующих классических переменных, умноженной на постоянную, равную ih/(2π) . Здесь h — постоянная Планка, i — это √−1, а π — ну, это, конечно, π .

Это было впечатляющее открытие. Оно говорило физикам, как надо превращать классические механические системы в квантовые. Стоящая за этим математика была необычайно элегантна — она соединяла две глубокие, но до того момента никак не связанные теории. На Гайзенберга это произвело впечатление.

Вклад Дирака в квантовую теорию разнообразен, и я выберу лишь одно из высших его достижений — релятивистскую теорию электрона, создание которой относится к 1927 году. К тому времени теоретики, занимавшиеся квантовой физикой, знали, что электроны обладают спином, который представляет собой нечто аналогичное моменту вращения мячика вокруг своей оси, однако характеризуется некоторыми весьма странными свойствами, которые делают эту аналогию далеко не полной. Если взять вращающийся мячик и повернуть систему на полные 360°, то и мяч, и момент его вращения окажутся в тех же положениях, которые они занимали до поворота. Однако если вы сделаете то же самое с электроном, то спин его изменит свой знак. Чтобы спин вернулся в первоначальное положение, поворачивать надо на 720°.

Это в действительности довольно сильно напоминает кватернионы, интерпретация которых как «вращений» пространства включает тот же выверт. На математическом языке, вращения пространства образуют группу SO(3), но соответствующая группа в случае кватернионов, как и в случае электронов, есть SU(2). Эти две группы почти одинаковы, только SU(2) «в два раза больше» — она в некотором смысле построена из двух экземпляров группы SO(3). Такое явление называется «двулистным накрытием», из-за чего вращение на 360° и отвечает вращению на удвоенный угол.

Дирак не использовал кватернионы, да и группами не пользовался. Но в конце 1927 года, к наступлению Рождества, он предложил свои спиновые матрицы, которые играют ту же самую роль. Позднее математики обобщили матрицы Дирака на спиноры, которые оказались очень важными в теории представлений групп Ли.

Спиновые матрицы позволили Дираку сформулировать релятивистскую квантовую модель электрона. Из модели получалось все, ради чего она создавалась, и даже немного больше. Наряду с ожидаемыми решениями с положительной энергией она предсказывала решения с отрицательной энергией. Анализируя это парадоксальное свойство, Дирак в конце концов, отбросив несколько неудачных идей, пришел к концепции «антиматерии» — т.е. к идее о том, что всякая частица имеет соответствующую античастицу с той же массой, но с противоположным зарядом. Античастица электрона представляет собой позитрон; он не был известен, пока Дирак не предсказал его существование.

Законы физики остаются (почти) неизменными, если заменить каждую частицу на ее античастицу — такая операция является симметрией природы. Дирак, на которого теория групп никогда не производила особенно большого впечатления, открыл одну из наиболее пленительных групп симметрии в природе.

После 1935 года и до момента своей смерти (в Таллахаси в 1984 году) Дирак придавал огромное значение математическому изяществу физических теорий и в своей работе использовал этот принцип в качестве основополагающего. То, что не является прекрасным, считал он, не может быть верным. В 1956 году, во время посещения Московского государственного университета, следуя традиции записывать мудрые слова на доске, дабы они сохранились для потомства, он написал: «Физический закон должен обладать математической красотой». И он говорил о «высоком математическом качестве» природы. Однако похоже, что теорию групп он никогда не считал прекрасной, быть может, из-за того, что подход физиков к группам, как правило, включает в себя громоздкие вычисления. Лишь математики, как представляется, оказались настроенными на изысканную красоту групп Ли.

 

Прекрасна она или нет, но благодаря сыну одного кожевника теория групп вскоре заняла свое место среди основных предметов, которые следовало изучать всякому подающему надежды квантовому теоретику.

На рубеже двадцатого столетия кожевенное дело было серьезным занятием (да, собственно, таким и остается). В те дни, однако, даже небольшое предприятие по дублению и продаже кожи могло приносить своему хозяину очень неплохой доход. Хорошим примером такого хозяина был Антал Вигнер, возглавлявший сыромятную мастерскую. Он и его жена Эрсебет были еврейского происхождения, однако не практиковали иудаизм. Они жили в государстве, которое тогда называлось Австро-Венгрией, в городе Пешт. После соединения с соседней Будой он превратился в современный Будапешт — столицу Венгрии.

Второй из трех их сыновей, Йена Паал Вигнер, родился в 1902 году и в возрасте от пяти до десяти лет обучался дома, у частного учителя. Вскоре после начала школьных занятий у Йены обнаружили туберкулез и отправили на лечение в австрийский санаторий. Он пробыл там шесть недель, прежде чем выяснилось, что диагноз неверный. (Окажись он правильным, мальчик, скорее всего, не дожил бы до зрелого возраста.)

Поскольку мальчика заставляли почти постоянно лежать, он занимал себя решением математических задач, просто чтобы убить время. «Мне приходилось дни напролет лежать в шезлонге, — писал он позднее, — и я отчаянно пытался придумать, как построить треугольник по трем заданным высотам». Высоты треугольника — это три линии, которые проходят через вершину и пересекают противоположную сторону под прямым углом. Если треугольник дан, то найти его высоты легко. Решить обратную задачу определенно труднее.

После выписки из санатория Йена продолжал размышлять о математике. В 1915 году он поступил в Лютеранскую гимназию в Будапеште, где в то время уже учился другой мальчик, которому предстояло стать одним из ведущих мировых математиков, — Янош (позднее — Джон) фон Нейман. Однако из знакомство оставалось лишь весьма поверхностным, поскольку фон Нейман предпочитал держаться особняком.

В 1919 году Венгрию наводнили коммунисты, и Вигнеры бежали в Австрию, вернувшись в Будапешт позднее, в том же году, когда коммунистов оттуда выбили. Все семейство перешло в лютеранство, но на Йену это большого влияния не оказало — как он говорил позднее, потому что он был «лишь умеренно религиозен». В 1920 году Йена закончил школу одним из лучших в классе. Он намеревался стать физиком, но отец хотел, чтобы он вступил в семейный кожевенный бизнес. Поэтому вместо того, чтобы получить диплом по физике, Йена стал изучать химическую инженерию: отец полагал, что она будет способствовать бизнесу. Он поступил на первый курс Будапештского технического института, а потом перешел в Высшую техническую школу в Берлине. В конце концов он стал проводить большую часть ценного времени в химической лаборатории, где ему нравилось, и меньшую часть — на теоретических занятиях.

Тем не менее Йена не оставлял мыслей о физике. Берлинский университет находился неподалеку, а кого там можно было увидеть, как не Планка и Эйнштейна вкупе с другими знаменитостями? Йена не преминул воспользоваться этой географической близостью и стал ходить на лекции бессмертных. Он закончил свою диссертацию об образовании и распаде молекул и, как и планировалось, начал работать на кожевенном заводе. Как и следовало ожидать, идея оказалась не слишком удачной. «Дела мои в дубильне шли не очень хорошо… Я чувствовал себя там не в своей тарелке… У меня не было ощущения, что это моя жизнь». Его жизнью были математика и физика.

В 1926 году с ним связался кристаллограф из Института Кайзера Вильгельма, которому требовался ассистент. Обязанности соединяли в себе в химическом контексте оба основных интереса Вигнера. Эта работа оказала огромное влияние на его карьеру, а тем самым и на развитие ядерной физики, поскольку познакомила Вигнера с теорией групп — математикой симметрии.

Первые существенные применения теории групп к физике состояли в классификации всех 230 возможных кристаллических структур. Вигнер писал: «Я получил письмо от кристаллографа, который хотел найти ответ на вопрос, почему положения, которые занимают атомы в кристаллической решетке, соответствуют осям симметрии. Кроме того, он сказал мне, что это должно иметь отношение к теории групп и что мне следует прочитать книгу по теории групп, а после этого найти ответ и сообщить ему».

Возможно, Антал Вигнер был в не меньшем ужасе, чем его сын, от сомнительных успехов последнего в области кожевенного дела, а потому позволил ему стать асситентом кристаллографа. Йена начал с чтения нескольких статей Гайзенберга по квантовой теории и развил теоретический метод вычисления спектра атома с тремя электронами. Он также понял, что этот метод может стать невероятно сложным, когда число электронов превысит три. В этот момент он обратился за советом к своему старому знакомому фон Нейману, который предложил ему почитать о теории представлений групп. Эта область математики в избытке содержала известные в то время алгебраические концепции и сложные методы, в особенности — матричную алгебру. Однако благодаря своим занятиям кристаллографией и близкому знакомству с основным на тот момент учебником по алгебре — Lehrbuch der Algebra Генриха Вебера — Вигнер преодолел матрицы без проблем.

Совет фон Неймана оказался очень хорош. Если атом обладает некоторым числом электронов, то, поскольку все электроны тождественны, атом «не знает», какой электрон какой. Другими словами, уравнения, описывающие излучение, испущенное данным атомом, должны быть симметричны относительно всех перестановок его электронов. Используя теорию групп, Вигнер разработал теорию спектра атомов с любым числом электронов.

До этого момента его работа шла в традиционном русле классической физики. Но все по-настоящему захватывающее творилось в квантовой теории. Тогда Вигнер и принялся за главный труд своей жизни — применение теории представлений групп к квантовой механике.

Занятно, что занимался он этим несмотря на свою новую работу, а не благодаря ей. Мэтр немецкой математики Давид Гильберт выказывал живой интерес к математическим принципам, лежащим в основе квантовой теории, и ему в работе требовался ассистент. В 1927 году Вигнер отправился в Геттинген и был принят там в возглавляемую Гильбертом исследовательскую группу. По идее, его роль должна была состоять в том, чтобы поддерживать связь с физикой, которая подпитывала бы обширные математические таланты Гильберта. На деле же получилось не совсем так, как задумывалось. Гильберт и Вигнер виделись за год всего пять раз. Гильберт был уже стар, утомлен и все более склонялся к уединению. Так что Вигнер вернулся в Берлин, прочитал лекции по квантовой механике и продолжил работу над своей самой знаменитой книгой «Теория групп и ее применения к квантовой механике атомных спектров».

Его частично предвосхитил Герман Вейль, также написавший книгу о группах в квантовой теории. Но основной интерес Вейля концентрировался на фундаментальных вопросах, тогда как целью Вигнера было решение конкретных физических задач. Вейль гнался за красотой, а Вигнер искал истину.

 

Подход Вигнера к теории групп можно понять в простом классическом контексте — на примере колебаний барабана. Музыкальные барабаны, как правило, округлые, но в принципе могут быть любой формы. При ударе палочкой мембрана барабана начинает вибрировать и создает звук. Барабаны различных форм производят различные звуки. Полоса частот, которые может создать данный барабан, называемая его спектром, сложным образом зависит от его формы. Если барабан симметричен, то можно ожидать, что симметрия появится и в его спектре. Она там и появляется, но довольно тонким образом.

Представим себе прямоугольный барабан — из числа тех, какие нечасто увидишь за пределами математических факультетов. Типичные колебания такого барабана разбивают его поверхность на некоторое число меньших прямоугольников, как, например, показано на рисунке.

На рисунке мы видим различные картины колебаний с двумя различными частотами. Это мгновенные снимки этих колебаний. Темные области смещены вниз, а светлые — вверх.

 

 

Две картины колебаний прямоугольного барабана.

 

Из симметрий барабана вытекают следствия для картин колебаний, поскольку любое преобразование симметрии барабана можно применить к любой возможной картине колебаний, что даст другую возможную картину колебаний. Таким образом, каждая картина колебаний включается в набор других, связанных с ней в соответствии с симметрией. Однако каждая отдельная картина колебаний не обязана иметь те же симметрии, что и барабан. Например, прямоугольник симметричен относительно вращения на 180°. Если применить это преобразование симметрии к двум приведенным выше картинам, они примут вид, показанный на рисунке.

Левая картина не изменилась, так что она, как и барабан, обладает симметрией относительно данного вращения. Но на правой темные и светлые области поменялись местами. Этот эффект называется спонтанным нарушением симметрии, и он очень распространен в физических системах: он возникает, когда в симметричной системе имеются состояния с более низкой симметрией. Левая картина не нарушает симметрии, а правая — нарушает. Посмотрим внимательно на правую картину и разберемся, что следует из ее нарушенной симметрии.

 

 

Те же две картины колебаний прямоугольного барабана после поворота барабана на 180°.

 

Хотя исходная картина и результат ее поворота не совпадают, обе осуществляют колебания на одной и той же частоте, поскольку поворот является симметрией барабана, а следовательно, и тех уравнений, которые описывают его колебания. Поэтому спектр колебаний барабана содержит данную конкретную частоту «два раза». Может показаться, что это трудно наблюдать экспериментально, но если слегка модифицировать барабан, так, чтобы нарушить его вращательную симметрию — скажем, сделать небольшую вмятину вдоль одного из краев, — то две данные частоты начнут слегка отличаться друг от друга, и тогда мы сможем заметить наличие двух очень близких частот. Такого не случилось бы, если бы данная частота содержалась в симметричном барабане только один раз.

Вигнер понял, что тот же эффект возникает для симметричных молекул, атомов и атомных ядер. Звуки, издаваемые барабаном, становятся здесь колебаниями молекул, а спектр звуков заменяется на спектр испущенного или поглощенного света. В квантовом мире спектр создается переходами между состояниями с различными энергиями, и атом излучает фотоны, энергия которых (а потому, как учит нас Планк, и частота) соответствует разнице этих энергий. А спектр можно детектировать, используя спектроскоп. И опять же, некоторые из частот — наблюдаемые в виде спектральных линий — могут оказаться двойными (или имеющими более высокую кратность) в силу симметрии, которой обладают молекула, атом или ядро.

Как детектировать это кратности? В отличие от барабана в молекуле нельзя сделать вмятину. Но можно поместить молекулу в магнитное поле. Оно также разрушает исходную симметрию и приводит к расщеплению спектральных линий. Далее можно использовать теорию групп — точнее, теорию представлений групп — для вычисления частот и того, как они расщепляются.

Теория представлений — одна из самых прекрасных и мощных математических теорий, но она также предъявляет высокие технические требования и содержит множество скрытых ловушек. Вигнер превратил ее в высокое искусство. Другие пытались следовать за ним по пятам.

 

В 1930 году американский Институт высших исследований в Принстоне предложил Вигнеру работу по совместительству, и он начал курсировать между Принстоном и Берлином. В 1933 году нацисты провели закон, запрещавший евреям работать в университетах, так что Вигнер перебрался в Соединенные Штаты на постоянное жительство — собственно в Принстон, где он поменял свое имя на англизированный вариант — Юджин Пол. Его сестра Маргит приехала к нему в Принстон и познакомилась с Дираком, находившимся там с визитом. В 1937 году, к изумлению многих, они поженились.

С браком Маргит все было хорошо, зато с работой Юджина — нет. В 1936 году Вигнер писал: «Из Принстона меня выгнали. Никто не объяснил почему. Трудно представить, насколько я зол». В действительности Вигнер сам написал заявление об уходе — по-видимому, потому, что его карьерный рост происходил недостаточно быстро. Можно предположить, что отказ Принстонского института продвигать его дальше был им воспринят как завуалированное предложение подать в отставку, так что он верил в то, что его выгнали.

Он быстро нашел новую работу в университете Висконсина, принял гражданство США и познакомился со студенткой-физиком по имени Амелия Франк. Они поженились, но в течение года Амелия умерла от рака.

В Висконсине Вигнер переключился на исследование ядерных сил и обнаружил, что ими управляет группа симметрии SU(4). Он также сделал фундаментальное открытие, относящееся к группе Лоренца, опубликовав его в 1939 году.

Однако в то время теория групп не была стандартной частью образования физика, и ее основными применениями оставались довольно специальные области кристаллографии. Для большинства физиков теория групп выглядела и сложной, и непривычной — сочетание достаточно фатальное. Квантовые физики, пришедшие в ужас от того, что свалилось им на голову, описывали происходящее как Gruppenpest , т.е. групповую заразу. Вигнер вызвал эпидемию, а его коллеги не желали заражаться. Однако взгляды Вигнера оказались пророческими. Теоретико-групповые методы заняли доминирующее положение в квантовой механике, поскольку влияние симметрии оказалось всепроникающим.

В 1941 году Вигнер женился во второй раз, на учительнице по имени Мари Эннетт. У них родились двое детей, Дэвид и Марта. Во время войны Вигнер, как и фон Нейман, вместе со многими ведущими математическими физиками работал над Манхэттенским проектом — созданием атомной бомбы. Ему была присуждена Нобелевская премия по физике в 1963 году.

Несмотря на долгие годы жизни в США, Вигнер неизменно скучал по своей родине. «После 60 лет в Соединенных Штатах, — писал он в старости, — я все еще более венгр, нежели американец. Американская культура по большей части от меня далека». Он умер в 1995 году. Физик Абрахам Пейс описывал его как «очень странного человека… одного из гигантов физики двадцатого столетия». Развитые им подходы заодно произвели революцию и в двадцать первом столетии.

 

Глава 13

Пятимерный человек

 

К исходу двадцатого столетия физика добилась необыкновенных успехов. Крупномасштабная структура, похоже, прекрасно описывалась общей теорией относительности. Замечательные предсказания, такие так существование черных дыр — областей пространства-времени, из которых свет не может выйти наружу, возникающих в результате коллапса массивных звезд под действием их собственной гравитации, — получили наблюдательные подтверждения. С другой стороны, структура вселенной на малых масштабах необычайно подробно и чрезвычайно точно описывалась квантовой теорией в ее современной форме, называемой квантовой теорией поля и включающей специальную (но не общую) теорию относительности.

Два змея, тем не менее, пребывали в этом раю для физиков. Один змей был «философским»: две указанные выше теории, каждая из которых добилась большого успеха сама по себе, не согласовывались друг с другом. Содержавшиеся в них предположения о структуре физического мира противоречили друг другу. Общая теория относительности является детерминистской — в ее уравнениях нет места случайности. Квантовая же теория содержит внутреннюю неопределенность, выражаемую принципом неопределенности Гайзенберга, и многие события, такие как распад радиоактивного атома, происходят случайным образом. Другой змей был «физическим»: квантовая в своей основе теория элементарных частиц оставляла нерешенным целый ряд важных вопросов — таких как вопрос о том, почему частицы обладают именно такими массами и почему, собственно, они вообще имеют массу[76].

Многие физики полагают, что оба змея должны быть изгнаны из райских кущ одним смелым действием — объединением теории относительности и квантовой теории. Другими словами, созданием новой логически непротиворечивой теории, которая переходила бы в теорию относительности на больших масштабах и в квантовую теорию на малых. Именно этим и занимался в течение всей второй половины своей жизни Эйнштейн — и потерпел неудачу. С типичной для них скромностью физики назвали это объединение Теорией Всего. Надежда состояла в том, что всю физику удастся свести к некоторой системе уравнений, к тому же достаточно простой, чтобы она поместилась на футболке.

И это не такая уж безумная идея. Вне всякого сомнения, можно напечатать на футболке уравнения Максвелла, и лично у меня как раз сейчас есть такая — с уравнениями специальной теории относительности и заодно с надписью «Да будет Свет» на иврите. Приятель купил мне ее в тель-авивском аэропорту. Если говорить чуть серьезнее, то основные объединительные усилия с виду не сходных друг с другом физических теорий уже увенчались успехом. Теория Максвелла объединяет магнетизм и электричество — которые некогда воспринимались как совершенно различные природные явления, питаемые полностью различными природными силами — в единое явление, электромагнетизм. Слово, возможно, слегка неказистое, но оно точно выражает процесс объединения. Более современным примером, несколько менее известным за пределами физического сообщества, является электрослабая теория, объединяющая электромагнетизм со слабыми ядерными силами (см. ниже). Следующее объединение с сильными ядерными силами оставило в стороне лишь одну вещь — гравитацию.

Ввиду этой истории представляется вполне разумным надеяться, что эту «последнюю» из имеющихся в природе сил удастся поставить на одну доску со всей остальной физикой. К сожалению, гравитация обладает рядом столь «нескладных» свойств, что такое объединение очень сложно.

 

Возможно, никакую Теорию Всего сформулировать невозможно. Хотя до сих пор математические уравнения — «законы природы» — с большим успехом объясняли наш мир, нет, тем не менее, гарантии, что этот процесс продолжится. Возможно, вселенная несколько менее математична, чем это представляется физикам.

Математические теории могут давать очень хорошее приближение к природе, но при этом не очевидно, что всякий раздел математики будет точно отображать реальность. Если нет, то тогда лоскутное одеяло взаимно не согласованных теорий будет давать вполне работоспособные приближения, пригодные в различных областях, — и при этом может не найтись единого управляющего всем этим принципа, который соединял бы в себе все эти приближения и работал всюду.

Разумеется, речь не идет о тривиальном списке правил типа «если — то»: «Если скорости малы, а масштабы велики, то используйте ньютоновскую механику; если скорости велики и масштабы велики, то используйте специальную теорию относительности» и т.д. Такая «наструганная» теория ужас как уродлива; если красота есть истина, то теория из кусков может быть только ложной. Но, быть может, в основе своей вселенная все-таки уродлива. Возможно, подобной «основы» нет вовсе. Мысли такого сорта не относятся к разряду самых приятных, но кто мы такие, чтобы подходить к космосу с нашей доморощенной эстетикой?

Взгляд, согласно которому Теория Всего должна существовать, заставляет вспомнить монотеистическую религию, в которой по мере течения тысячелетий различные компании богов и богинь, каждый со своей собственной областью юрисдикции, уступили место одному богу, в юрисдикции которого находится, строго говоря, все. Этот процесс обычно воспринимается как прогресс, но в нем есть что-то близкое стандартной философской ошибке, известной как «уравнивание неизвестностей», когда одна и та же причина объявляется ответственной за все необъяснимые явления. Как выразился писатель-фантаст Айзек Азимов, если вас беспокоят летающие тарелки, телепатия и привидения, то очевидное объяснение состоит в том, что летающими тарелками управляют сидящие в них телепатические привидения. «Объяснения», подобные этому, создают ложное ощущение прогресса — у нас было три таинственных явления, которые требовалось объяснить, а стало одно. Но новое загадочное явление соединяет в себе три отдельных, каждое из которых вполне может иметь свое собственное, целиком отличное от других объяснение. Соединяя их вместе, мы упускаем из виду эту возможность.

Когда в качестве объяснения Солнца вы предлагаете солнце-бога, а для объяснения дождя — дождь-бога, вы можете наделить каждого из понравившихся вам богов своими собственными специальными свойствами. Но если вы утверждаете, что и Солнце, и дождь управляются одним и тем же богом, то может оказаться, что вы втискиваете две различные вещи в одну и ту же смирительную рубашку. Так что, в некотором роде, фундаментальная физика до определенной степени является фундаменталистской физикой. Уравнения на футболке заменяют собой имманентное божество, а развертывание следствий из этих уравнений заменяет божественное вмешательство в повседневную жизнь.

Несмотря на все эти оговорки, сердцем я заодно с физическими фундаменталистами. Я хотел бы увидеть Теорию Всего и был бы в восторге, если бы она оказалась математической, прекрасной и истинной. Полагаю, что и люди религиозные высказали бы свое одобрение, поскольку они могли бы интерпретировать ее как доказательство наличия изысканного вкуса и развитости мышления их божества.

 

Сегодняшние поиски Теории Всего уходят корнями в первые попытки объединить электромагнетизм и общую теорию относительности, в то время заключавшие в себе всю известную физику. Эта попытка была предпринята всего через четырнадцать лет после первой статьи Эйнштейна о специальной теории относительности, восемь лет после его предсказания, что гравитация отклоняет лучи света, и через четыре года после того, как законченная общая теория относительности была представлена замершему в напряженном ожидании миру. Попытка эта была столь хороша, что вполне могла бы перенаправить развитие физики на совершенно новый путь, однако, к несчастью для ее автора, его работа совпала по времени с тем, что направило развитие физики на новый путь, — с квантовой механикой. В последовавшей затем «золотой лихорадке» физики потеряли интерес к объединенным теориям поля; мир квантов обещал куда более богатый урожай и гораздо более высокие шансы совершить значительное открытие. Потребовалось шестьдесят лет, чтобы идея, лежавшая в основе той первой попытки, вернулась к жизни.

Все началось в Кенигсберге, в то время — столице немецкой провинции Восточная Пруссия. Кенигсберг — ныне Калининград, административный центр российского анклава, лежащего между Польшей и Литвой. Необычное влияние этого города на развитие математики началось с головоломки. Через Кенигсберг протекает река Прегель (ныне — Преголя), и семь мостов некогда соединяли два берега реки друг с другом и с двумя островами[77]. Существует ли такой путь, который позволил бы жителям Кенигсберга пройти по всем мостам, одному за другим, но при этом не прошагать ни по одному мосту дважды? Леонард Эйлер разработал общую теорию таких задач (из которой следовало, что в данном случае ответ — «нет»), тем самым сделав один из первых шагов в области математики, сейчас называемой топологией. Топология занимается геометрическими свойствами, которые остаются неизменными, когда форма подвергается изгибам, скручиванию, сдавливанию, сплющиванию и всякого рода деформации, лишь бы она оставалась непрерывной — запрещается только делать разрывы и разрезы и склейки.

Топология стала одной из наиболее мощных областей в современной математике со множеством применений в физике. Она сообщает нам о возможных формах многомерных пространств, что становится все более важным как в космологии, так и в физике частиц. В космологии желательно знать форму пространства-времени на максимально больших масштабах, т.е. на масштабах всей вселенной. В физике частиц желательно знать форму пространства и времени на малых масштабах. Можно подумать, что ответ очевиден, однако физики более так не считают. И их сомнения также родились в Кенигсберге.

В 1919 году никому не известный математик из Кенигсбергского университета Теодор Калуца выдвинул очень странную идею. Он записал ее и послал Эйнштейну, который, по-видимому, при получении письма потерял дар речи. Калуца нашел способ соединить гравитацию и электромагнетизм в рамках одной последовательной «объединенной теории поля» типа той, которую в течение многих лет пытался, но без особого успеха, построить Эйнштейн. Теория Калуцы была очень изящна и естественна. Беспокойство вызывало только одно обстоятельство: объединение требовало, чтобы у пространства-времени было не четыре измерения, а пять. Время, как всегда, оставалось временем, но пространство некоторым образом приобретало четвертое измерение.

Калуца не ставил своей целью объединить гравитацию и электромагнетизм. По какой-то причине, о которой лучше всего было бы спросить у него самого, он возился с пятимерной гравитацией в качестве некой математической разминки, пытаясь понять, как будут выглядеть полевые уравнения Эйнштейна, если пространство приобретет эту нелепую дополнительную размерность.

В размерности четыре уравнения Эйнштейна содержат десять компонент — в том смысле, что они сводятся к десяти отдельным уравнениям, описывающим десять различных чисел. Эти числа все вместе составляют метрический тензор, который описывает кривизну пространства-времени. В размерности пять имеются пятнадцать компонент и, таким образом, пятнадцать уравнений. Десять из них воспроизводят стандартную четырехмерную теорию Эйнштейна, что и неудивительно; четырехмерное пространство-время вкладывается в пятимерное пространство-время, так что естественно было бы ожидать, что четырехмерный вариант гравитации вкладывается в пятимерный. А что насчет оставшихся пяти уравнений? Они могли бы оказаться какой-нибудь вещью в себе, не имеющей никакой ценности для нашего мира. Но дело обстоит по-другому. Они оказались нашими давними знакомыми, что и изумило Эйнштейна. Четыре из оставшихся уравнений Калуцы были в точности уравнениями Максвелла для электромагнитного поля — теми самыми, которые выполнены в нашем четырехмерном пространстве-времени.

Одно остающееся уравнение описывало частицы очень простого вида, игравшие незначительную роль. Но никто, и менее всех Калуца, не ожидал, что и теория гравитации Эйнштейна, и теория электромагнетизма Максвелла сами собой возникнут из пятимерного аналога одной только гравитации. Вычисления Калуцы, казалось, говорили, что свет представляет собой колебания в дополнительном, скрытом измерении пространства. Гравитацию и электромагнетизм оказалось возможным соединить друг с другом таким образом, что не было заметно никаких швов, — но только ценой предположения, что пространство на самом деле четырехмерно, а пространство-время пятимерно.

Эйнштейн никак не мог принять решения по поводу статьи Калуцы, поскольку не было никаких причин считать, что пространство-время имеет дополнительное измерение. Но в конце концов он счел, что, сколь бы странной эта идея ни казалась, она была красива и потенциально обладала столь далеко идущими следствиями, что ее стоило опубликовать. После двух лет колебаний Эйнштейн рекомендовал статью Калуцы к публикации в ведущем физическом журнале. Статья называлась «О единстве физических проблем»[78].

Все эти разговоры про дополнительные размерности должны, наверное, звучать как нечто не вполне ясное и довольно мистическое. Это ли не концепция викторианских спиритуалистов, которые привлекали спасительное четвертое измерение всякий раз, как что-нибудь не складывалось в привычных трех? Где обитают духи? В четвертом измерении. Откуда берется эктоплазма? Из четвертого измерения. Теологи совсем уже было поместили там Бога и ангелов Его, когда осознали, что хотя пять — это хорошо, тем не менее шесть еще лучше и, в конце концов, бесконечная размерность подойдет для Всемогущего и Вездесущего.

Прекрасно, конечно, однако не слишком научно. Поэтому, быть может, стоит задержаться на некоторое время, чтобы прояснить относящуюся сюда математику. Основное положение состоит в том, что «размерность» чего-то в математике или физике — это число различных переменных, необходимых для его описания.

Ученые провели немало времени, размышляя о переменных — величинах, которые подвержены изменениям. Еще больше времени провели ученые-экспериментаторы за измерением значений этих величин. «Размерность» как геометрический способ указания на такие переменные оказалась настолько полезной, что прочно вошла в аппарат и язык естественных наук и математики, где считается чем-то весьма прозаичным и ничем не примечательным.

Время представляет собой непространственную переменную, так что оно дает нам возможную четвертую размерность, однако то же самое можно сказать про температуру, скорость ветра или продолжительность жизни термитов в Танзании. Координаты точки в трехмерном пространстве определяются тремя переменными — ее расстояниями к востоку, северу и вверх относительно некоей выбранной выделенной точки (отрицательные числа используются для противоположных направлений). Аналогично все, что зависит от четырех переменных, живет в четырехмерном «пространстве», а все зависящее от 101 переменной — в 101-мерном.

Любая сложная система по необходимости многомерна. Погодные условия у вас на заднем дворе зависят от температуры, влажности, трех компонент скорости ветра, барометрического давления, интенсивности осадков — что уже составляет семь размерностей, а можно было включить еще множество других. Могу поспорить, вы и не подозревали, что у вас семимерный задний двор. Состояние всех девяти (ладно, восьми; увы бедному Плутону!) планет в нашей солнечной системе определяется шестью переменными для каждой — тремя координатами и тремя компонентами скорости. Таким образом, наша Солнечная система является 54-(я хотел сказать, 48-) мерным математическим объектом; и гораздо более многомерным, если вы учтете спутники и астероиды. Экономика, в которой присутствуют миллионы различных объектов купли-продажи, каждый со своей собственной ценой, живет в миллиономерном пространстве. В сравнении с этим электромагнетизм, требующий всего шести дополнительных чисел, чтобы охарактеризовать локальные состояния электрического и магнитного полей, — сущее дитя[79]. Подобные примеры имеются в изобилии. По мере того как наука стала интересоваться системами с большим числом переменных, ей пришлось примириться с появлением экстравагантно многомерных пространств.

Формальная математика многомерных пространств носит чисто алгебраический характер и основана на «очевидных» обобщениях того, что имеет место в пространствах более низких размерностей. Например, каждую точку на плоскости (т.е. в двумерном пространстве) можно задать двумя координатами, а каждую точку в трехмерном пространстве — тремя. Сделаем небольшой шаг вперед и определим точку в четырехмерном пространстве как список из четырех координат; и, более общим образом, определим точку в n- мерном пространстве как список из n координат. Тогда само n- мерное пространство есть просто множество всех таких точек.

Подобные алгебраические манипуляции позволяют определить в n- мерном пространстве расстояние между любыми двумя точками, угол между любыми двумя линиями и так далее. Далее дело за воображением: большинство разумных геометрических форм, имеющихся в размерности два или три, допускают непосредственные аналоги в размерности n — чтобы определить их, надо описать привычные геометрические формы, используя координатную алгебру, а потом распространить это описание на n координат.

 

Чтобы получить представление об n- мерном пространстве, нам надо запастись n- мерными очками. Можно позаимствовать прием английского священника и школьного учителя Эдвина Эббота Эббота, написавшего в 1884 году небольшую книжку «Флатландия». Книга рассказывает о приключениях А. Квадрата, который живет в двумерном пространстве эвклидовой плоскости. Эббот не сообщает нам, что означает первое «А»; я же уверен, что это «Альберт», по причинам, объясненным в написанном мною продолжении «Флаттерландия», и именно из этого допущения я и буду далее исходить. Альберт Квадрат — рассудительный малый — не верил во всякую чушь о третьем измерении, до тех пор пока в один судьбоносный день через его плоскую вселенную не прошла сфера, с головой окунув его в реализм, в этой голове не умещавшийся.

«Флатландия» представляла сатирический взгляд на викторианское общество — вложенный в параболу четвертого измерения, основанную на трансразмерной аналогии. Нас здесь интересует как раз аналогия, а не сатира. Успешно представив себя живущим в плоскости двумерным существом, пребывающим в блаженном неведении относительно большего 3-мерного пространства, не так сложно уже представить себя трехмерным существом, живущим в 3-мерном пространстве, блаженно неосведомленным о реальности большего 4-мерного пространства. Представим себе, что Альберт Квадрат, счастливо пребывающий в своей Флатландии, желает «визуализировать» сферу (заполненную трехмерную сферу, так что скорее даже шар). Эббот достиг этого, заставив сферу проходить сквозь плоскость Флатландии, двигаясь при этом перпендикулярно ей таким образом, чтобы Альберт видел ее сечения этой плоскостью. Сначала он видит точку, которая разрастается в ограниченный окружностью диск. Диск расширяется до тех пор, пока глазам Альберта не предстанет экватор сферы, после чего диск уменьшается в размерах, в конце концов снова превращаясь в точку и исчезая.

 

 

Сфера пересекает Флатландию.

 

На самом деле Альберт видит этот диск с ребра, в качестве отрезка линии с неоднородной освещенностью, однако его зрительное восприятие интерпретирует этот образ как диск, подобно тому как наше пространственное восприятие интерпретирует плоское изображение как объемное.

Применяя аналогичные рассуждения, можно «видеть» «гиперсферу» — четырехмерный аналог сферы в трехмерном пространстве — в качестве точки, которая разрастается и принимает форму сферы, расширяющейся, пока не будет пройден «экватор», а далее сжимающейся снова в точку прямо перед тем, как исчезнуть.

 

 

Гиперсфера пересекает Спейсландию.

 

Могло бы пространство на самом деле иметь более трех измерений? Не изысканных математических фикций, отвечающих непространственным переменным, а реальных физических размерностей ? Как, собственно говоря, разместить четвертое измерение? Все ведь уже заполнено.

Если вы так думаете, то, значит, не прислушивались к Альберту Квадрату, который точно так же готов был рассуждать о плоскости. Если оставить наши доморощенные предубеждения, то представляется, что пространство могло бы в принципе быть четырехмерным, миллиономерным или сколько-угодномерным. Тем не менее все без исключения наблюдения продолжают снабжать нас информацией о том, что в нашей конкретной вселенной Господь в Своей доброте установил три измерения для пространства и одно для времени.

Или Он все же сделал по-другому? Если физика чему-то нас и учит, так это относиться к повседневным наблюдениям с опаской. Стул представляется нам твердым, но по большей части он состоит из пустого пространства. Пространство выглядит плоским, но согласно теории относительности оно искривлено. Квантовые физики думают, что на очень малых масштабах пространство представляет собой нечто вроде квантовой пены, по большей части дыр. А горячие сторонники интерпретации квантовой неопределенности в рамках «многих миров» полагают, что наша вселенная — лишь одна из бесконечного многообразия сосуществующих вселенных и что мы занимаем лишь тончайший слой обширной мультивселенной. Если уж здравый смысл может подводить нас в таких вещах, то не приведет ли он к ошибке в отношении размерности пространства или времени?

У Калуцы было простое объяснение дополнительного измерения, которое в его теории приписывалось пространству-времени. Традиционные размерности вытянуты вдоль прямых линий, достаточно длинных, чтобы их можно было наблюдать, — на самом деле длиной в миллиарды световых лет. Новое измерение, предложенное Калуцей, устроено совсем по-другому: оно скручено в маленькую окружность размером много меньше атома. Световые волны, подобно ряби на воде, могут бегать вдоль такой окружности, потому что они тоже маленькие, много меньше атома, но материя не в состоянии продвигаться в этом направлении, потому что там нет для нее места.

Это не такая уж глупая идея. Если посмотреть на водяной шланг издалека, он будет выглядеть как линия, т.е. будет казаться одномерным. Но при ближайшем рассмотрении становится ясно, что шланг в действительности трехмерен и имеет маленькие круглые сечения.

Эта скрытая структура нового измерения объясняет кое-что из того, что можно наблюдать с большого расстояния, а именно то, как шлангу удается подавать воду. Для этого сечения должны быть соответствующей формы, с полостью посередине. Теперь представим себе, что толщина шланга меньше, чем размер атома. Чтобы заметить дополнительные размерности, в этом случае потребовалось бы разглядывать шланг необычайно скрупулезно. Такой невероятно тонкий шланг не смог бы подавать воду, но достаточно маленькие объекты все же смогли бы по нему путешествовать.

 

 

С далекого расстояния (как показано сверху) шланг выглядит одномерным. При ближайшем рассмотрении (внизу) он обнаруживает два дополнительных измерения.

 

Таким образом, удается заметить влияние дополнительных измерений, не наблюдая при этом их самих. Это означает, что скрытые размерности пространства-времени представляют собой полностью научное предположение: их присутствие можно в принципе проверить, пусть только исследуя результат их влияния, а не непосредственно воспринимая их органами чувств. Большинство проверок в науке основаны на изучении влияния — если бы мы могли непосредственно видеть причины какого-либо явления, нам не требовались бы ни теория, ни эксперимент. Например, никто никогда не видел электромагнитного поля. То, что удается увидеть, — это искры и отклонение стрелки компаса к северу, откуда (если наблюдения выполняют ученые) делается вывод о том, что за это ответственно некоторое поле.

Теория Калуцы приобрела определенную популярность, потому что она оставалась единственной известной идеей, поддерживающей надежду на существование объединенной теории поля. В 1926 году другой математик, Оскар Клайн, усовершенствовал теорию Калуцы, предположив, что квантовая механика, возможно, в состоянии объяснить, почему пятое измерение скручивается в нечто столь маленькое. В действительности его размер должен иметь порядок величины, близкий к постоянной Планка, — должен иметь порядок «планковской длины» 10^−35 метров[80].

Теория Калуцы-Клайна, как ее стали называть, привлекала физиков в течение некоторого времени. Но невозможность непосредственно убедиться в присутствии дополнительного измерения отравляла им всю радость. По определению теория Калуцы-Клайна находилась в согласии со всеми известными явлениями в гравитации и электромагнетизме[81]. Ее невозможно было отвергнуть на основе стандартных экспериментов. Но она ничего на самом деле и не добавляла — не предсказывала ничего такого, что можно было бы проверить. От той же проблемы страдают многие попытки объединить существующие законы. Все то, что в них можно проверить, уже известно, а новое проверке не подлежит. Первоначальный энтузиазм пошел на спад.

Роковой удар по теории Калуцы-Клайна — не в отношении ее верности, а в отношении того, стоит ли тратить на нее драгоценное время исследований — был нанесен ошеломляющим ростом гораздо более привлекательной теории, в которой можно было делать новые предсказания и экспериментально их проверять. Это была квантовая теория, переживавшая тогда пору своей цветущей молодости.

 

К 60-м годам двадцатого века, однако, квантовая механика начала сбавлять обороты. Первоначальный прогресс уступил место глубоким парадоксам и необъяснимым наблюдениям. Успех квантовой теории не подлежал сомнению, и на этой основе вскоре возникла «стандартная модель» фундаментальных частиц. Но становилось все труднее найти новые вопросы, на которые был бы хоть какой-нибудь шанс получить ответ. По-настоящему новые идеи трудно было проверить; те идеи, которые допускали проверку, были лишь развитием уже существующих.

Из всех этих исследований возник один весьма изящный основополагающий принцип: ключевую роль в отношении структуры материи на очень малых масштабах играет симметрия. Но важные симметрии фундаментальных частиц — это ни обычные движения эвклидова пространства без деформаций, ни даже лоренцевы преобразования релятивистского пространства-времени. Они включают в себя калибровочные симметрии и суперсимметрии. Кроме того, имеются и другие виды симметрии (вполне в духе тех, что изучал Галуа), действующие перестановками на дискретном множестве объектов.

Каким образом могут существовать различные типы симметрий?

Симметрии всегда образуют группу[82], но имеется много различных способов, которыми группа может действовать. Она может действовать параллельными переносами или вращениями, перестановками компонент или же обращением направления времени. Физика частиц привела к открытию нового способа, каким могут действовать симметрии, названные калибровочными. Выбранное название — историческая случайность (лучше было бы называть их локальными симметриями).

Представьте себе, что вы отправились в другую страну — назовем ее Дупликатия, — и там вам понадобились деньги. Валютой в Дупликатии является пфуннинг, а обменный курс — два пфуннинга за доллар. Сначала это вас слегка смущает, но потом вы обращаете внимание, что имеется очень простое и очевидное правило для перевода всех транзакций из долларов в пфуннинги: в пфуннингах все стоит ровно в два раза больше, чем вы бы заплатили в долларах.

Тут действует некий вид симметрии. «Законы» денежных транзакций остаются неизменными, если удвоить все числа. При этом, чтобы компенсировать численное удвоение, вам приходиться платить в пфуннингах, а не в долларах. Эта «инвариантность относительно монетарного масштаба» представляет собой глобальную симметрию правил, действующих для денежных транзакций. Если везде произвести одно и то же изменение, то правила останутся инвариантными.

Так, а, допустим, прямо через границу, в соседней Трипликатии, местной валютой является будл, причем их дают три за доллар. Когда вы отправитесь в Трипликатию, соответствующая симметрия потребует умножения всех сумм на три. Но законы коммерции по-прежнему остаются инвариантными.

Таким образом, перед нами «симметрия», которая изменяется в зависимости от места. В Дупликатии надо умножать на два, в Трипликатии — на три. Скорее всего, вы не удивитесь, когда, приехав в Квинтапликатию, узнаете, что там доллар надо умножать на пять. Все эти операции симметрии можно применять одновременно, но каждая пригодна только в соответствующей стране. Законы коммерции остаются инвариантными, надо только интерпретировать числа в соответствии с местной валютой.

Это локальное масштабное преобразование денежных операций является калибровочной симметрией законов коммерции. В принципе обменный курс мог бы быть различным в каждой точке пространства и времени, а законы все равно оставались бы инвариантными — при условии, что все транзакции интерпретируются в терминах локального значения «валютного поля».

 

Квантовая электродинамика соединяет в себе специальную теорию относительности и теорию электромагнетизма. Она явилась первым физическим объединением после Максвелла, и основана она на калибровочной симметрии электромагнитного поля[83].

Как мы видели, теория электромагнетизма симметрична относительно группы Лоренца — группы преобразований специальной теории относительности. Эта группа состоит из глобальных симметрий пространства-времени, то есть ее преобразования надо применять одновременно ко всей вселенной, чтобы сохранить уравнения Максвелла в неизменности. Однако Максвеллов электромагнетизм обладает также калибровочной симметрией, которая играет ключевую роль в квантовой электродинамике. Эта симметрия заключается в изменении фазы света.

Всякая волна состоит из регулярных всплесков. Максимальный размер всплеска — это амплитуда волны. Момент времени, в который волна попадает в этот максимум, называется фазой волны; фаза говорит нам о том, когда и где достигаются пиковые значения. Что важно, это не абсолютная фаза какой-либо волны, а разность фаз между двумя отдельными волнами. Например, если разность фаз двух (в остальном тождественных) волн составляет половину периода (времени между максимальными высотами), то одна волна будет попадать в максимумы как раз «не в ногу» с другой, так что пики одной совпадут со впадинами другой.

Когда вы идете по улице, ваша левая нога на полпериода отстает по фазе от правой ноги. Когда слон идет по улице, его ноги одна за другой касаются земли в фазах, равных 0, ¹/₄, ¹/₂ и ³/₄ полного периода; сначала левая задняя, потом левая передняя, потом правая задняя и затем правая передняя. Стоит заметить, что, начав считать от 0 с какой-нибудь другой ноги, мы получили бы некоторые другие числа, но соответствующие разности фаз все равно составляли бы те же 0, ¹/₄, ¹/₂ и ³/₄. Таким образом, относительная фаза корректно определена и физически осмысленна.

Рассмотрим световой луч, проходящий через некоторую сложную систему линз и зеркал. Поведение луча оказывается не зависящим от общей фазы. Изменение фазы эквивалентно малой временной задержке в наблюдениях, или, что то же самое, некоторой перестановке часов наблюдателя.

На геометрию системы или путь света это не влияет. Даже если две световые волны пересекаются, ничто не меняется — при условии, что фазы обеих волн сдвигаются на одну и ту же величину.

 

 

Эффект фазового сдвига волны.

 

Эти сдвиги фаз до сих пор представляли собой глобальную симметрию. Но если внеземной экспериментатор где-нибудь в галактике Андромеда изменит фазу света в одном из своих экспериментов, то в земной лаборатории не последует никакого эффекта. Таким образом, фазу света можно изменять произвольным образом в каждом данном месте пространства и времени, и законы физики должны оставаться инвариантными. Возможность произвольного изменения фазы в каждой точке пространства-времени без глобального требования, чтобы фаза была повсюду одинакова, представляет собой калибровочную симметрию уравнений Максвелла, и эта симметрия сохраняется в квантовом варианте этих уравнений — квантовой электродинамике[84].

Фазовый сдвиг на полный период колебаний есть то же самое, что отсутствие фазового сдвига, а отсюда следует, что рассматриваемое абстрактно изменение фазы является вращением. Таким образом, относящаяся сюда группа симметрии — калибровочная группа — есть группа вращений двумерного пространства SO(2). Однако физики любят, чтобы квантовые координатные преобразования были у них «унитарными», т.е. определялись не действительными числами, а комплексными. К счастью, SO(2) имеет и другое воплощение — в виде унитарной группы U(1), представляющей собой группу вращений в комплексной плоскости.

Коротко говоря, квантовая электродинамика обладает калибровочной U(1)-симметрией.

Калибровочные симметрии оказались ключом к двум следующим объединениям в физике — электрослабой теории и квантовой хромодинамике[85]. Взятые вместе, они составляют Стандартную Модель — на данный момент общепринятую теорию всех фундаментальных частиц. Прежде чем мы увидим, как в ней обстоят дела, надо точно объяснить, что же именно объединяется: не теории, а силы.

Современная физика выделяет четыре различных вида сил в природе — гравитацию, электромагнетизм, слабые ядерные силы и сильные ядерные силы. Все они обладают очень различными характеристиками: они действуют на разных масштабах пространства и времени, некоторые из них заставляют частицы притягиваться, некоторые — отталкиваться, некоторые — делать и то и другое в зависимости от частиц и, наконец, некоторые — делать и то и другое в зависимости от того, на каком расстоянии друг от друга частицы находятся.

На первый взгляд каждая сила мало напоминает остальные. Но в глубине под поверхностью вещей имеются указания, что эти различия на самом деле не так велики, как кажется. Физики смогли получить свидетельства глубокого единства, подсказывающего, что все четыре силы имеют общее объяснение.

Следствия гравитации мы ощущаем на себе постоянно. Когда мы роняем тарелку и она разбивается об пол в кухне, мы наблюдаем, как гравитация тянет ее по направлению к центру Земли, а пол встает у нее на пути. Поросята на дверце холодильника (у нас дома, по крайней мере, это именно поросята) держатся там благодаря магнитной силе, относительно которой Максвелл установил, что она есть всего лишь один аспект объединенной электромагнитной силы. Ее электрическое проявление обеспечивает работу холодильника. Менее очевидным образом, разбившаяся тарелка также демонстрирует проявления электромагнитной силы, потому что именно она в основном действует в химических связях, удерживающих вместе куски материи. Когда напряжение в тарелке становится настолько велико, что электромагнитная сила больше не может удерживать молекулы вместе, тарелка бьется.

Две оставшиеся силы, действующие на уровне атомного ядра, проявляются не так непосредственно; но без них не было бы вообще никакой материи, потому что благодаря им атомы представляют собой единое целое[86]. Они — причина, по которой тарелки, поросята, холодильник, пол и кухня существуют.

Силы других типов могли бы в принципе породить вселенную иного типа, и нам о таких возможностях не известно практически ничего. Нередко утверждается, что без наших конкретных сил жизнь была бы невозможна, что как бы доказывает, что наша вселенная на удивление хорошо подогнана к тому, чтобы жизнь в ней была возможна. Этот неверный аргумент — колоссальное преувеличение, основанное на определенном взгляде на то, что составляет жизнь. Жизнь, подобная нашей, была бы невозможна, но верхом самонадеянности было бы считать, что жизнь нашего типа — это единственно возможный вид сложной организации, который мог бы существовать. Логическая ошибка состоит здесь в смешении достаточных условий для жизни (те аспекты нашей вселенной, от которой зависит жизнь нашего типа) с необходимыми.

Первой из четырех была научно сформулирована сила гравитации. Согласно Ньютону, это притягивающая сила: любые две частицы во вселенной, утверждал он, притягивают друг друга гравитационно. Гравитационная сила — дальнодействующая: она спадает с расстоянием достаточно медленно. С другой стороны, гравитационная сила намного слабее остальных трех: малюсенький магнитик может крепко удерживать поросенка на холодильнике, несмотря на то что вся Земля пытается притянуть его к себе за счет гравитационной силы.

Следующим по очереди среди фундаментальных сил был осознан электромагнетизм, за счет которого частицы могут или притягивать, или отталкивать друг друга. Тот или иной случай реализуется в зависимости от того, имеют ли частицы электрические заряды одного знака и одну и ту же магнитную полярность. Если да, то сила оказывается отталкивающей; если нет — притягивающей. И эта сила также дальнодействующая.

Ядра в атоме составлены из меньших частиц — протонов и нейтронов. Нейтроны, как можно заключить уже из их названия, не несут электрического заряда, но все протоны имеют положительный заряд. Электромагнитное отталкивание между протонами должно бы вызвать распад ядра. Что же удерживает ядро в виде одного целого? Гравитация слишком слаба — вспомните о поросятах на холодильнике. Должна существовать некая другая сила — которую физики назвали сильным ядерным взаимодействием.

Но если сильное взаимодействие может преодолеть электрическое отталкивание, то почему же все протоны во вселенной не слиплись в одно гигантское атомное ядро? Дело в том, что влияние сильного взаимодействия быстро спадает с расстоянием, как только расстояние превышает размер ядра. Итак, сильное взаимодействие является короткодействующим.

Сильное взаимодействие не объясняет явление радиоактивного распада, когда атомы определенных элементов «выплевывают» частицы и излучение, превращаясь при этом в атомы других элементов. Уран, например, является радиоактивным и в конце концов превращается в свинец. Таким образом, должна существовать еще одна субатомная сила. Ею оказывается слабое взаимодействие; оно даже еще более короткодействующее, чем сильное взаимодействие: оно действует только на расстояниях в одну тысячную размера протона[87].

Физика была неизмеримо проще, когда единственными «кирпичиками» материи считались протоны, нейтроны и электроны. Эти «элементарные частицы» составляли атомы, которые, как стало ясно, на самом деле могут распадаться, хотя само название означает «неделимый». В ранней модели Нильса Бора атом представлялся как тесное собрание протонов и нейтронов, вокруг которых вращались гораздо более легкие, удаленные от них электроны. Протон несет фиксированный положительный электрический заряд, электрон несет то же количество отрицательного заряда, а нейтрон электрически нейтрален.

Позднее, по мере развития квантовой теории, этот образ в духе представлений о солнечной системе уступил место более хитрому устройству. Электроны не вращаются вокруг ядра в качестве четко определенных частиц, но некоторым образом размазаны вокруг ядра в виде облаков довольно замысловатых форм. Эти облака лучше всего интерпретируются как облака вероятности[88]. Если смотреть на электрон, то вероятнее всего найти его там, где плотность облаков максимальна, и наоборот, он будет реже встречаться в областях, где облако «разрежено».

Физики изобрели новые способы изучать структуру атома, «разбирая» его на части и исследуя внутреннюю структуру этих частей[89]. Основной метод, которым до сих пор продолжают пользоваться, состоит в том, чтобы ударить по атому другим атомом или частицей и посмотреть, что вылетит из области соударения. Постепенно — эта история слишком сложная, чтобы излагать ее подробно — обнаруживались все новые и новые частицы. Это было нейтрино, которое обладает способностью пройти миллионы километров через свинец, не претерпев столкновения, в силу чего его нелегко детектировать. Далее, это был позитрон, который похож на электрон, но несет противоположный электрический заряд и который был предсказан дираковской симметрией между материей и антиматерией.

Когда число «элементарных» частиц перевалило за шестьдесят, физики стали искать более глубокие классифицирующие принципы. «Кирпичики» материи оказались слишком многочисленными, чтобы быть фундаментальными. Частица каждого типа характеризуется рядом свойств: массой, зарядом, тем, что называется «спином» и представляет собой некое подобие вращения вокруг некоторой оси (за исключением того факта, что это старомодное представление и, чем бы спин ни был, он не сводится к вращению)[90]. Частицы вращаются не в пространстве (как это делают Земля или крутящийся волчок), а в некоторых более экзотических измерениях.

Как и все в квантовом мире, большая часть этих свойств выражается целыми кратными базовых, очень маленьких количеств — квантов. Все электрические заряды выражаются как целые кратные заряда протона. Все спины суть целые кратные спина электрона. Отсутствовала ясность по поводу того, квантуется ли аналогичным образом масса; массы фундаментальных частиц представляли собой мешанину, лишенную всякой структуры.

Стали проявляться и некоторые общие семейные черты. Важное различие потребовалось провести между частицами, спин которых есть нечетное кратное спина электрона, и частицами, спин которых — четное кратное. Причина состоит в свойствах симметрии; спины (живущие в своих экзотических пространствах) вели себя по-разному, если заставить частицу вращаться в обычном пространстве. Некоторым образом, экзотические спиновые и прозаические пространственные измерения оказались связаны.

Нечетные частицы получили название фермионов, а четные[91] — бозонов, по именам двух гигантов физики частиц, Энрико Ферми и Сатьендраната Бозе. По причинам, которые некогда представлялись разумными, спин электрона определен равным ¹/₂. Таким образом, бозоны имеют целочисленные спины (четные кратные ¹/₂ являются целыми), а фермионы — спины ¹/₂, ³/₂, ⁵/₂ и т.д., а также противоположные им −¹/₂, −³/₂, −⁵/₂[92].

Фермионы подчиняются принципу запрета Паули, который гласит, что в любой заданной квантовой системе две различные частицы не могут находиться в одном и том же состоянии в один и тот же момент времени. Бозоны не подчиняются принципу Паули.

К фермионам относятся все хорошо знакомые частицы — фермионами являются протоны, нейтроны и электроны. Кроме того, к фермионам относятся и более экзотические частицы, такие как мюон, тау-лептон, лямбда, сигма, кси и омега, — их имена представляют собой буквы греческого алфавита. Фермионами также являются три типа нейтрино, связанные с электронами, мюонами и тау-лептонами.

У бозонов более загадочные имена, такие как пион, каон и эта.

Специалисты по физике частиц знали, что все эти частицы существуют, и научились измерять их физические свойства. Задача состояла в том, чтобы найти смысл в кажущейся мешанине. Построена ли наша вселенная из чего-то, что случайно подвернулось под руку? Или же имелся некий скрытый план?

Итог подобных размышлений состоял в том, что многие казавшиеся элементарными частицы в действительности оказались составными. Все они построены из кварков . Кварки (слово, заимствованное из «Поминок по Финнегану»[93]) организованы в шесть различных ароматов, получивших условные названия up, down, strange (странный), charm (очарованный), top и bottom. Все они — фермионы со спином ¹/₂. У каждого имеется свой антикварк.

Есть два способа складывать кварки вместе. Один — это использовать три обыкновенных кварка, и в таком случае получается фермион. Протон, например, состоит из двух up-кварков и одного down-кварка, а нейтрон — из двух down и одного up. Необычная частица, названная омега-минус, составлена из трех странных кварков. Второй способ состоит в том, чтобы использовать кварк и какой-нибудь антикварк, что в результате дает бозон. Они не аннигилируют друг с другом, потому что ядерные силы удерживают их на расстоянии друг от друга[94].

Чтобы все получилось правильно с электрическим зарядом, заряды кварков не могут быть целочисленными[95]. У одних кварков заряд ¹/₃, у некоторых ²/₃. Кварки организованы в три различных «цвета». Таким образом, всего имеется 18 типов кварков плюс еще 18 антикварков. Ах да, есть кое-что еще. Надо добавить некоторое количество частиц, «переносящих» сильные ядерные взаимодействия, которые удерживают кварки вместе. Получающаяся теория обладает немалой математической элегантностью, несмотря на некоторое размножение числа частиц, и известна как квантовая хромодинамика.

Квантовая теория объясняет все физические силы в терминах обмена частицами. Подобно тому как теннисный мячик удерживает вместе двух игроков на противоположных сторонах корта, пока продолжается игра, так и различные частицы переносят электромагнитные, сильные и слабые взаимодействия. Электромагнитное взаимодействие переносят фотоны. Сильное взаимодействие переносят глюоны, а слабое — промежуточные векторные бозоны. (Не ругайте меня — не я изобрел эти названия: по большей части они возникли в результате исторических случайностей.) Наконец, широко распространено предположение, что гравитацию должны переносить гипотетические частицы, названные гравитонами. Обнаружить гравитон пока не удалось.

Крупномасштабный эффект всех этих частиц-переносчиков состоит в том, что вселенная заполнена «полями»[96]. Гравитационные взаимодействия создают гравитационное поле, электромагнитные — электромагнитное поле, а две ядерные силы, взятые вместе, создают нечто, названное полем Янга-Миллса по именам физиков Чжэньнин Янга и Роберта Миллса.

Основные характеристики фундаментальных взаимодействий можно подытожить в некотором подобии физического прейскуранта.

 

 

Гравитация

Напряженность 6×10^−39, радиус действия бесконечен, переносится гравитонами (не наблюдались, но должны иметь массу 0 и спин 2), образует гравитационное поле.

 

Электромагнетизм

Напряженность 10^−2, радиус действия бесконечен, переносится фотонами (масса 0, спин 1), образует электромагнитное поле.

 

Сильное взаимодействие

Напряженность 1, радиус действия 10^−15 метров, переносится глюонами (масса 0, спин 1), образует одну из компонент поля Янга-Миллса.

 

Слабое взаимодействие

Напряженность 10^−6, радиус действия 10^−18 метров, переносится векторными бозонами (большая масса, спин 1), образует другую компоненту поля Янга-Миллса.

 

У вас может сложиться впечатление, что 36 фундаментальных частиц да еще глюоны в ассортименте[97], — не слишком большое улучшение по сравнению с шестьюдесятью или более частицами. Однако кварки образуют семейство с очень строгой структурой и огромной симметрией. Все они представляют собой вариацию на одну и ту же тему, в отличие от дикого зверинца частиц, с которыми физикам приходилось иметь дело до открытия кварков.

Описание фундаментальных частиц в терминах кварков и глюонов известно как Стандартная Модель[98]. Она исключительно хорошо согласуется с экспериментальными данными. Некоторые из масс некоторых частиц пришлось установить таким образом, чтобы добиться согласия с наблюдениями, но после этого все другие массы в точности попадают куда надо. Здесь нет замкнутого логического круга.

Кварки связаны друг с другом очень крепко, и невозможно увидеть изолированный кварк. Все, что удается наблюдать, это комбинации из двоек и троек кварков. Тем не менее физика частиц нашла непрямые подтверждения существования кварков. Они не являются всего лишь нумерологическими изысканиями в зоопарке частиц. И для тех, кто верит, что вселенная в основе своей прекрасна, свойства симметрии кварков подтверждают это.

Согласно квантовой хромодинамике, протон составлен из трех кварков — двух up и одного down. Если взять кварки из протона, перетасовать их, а потом положить обратно, то все равно получится протон. Таким образом, законы для протонов должны быть симметричны относительно перестановок составляющих их кварков. Более интересно то, что эти законы также оказываются симметричными относительно изменения типа кварка. Можно было бы, скажем, превратить up-кварк в down-кварк, и законы работали бы по-прежнему[99].

Отсюда следует, что настоящая группа симметрии является здесь не просто группой из шести перестановок трех кварков, а тесно связанной с ней непрерывной группой SU(3) — одной из простых групп в списке Киллинга. Преобразования из SU(3) оставляют уравнения для законов природы неизменными, но они могут изменить решения этих уравнений. Используя SU(3), можно, например, «повернуть» протон в нейтрон. Все, что нужно сделать, — это перевернуть все составляющие его кварки вверх ногами, так, чтобы два up и один down стали двумя down и одним up. Мир фермионов имеет SU(3) симметрию, которая действует, меняя один фермион на другой.

Еще две группы симметрии дают вклад в Стандартную Модель. Калибровочные симметрии слабых взаимодействий, образующие группу SU(2), могут заменить электрон на нейтрино. Группа SU(2) — еще одна из списка Киллинга. И доброе старое электромагнитное поле имеет симметрию U(1) — не лоренцеву симметрию уравнений Максвелла, а калибровочную (т.е. локальную) симметрию изменений фазы. Эта группа отсутствует в списке Киллинга потому, что это не SU(1), но морально она там присутствует, поскольку является очень близким родственником[100].

Электрослабая теория соединила электромагнетизм и слабое взаимодействие путем объединения их калибровочных групп. Стандартная Модель также включает в себя сильные взаимодействия, являясь единой теорией для всех фундаментальных частиц. Делает она это весьма прямолинейно: она просто соединяет все три калибровочные группы вместе, в группу SU(3)×SU(2)×U(1). Эта конструкция проста и непосредственна, но не особо изящна, и именно из-за нее Стандартная Модель напоминает сооружение, построенное из жевательной резинки и куска бечевки.

Предположим, у вас есть мяч для гольфа, пуговица и зубочистка. Мяч для гольфа имеет сферическую симметрию SO(3), пуговица имеет симметрию окружности SO(2), а зубочистка обладает, скажем, просто отражательной симметрией O(1). Можно ли найти некоторый объединенный объект, обладающий всеми этими тремя типами симметрий? Да, можно — просто положите все три в бумажный пакет. Теперь вы можете применять SO(3) к содержимому пакета за счет вращения мяча для гольфа, SO(2) за счет вращения пуговицы, a O(1) — за счет переворачивания зубочистки. Группа симметрии содержимого пакета есть SO(3)×SO(2)×O(1). Стандартная Модель соединяет симметрии таким же образом, только вместо вращений она использует «унитарные преобразования» из квантовой механики. И страдает от того же недостатка: она просто сваливает различные системы в кучу и комбинирует их симметрии очевидным и довольно тривиальным способом.

Гораздо более интересный способ комбинирования трех групп симметрий может состоять в построении чего-то, что содержит те же объекты, но более изящным способом, чем просто в бумажном пакете. Может быть, у вас получится уравновесить зубочистку на мяче для гольфа, а на конце ее прикрепить пуговицу. Или у вас может быть целая система зубочисток, подобная спицам колеса; установите пуговицу на втулку и крутите колесо на мяче для гольфа. Если вы хорошенько исхитритесь, быть может, построенный объект будет обладать огромной симметрией, скажем, группой K(9). (Такой группы нет. Я придумал ее для этого обсуждения.) Группы симметрии SO(3), SO(2) и O(1) по отдельности могли бы при везении оказаться подгруппами в K(9). Это был бы куда более впечатляющий способ объединить мяч для гольфа, пуговицу и зубочистку.

Физики испытывают нечто подобное по поводу Стандартной Модели, и им бы хотелось, чтобы K(9) была чем-то из списка Киллинга или вроде того, потому что Киллинговы группы являются фундаментальными составными частями симметрии. И вот физики изобрели целый ряд теорий Великого Объединения, или ТВО, основанных на группах, подобных SU(5), О(10) и Киллинговой таинственной исключительной группе E ₆. ТВО, по видимости, страдали от того же недостатка, что и теория Калуцы-Клайна, — от отсутствия допускающих проверку предсказаний. Но затем появились по-настоящему интересные предсказания. Они определенно были новыми — настолько, что вероятность того, что они окажутся истинными, казалась невысокой, однако они допускали проверку. Все ТВО предсказывают, что протон можно «повернуть» в электрон или нейтрино. Таким образом, протоны оказываются неустойчивыми, и через длительное время вся материя во вселенной должна распасться, превратившись в излучение. Вычисления показывают, что среднее время жизни протона должно быть около 10²⁹ лет, что намного больше возраста вселенной. Но отдельные протоны могут спонтанно распадаться намного быстрее, и если протонов достаточно много, то можно засечь распад.

Большая цистерна с водой содержит более чем достаточно протонов для того, чтобы каждый год несколько из них распадалось. К концу 80-х годов двадцатого века проводились шесть экспериментов с целью зафиксировать распад протона. Самая большая из цистерн содержала более 3000 тонн исключительно чистой воды. Распадов протона зафиксировать не удалось. Ни одного. Что означает, что среднее время жизни составляет по крайней мере 10³² лет. Протоны живут по крайней мере в тысячу раз дольше, чем это предсказывают ТВО. ТВО ну никак не могут заставить протон развалиться на части. Оглядываясь назад, следует признать, что если бы распад протона был зафиксирован, это вызвало бы некоторую неловкость, потому что в ТВО отсутствует кое-что очень важное — гравитация.

 

Любая Теория Всего призвана объяснить, почему имеются четыре фундаментальные силы и почему они приняли тот странный вид, какой имеют сегодня. Это до известной степени похоже на попытки найти фамильное сходство между слоном, вомбатом[101], лебедем и комаром.

Было бы намного легче организовать четыре силы, если бы удалось показать, что все они — различные проявления одной силы. В биологии такое удалось сделать: все слоны, вомбаты, лебеди и комары являются представителями Древа Жизни; объединяет их ДНК, а отличает друг от друга длинный исторический ряд изменений, произошедших в ДНК. Все четверо эволюционировали шаг за шагом от общего предка, который жил миллиард или два миллиарда лет назад.

Общий предок слонов и вомбатов жил позднее, чем, скажем, общий предок слонов и лебедей. Так что эта дивергенция представляет собой наиболее недавнее ветвление древа, нарисованного для этих четырех видов. До того общий предок слонов и вомбатов отделился от некоторого предка лебедя. А еще ранее общий предок этих трех видов отделился от предка комара.

 

 

Как четыре вида дивергируют с течением времени.

 

Происхождение видов можно трактовать как некое нарушение симметрии. Единый вид является (приближенно) симметричным относительно любой перестановки входящих в него организмов; каждый вомбат напоминает любого другого. Когда имеются два различных вида — вомбаты и слоны, можно переставлять вомбатов между собой, а слонов между собой, но нельзя заменить слона на вомбата так, чтобы никто этого не заметил.

Физики похожим образом объясняют единство, лежащее в основе четырех сил. Роль ДНК, однако, здесь играет температура вселенной — другими словами, уровень ее энергии. Хотя основополагающие законы природы одни и те же во все моменты времени, они приводят к различному поведению при различных энергиях — так же как вода, согласно одним и тем же законам, является твердой при низких температурах, жидкой при средних и газообразной при высоких. При очень высоких температурах молекулы воды разрушаются, и образуется плазма , состоящая из отдельных частей[102]. При еще более высоких температурах сами эти частицы разрушаются и образуют кварк-глюонную плазму.

Когда Вселенная возникла в момент Большого Взрыва, тринадцать миллиардов лет назад, она была невероятно горячей. Сначала все четыре силы действовали в точности одинаково. Но по мере того, как вселенная остывала, ее симметрия нарушалась, а силы расщеплялись на отдельные, каждая со своими отличительными свойствами. На данный момент наша вселенная с ее четырьмя силами является бледной копией той изящной изначальной — результатом трех нарушений симметрии.

 

Глава 14

Политический журналист

 

В июне 1972 года во время кампании по выборам президента США охранник в Уотергейтском комплексе заметил на одной из дверей скотч и оборвал его, решив, что, должно быть, его случайно оставили рабочие. Однако, когда он вернулся, скотч снова оказался на месте — им был заклеен язычок замка. Это вызвало подозрение, охранник позвонил в полицию, и та арестовала пятерых человек, проникших в помещение Национального комитета Демократической партии. Оказалось, они связаны со штабом по переизбранию президента Никсона.

Это событие не оказало большого влияния на сами выборы — Никсон победил с внушительным перевесом. Но историю не удалось замять, и щупальца Уотергейтского дела начали постепенно проникать все глубже и глубже в администрацию Никсона.

Два репортера из Washington Post , Боб Вудворд и Карл Бернстайн, вцепились в это дело бульдожьей хваткой. Журналисты получали секретную информацию от осведомителя, известного под псевдонимом Глубокая Глотка. Никто не знал, кто этот человек, однако все понимали, что это лицо занимает очень высокий административный пост. В 2005 году выяснилось, что Глубокой Глоткой был Марк Фелт, второй человек в Федеральном бюро расследований.

Информация, благодаря ему просочившаяся в прессу, имела эффект разорвавшейся бомбы. К апрелю 1974 года Никсону пришлось отправить в отставку двух своих высокопоставленных помощников. Как выяснилось, президент установил «жучки» в собственном кабинете, и имелись пленки с записью довольно деликатных разговоров. После юридического сражения за доступ к пленкам в некоторых записях обнаружились пробелы, по всей вероятности — результат целенаправленного стирания.

Попытка скрыть то обстоятельство, что между проникновением со взломом и Белым Домом существует непосредственная связь, воспринималась практически всеми как преступление худшее, чем сам взлом. Палата Представителей начала формальный процесс, который мог привести к импичменту президента по обвинению в «тяжких преступлениях и правонарушениях» перед Сенатом США; в случае установления вины ему грозила отставка. Когда импичмент и осуждение стали неотвратимы, Никсон сам подал в отставку.

Противником Никсона на выборах был сенатор Джордж Макговерн. Объявляя в Сью Фоллс, штат Южная Дакота, о выдвижении своей кандидатуры от Демократической партии, Макговерн сделал несколько пророческих замечаний: «Сегодня наши граждане более не чувствуют, что они могут строить собственную жизнь во взаимодействии со своими согражданами. Происходит это из-за потери доверия к правдивости и здравому смыслу наших лидеров. Самым тягостным новым оборотом в американском политическом словаре стало выражение „кризис доверия“, который проявляется в разрыве между риторикой и реальностью. Говоря откровенно, это означает, что люди больше не верят в то, что говорят им их лидеры».

Среди второстепенных фигур в кампании Макговерна был начинающий политический журналист, карьера которого, вероятно, пошла бы вверх, одержи Макговерн победу на выборах. В том варианте истории политика могла бы обогатиться, но фундаментальная физика и продвинутая математика стали бы намного беднее. В 2004 году — в той истории, которая на самом деле осуществилась — этот журналист фигурировал в списке журнала Time среди сотни самых влиятельных людей за год, но попал он туда не в связи с журналистикой.

Он оказался в списке за свои новаторские вклады в математическую физику. На его счету некоторые из наиболее оригинальных математических построений в мире, за которые он получил Филдсовскую медаль — высшую награду в математике, сравнимую по престижности с Нобелевской премией. Однако он не математик. Он — один из ведущих в мире физиков-теоретиков и награжден Национальной научной медалью, хотя по своему первому образованию он историк. А кроме того, он — один из главных пропагандистов (хотя и не совсем оригинальный творец) самых передовых современных усилий по объединению всей физики. Он занимает должность профессора математической физики в Институте высших исследований в Принстоне, где некогда работал Эйнштейн, а зовут его Эдвард Виттен.

Подобно немецким отцам квантовой теории и в отличие от несчастного Дирака, Виттен вырос в интеллектуальной среде. Его отец Луи Виттен — тоже физик, работающий в области общей теории относительности и гравитации. Эдвард родился в Балтиморе, штат Мэриленд, и начал обучение в университете Брандайс. После переизбрания Никсона он вернулся к академической жизни, защитив диссертацию в Принстонском университете, и стал работать и преподавать в различных американских университетах. В 1987 году его приняли в Институт высших исследований, где все академические должности — чисто исследовательские; там он работает и поныне.

Виттен начал исследования в квантовой теории поля — в области, представляющей собой первые плоды усилий по согласованию квантовой теории с теорией относительности. Релятивистские эффекты движения там учитываются, но только в плоском пространстве-времени. (А гравитация, которая требует искривленного пространства-времени, не рассматривается.) В 1998 году в своей гиббсовской лекции[103] Виттен сказал, что квантовая теория поля «охватывает большую часть того, что нам известно о законах физики, за исключением гравитации. Семидесятилетняя история ее развития включает в себя много значимых вех — от теории „антиматерии“ до более точного описания атомов и Стандартной Модели физики частиц». Он отметил, что, развитая в большей своей части физиками, квантовая теория поля в значительной степени лишена математической строгости и поэтому не оказала большого влияния на математику как таковую.

Подошло время, продолжал Виттен, исправить этот дефект. Несколько важных областей чистой математики, по сути дела, являются квантовой теорией поля, но в иных одеждах. Собственный вклад Виттена — открытие и анализ топологических квантовых теорий поля — допускал прямую интерпретацию в терминах концепций, изобретенных целым рядом чистых математиков в рамках весьма различных контекстов. Сюда относится эпическое открытие, сделанное английским математиком Саймоном Доналдсоном, что четырехмерные пространства уникальны в том отношении, что допускают существование многих различных «дифференцируемых структур» — систем координат, в которых можно строить дифференциальное исчисление. Среди других аспектов — недавнее крупное открытие в теории узлов, известное как многочлены Джонса[104], явление, называемое зеркальной симметрией в теории многомерных комплексных поверхностей, и несколько областей из современной теории алгебр Ли.

Виттен сделал смелое предсказание — одной из важнейших тем в математике двадцать первого века будет интегрирование в основное течение математики идей из квантовой теории поля: «Перед нами здесь раскинулся обширный горный хребет, большая часть которого все еще скрыта в тумане. В математических теориях сегодняшнего дня видны только самые высокие вершины, возвышающиеся над облаками, и эти восхитительные вершины исследуются в отрыве друг от друга. В дымке все еще скрыт сам хребет, покоящийся на гранитном основании квантовой теории поля, а вместе с ним скрыты и россыпи математических сокровищ».

Филдсовская медаль была присуждена Виттену за открытие нескольких из этих скрытых сокровищ. Среди них — новое улучшенное доказательство «гипотезы о положительности массы», в силу которой гравитационная система с положительной локальной плотностью массы должна иметь положительную полную массу. Это может показаться очевидным, но в квантовом мире масса — тонкая материя. Доказательство этого результата, долго стоявшего на повестке дня, было опубликовано Ричардом Шеном и Шинтаном Яу[105] в 1979 году и принесло Яу Филдсовскую медаль за 1982 год. В новом улучшенном доказательстве Виттена использовалась суперсимметрия. То было первое применение этой концепции к важной математической проблеме.

Суперсимметрию можно понять в терминах старой головоломки, в которой спрашивается, какая пробка подойдет к бутылке, отверстие в которой может быть круглым, квадратным или треугольным. Удивительно, но требуемая форма существует, и стандартный ответ — пробка с круглым основанием, которая сходится к острию как клин. При взгляде снизу она видится окружностью; спереди — квадратом; сбоку — треугольником. Одна форма способна выполнить все три задачи, потому что трехмерный объект может иметь несколько различных «теней», или проекций, в различных направлениях.

 

 

Как работает суперсимметрия. Слева: пробка, подходящая к отверстиям трех разных форм. Справа: эффект вращения пробки.

 

Теперь представим себе флатландца, живущего на «полу» моего рисунка, так что ему видна проекция пробки на пол, но он и не подозревает о других проекциях. В один прекрасный день он, к своему изумлению, обнаруживает, что круглая форма каким-то образом изменилась и стала квадратом. Как такое может быть? Это определенно не симметрия.

Не симметрия — да, во Флатландии. Но когда флатландец отвернулся, кто-то, живущий в трехмерии, повернул пробку так, что ее проекция на пол превратилась в квадрат. При этом в трехмерии вращение является преобразованием симметрии[106]. Так что симметрия в более высокой размерности может иногда объяснить совершенно непостижимое преобразование в более низкой размерности.

Нечто очень похожее происходит в суперсимметрии, но вместо превращения окружности в квадрат фермионы там превращаются в бозоны. Это удивительно. В самом деле, вы можете выполнить вычисления с фермионами, напустить на каждый операцию суперсимметрии и получить результат для бозонов без всяких дополнительных усилий[107]. Или наоборот.

Подобного мы ожидаем от настоящих симметрий. Если вы стоите перед зеркалом и жонглируете мячиками, то все происходящее с вашей стороны зеркала полностью определяет происходящее с другой стороны. Ваш образ там жонглирует образами мячиков. Если выполнение последовательности приемов занимает 3,79 с с этой стороны зеркала, то без всяких измерений ясно, что выполнение той же последовательности приемов займет 3,79 с с другой стороны. Две ситуации связаны зеркальной симметрией; что бы ни происходило с одной стороны, оно происходит также и в отражении.

Суперсимметрии не настолько просты, но приводят к похожему эффекту. Они позволяют вывести свойства частиц одного типа из свойств частиц совершенно иного типа. Дело обстоит почти так же, как если бы вы могли забраться куда-то в высокомерную область вселенной и там повернуть фермион, превратив его в бозон. Частицы организуются в суперсимметричные пары: обычной частице отвечает ее повернутая версия, называемая счастицей. Электроны имеют в паре с собой сэлектроны, кварки — скварки. По историческим причинам близнец фотона называется не сфотон, а фотино. Имеется своеобразный «теневой мир» счастиц, который только слабо взаимодействует с обычным миром.

В ногу с этой идеей идет изящная математика, но массы этих предсказываемых теневых частиц слишком велики для того, чтобы их можно было наблюдать в экспериментах[108]. Суперсимметрия прекрасна, но может не быть истинной. Но даже если вопрос не состоит в прямом подтверждении, вполне возможными могут оказаться подтверждения косвенные. Наука проверяет теории главным образом через их следствия.

Виттен активно развивал суперсимметрию и в 1984 году написал статью, озаглавленную «Суперсимметрия и теория Морса». Теория Морса — это область топологии, названная по имени своего первоисследователя Марстона Морса, в которой устанавливается связь общей формы некоторого пространства с его пиками и долинами. Сэр Майкл Атья — вероятно, наиболее крупный из ныне здравствующих британских математиков — считает, что статья Виттена представляет собой «обязательное чтение для геометров, заинтересованных в понимании современной квантовой теории поля. Она также содержит блестящее доказательство классического неравенства Морса. Реальная цель статьи состоит в подготовке почвы для суперсимметричной квантовой теории поля в терминах бесконечномерных многообразий». В дальнейшем Виттен применил эти методы к другим актуальным вопросам на дальних рубежах топологии и алгебраической геометрии.

Должно быть понятно, что, когда я сказал, что Виттен не математик, я не имел в виду отсутствие у него математического таланта. Как раз наоборот — быть может, ни у кого на планете нет большего математического таланта. Но в случае Виттена к этому добавляется удивительная физическая интуиция.

В отличие от математиков физики редко стесняются использовать физическую интуицию, чтобы перескочить через пробел в математической логике. Математики же привыкли относиться к «мостам веры» с подозрением вне зависимости от того, сколь много имеется подтверждающих свидетельств: для математиков доказательство — это все. Виттен необычен в том отношении, что он может соотносить свою интуицию с той математикой, которая понятна математикам. Атья выражает это такими словами: «Его способность интерпретировать физические идеи в математических терминах совершенно уникальна. Снова и снова он удивляет математическое сообщество своими блестящими физическими озарениями, приводящими к новым глубоким математическим теоремам».

Но у этой интуитивной мощи есть и оборотная сторона. Многие из важнейших Виттеновых идей, выведенных из физических принципов или аналогий, появились без доказательств, а в отношении некоторых доказательства отсутствуют и по сей день. Не в том дело, что он не может дать доказательства, — может, как показывает его Филдсовская медаль, — а в том, что он может делать логические скачки, ведущие к глубокой и верной математике, словно бы не нуждаясь в доказательствах.

 

Главный вопрос — имеет ли изящная виттеновская математика какое-нибудь отношение к фундаментальной физике? Или же поиски красоты завели в математический тупик, где потеряна всякая связь с физической истиной? К 80-м годам двадцатого века физики объединили три из четырех взаимодействий, имеющихся в природе: электромагнитное, слабое и сильное[109]. Но Теории Великого Объединения ничего не говорят о гравитации. Сила, которую мы наиболее непосредственно ощущаем в повседневной жизни, которая буквально не дает нам витать в облаках, исключена из синтеза — конфуз?

Достаточно несложно написать комбинированную теорию, включающую гравитацию и квантовую теорию и с виду выглядящую разумно. Но при всякой попытке решить получающиеся там уравнения возникает бессмыслица. Как правило, числа, призванные выражать разумные физические величины, оказываются бесконечными. Бесконечность в физической теории указывает: что-то идет не так. Именно появление бесконечности в законе излучения подтолкнуло Планка к квантованию света.

Некоторые физики пришли к убеждению, что основной источник бесконечностей — это укоренившаяся привычка рассматривать частицы как точечные. Точка — местоположение без размера — представляет собой математическую фикцию. Квантовые частицы — вероятностным образом размазанные точки, но это не приносит полного облегчения; требуются какие-то более сильные средства. Даже в 70-х годах двадцатого века несколько первооткрывателей начали думать, что частицы можно разумным образом смоделировать как колебания очень маленьких петель — «струн». В 80-х, когда в дело вступила суперсимметрия, эти струны превратились в суперструны.

О суперструнах можно написать целую книгу, и таких книг в самом деле существует уже несколько, но мы обойдемся очень приближенным описанием, получаемым в основном путем размахивания руками. Я хочу выделить четыре свойства: способ, которым объединяются релятивистская и квантовая картины, нужда в дополнительных измерениях, интерпретация квантовых состояний как колебаний в этих дополнительных измерениях и симметрии дополнительных измерений — или, точнее, различных полей, которые в них живут.

Начнем с эйнштейновской идеи представления траектории частицы в пространстве-времени в виде кривой, которую он назвал мировой линией данной частицы. По существу, это кривая, которую частица описывает в пространстве-времени по мере своего движения. В теории относительности мировые линии — гладкие кривые, что определяется видом полевых уравнений Эйнштейна. Они не ветвятся, потому что в теории относительности будущее любой системы полностью определяется ее прошлым, даже ее настоящим.

Имеется аналогичная концепция в квантовой теории поля, называемая фейнмановскими диаграммами. Фейнмановские диаграммы описывают взаимодействие частиц в весьма схематичном пространстве-времени. Например, на рисунке слева показана фейнмановская диаграмма для электрона, испускающего фотон, который затем улавливается другим электроном. По традиции фотоны обозначаются волнистыми линиями.

 

 

Слева: фейнмановская диаграмма для взаимодействующих частиц. Справа: соответствующие мировые листы, в сечениях которых показаны струны.

 

Фейнмановская диаграмма несколько напоминает релятивистскую мировую линию, но у нее острые углы и она ветвится. В 70-х годах XX века в голову Йоиширо Намбу пришла мысль, что если вместо гипотезы о том, что частицы точечные, принять, что они представляют собой маленькие петли, то фейнмановские диаграммы можно превратить в гладкие поверхности — мировые листы , как показано на правой картинке. Мировой лист можно интерпретировать как мировую линию в модифицированном пространстве-времени с дополнительными размерностями, в которых живут петли.

Что здорово насчет петель — помимо того что они не точки, — так это их способность колебаться. Быть может, каждая мода колебаний соответствует квантовому состоянию. Это позволит объяснить, почему квантовые состояния всегда содержат целые кратные некоторой базисной величины — например, спина, который всегда есть целое кратное √¹/₂. Число волн, помещающихся на петле, должно быть целым числом. На скрипичной струне эти различные моды колебаний являются основным тоном и его высшими гармониками. Так что квантовая теория становится определенного вида музыкой, исполняемой на суперструнах вместо скрипичных струн.

Идея Намбу не взялась из ниоткуда. Она уходит своими корнями в замечательную формулу, выведенную Габриэле Венециано в 1968 году, которая показывала, что по видимости различные фейнмановские диаграммы представляют один и тот же физический процесс и что стоит только обойти этот факт вниманием, как вычисления в квантовой теории поля приведут к неправильному ответу. Намбу заметил, что, когда фейнмановские диаграммы окружаются трубками, различные диаграммы приводят к системе трубок с одной и той же топологией. Другими словами, системы трубок можно деформировать друг в друга. Так формула Венециано оказалась связана с топологическими свойствами трубок.

 

 

Струны выталкиваются из обычного пространства-времени в новое измерение.

 

Это в свою очередь подсказывало, что квантовые частицы, несущие свои дискретные квантовые числа типа заряда, могут быть топологическими свойствами гладкого пространства-времени. Математики уже были свидетелями того, как основные топологические свойства — такие как число дыр на поверхности — имеют тенденцию к дискретности. Вроде все сходилось. Но дьявол, как всегда, сидит в деталях, а детали оказались дьявольскими. Теория струн была первой попыткой получить детали, пребывающие в согласии с реальным миром.

 

Теория струн возникла вовсе не как способ построить Теорию Всего, а как некоторое предложение, высказанное для объяснения частиц, известных под собирательным названием адронов[110]. Эти частицы включают в себя большую часть[111] обычных частиц, обнаруживаемых в атомных ядрах, таких как протон и нейтрон, а также толпу более экзотических частиц. Однако в теории есть изъян: она предсказывает существование частицы с нулевой массой и спином 2, которая до тех пор (как и поныне) не наблюдалась. Кроме того, она не смогла предсказать ни одной частицы со спином ¹/₂, в то время как многие адроны, включая протон и нейтрон, имеют спин ¹/₂. Это похоже на летний прогноз погоды, который предсказывает градины в полметра диаметром, но ничего не говорит о том, будет ли тепло. Физики не впечатлились. В 1974 году, когда на арене появилась квантовая хромодинамика и не только объяснила все известные адроны, но даже успешно предсказала новый (омега-минус), судьба теории струн представлялась решенной.

В тот момент, однако, Джон Шварц и Жоэль Шерк заметили, что нежеланная частица с нулевой массой и спином 2, возникающая в теории струн, могла бы оказаться давно искомым гравитоном — гипотетической частицей, которая, согласно современным представлениям, должна переносить гравитационную силу[112]. Могла ли теория струн оказаться квантовой теорией не адронов, а гравитации ? Если да, то она стала бы привлекательным соперником Теории Всего — ладно, Теории Много Чего, потому что есть много частиц, не являющихся адронами.

В тот момент в игру вступила суперсимметрия, потому что именно она превращает фермионы в бозоны. Адроны включают в себя частицы обоих сортов, хотя ряд других частиц, например электрон, не являются адронами. Если суперсимметрию можно было бы включить в теорию струн, то в теоретической модели автоматически появился бы целый ряд новых частиц, возникающих как суперсимметричные партнеры тех частиц, что уже присутствовали в модели.

Комбинированная теория, созданная Пьером Рамоном, Андрэ Неве и Шварцем, была теорией суперструн. Она включала частицы со спином −2, и в ней не было неприятного свойства обычной теории струн — появления частиц, движущихся быстрее света. Присутствие таких частиц в теории теперь рассматривается как свидетельство неустойчивости, из-за чего такие теории следует исключить из рассмотрения.

Начиная с 1980 года британский физик-теоретик Майкл Грин постепенно разрабатывал математику суперструн, используя методы теории групп Ли и топологии, и вскоре стало ясно, что, независимо от имеющихся у нее верительных грамот со стороны физики, теория суперструн обладает необычайной математической красотой. Физики продолжали упорствовать: в 1983 году Луис Алварес-Гомэ и Виттен обнаружили новую загвоздку с теориями струн, включая и суперструны, а заодно и с доброй старой квантовой теорией поля. А именно — эти теории, как правило, обладали аномалиями . Аномалия возникает, когда процесс превращения классической системы в ее квантовый аналог изменяет важные симметрии.

Еще раньше Грин и Шварц открыли, что в очень специальных случаях аномалии волшебным образом исчезают, но только если пространство-время имеет размерность 26 (в первом варианте теории, называемом бозонной теорией струн) или 10 (в позднейших модификациях)[113]. Почему? В вычислениях, относящихся к бозонной теории струн, математические слагаемые, которые могли бы создать аномалию, умножаются на d − 26, где d — размерность пространства-времени. Так что эти члены обращаются в нуль в точности когда d = 26. Аналогичным образом, в модифицированном варианте соответствующий множитель оказывается равным d − 10. Время всегда остается одномерным, но пространство требует дополнительных 6 или 22 измерений. Шварц выразил это так:

 

В 1984 году мы с Майклом Грином занимались вычислениями в одной из этих теорий суперструн с целью выяснить, действительно ли там появляется аномалия. То, что мы открыли, было удивительно. Мы нашли, что, вообще говоря, действительно имеется аномалия, делавшая теорию неудовлетворительной. Но имелась свобода в выборе конкретной симметрии, используемой уже в момент определения теории. На самом деле имелось бесконечно много возможностей выбора этих симметрий. Однако всего для одной из них аномалия магически сокращалась в формулах, тогда как для всех остальных не сокращалась. Таким образом, среди этой бесконечности возможностей оказалась выделенной одна-единственная, которая была потенциально непротиворечивой.

 

 

Если бы можно было не обращать внимания на неудобоваримые числа 10 и 26, это было бы восхитительное открытие. Оно подсказывало, что может иметься математическая причина, в силу которой пространство-время обладает вполне определенным числом измерений. Разочаровывал только тот факт, что число это — не четыре. Но то было только начало! Физики всегда задавались вопросом, почему пространство-время имеет ту размерность, которую мы видим; теперь же дело выглядело так, будто на этот вопрос можно найти ответ получше, чем «ну да, вообще-то размерность может быть любой, но в нашей вселенной она как раз равна четырем».

Возможно, другие теории могли бы привести к четырехмерному пространству-времени. Такая ситуация была бы идеальна, однако ничего в этом духе не сработало — необычные размерности отказывались убираться с дороги. Так что, может быть, они появляются по делу? В этом состояла старая идея Калуцы: пространство-время может иметь дополнительные размерности, которые мы просто не в состоянии наблюдать. Если так, то струны могли бы оставаться одномерными петлями, но такими, которые колеблются в более высокомерных пространствах, никаким иным способом не видимых. Квантовые числа, связанные с частицами, такие как заряд или очарование, могли бы определяться видом таких колебаний.

Фундаментальный вопрос состоял в том, как выглядят скрытые размерности. Какую форму имеет пространство-время?

Сначала физики надеялись, что дополнительные размерности образуют нечто простое, например, 6-мерный аналог тора. Но в 1985 году Филипп Канделас, Гари Хоровиц, Эндрю Строминджер и Виттен привели аргументы, показывающие, что самая подходящая форма дается так называемыми многообразиями Калаби-Яу. Имеются десятки тысяч таких геометрических форм; на рисунке схематично изображено типичное многообразие Калаби-Яу[114].

 

 

(Иллюстрация предоставлена Эндрю Дж. Хансоном, профессором университета Индианы)

 

Огромное преимущество многообразий Калаби-Яу состоит в том, что суперсимметрия 10-мерного пространства-времени наследуется[115] получающимся из него обыкновенным четырехмерным пространством-временем.

Впервые исключительные группы Ли начали приобретать значительную роль на передних рубежах физики, и эта тенденция ускорялась. Около 1990 года представлялось, что имеется пять возможных типов теорий суперструн, причем все с пространством-временем размерности 10. Эти теории называются Тип I, Тип IIA и IIB, а также «гетеротические» типы HO и HE. Возникают интересные калибровочные группы симметрий; например, в теориях Типа I и HO имеется SO(32) — группа вращений в 32-мерном пространстве, а в теории Типа HE исключительная группа Ли возникает в комбинации E ₈×E ₈ — в двух различных экземплярах, действующих различными способами.

Исключительная группа G ₂ также возникла в самом последнем повороте сюжета, который Виттен называет M-теорией. Буква M, по его словам, означает magic, mystery или matrix —  «магия, тайна, матрица». В M-теории, основанной на 11-мерном пространстве-времени, объединены все пять 10-мерных теорий струн — в том смысле, что каждую из последних можно получить из M-теории, придавая некоторым ее константам определенные значения. В M-теории многообразия Калаби-Яу заменяются на 7-мерные пространства, известные как G ₂-многообразия, из-за того что их симметрии тесно связаны с Киллинговой исключительной группой Ли G ₂.

 

На данный момент заметно некоторое недовольство теорией струн: дело не в том, что она неверна, а в том, что пока не известно, верна ли она. Несколько видных физиков, в особенности экспериментаторов, никогда вообще не связывались с суперструнами — главным образом потому, что те не давали им никакой почвы для работы. Не было новых явлений, доступных наблюдению, не было новых величин, доступных измерению.

Я не склонен считать суперструны ключом ко всей вселенной, но я полагаю, что подобный критицизм не вполне справедлив. От струнных теоретиков требуют доказать свою невиновность, тогда как нормальным образом это критики должны были бы доказывать их вину. Развитие радикально новых способов осмысления физического мира требует долгого времени и значительных усилий, а теория струн технически очень сложна. В принципе она может делать новые предсказания о нашем мире; большая проблема состоит в том, что необходимые вычисления необычайно трудны. Те же претензии можно было 40 лет назад выдвинуть против квантовой теории поля, но в конце концов вычисления там удалось продвинуть вперед за счет совместного применения лучших компьютеров и усовершенствованной математики, и достигнутое согласие с экспериментом оказалось лучше, чем где бы то ни было еще в науке.

Более того, во многом то же самое обвинение можно было бы высказать в адрес почти любого кандидата на роль Теории Всего, причем, парадоксальным образом, чем лучше такая теория, тем труднее будет доказать, что она верная. Причина в самой природе Теории Всего. Чтобы оказаться успешной, она должна согласовываться с квантовой теорией во всех случаях, когда она применяется ко всякому эксперименту, результаты которого согласуются с квантовой теорией. Она должна также согласовываться с теорией относительности во всех случаях, когда она применяется ко всякому эксперименту, результаты которого согласуются с теорией относительности. Так что Теория Всего обязана проходить любую экспериментальную проверку, какую только можно изобрести . Требовать нового предсказания, которое отличает Теорию Всего от стандартной физики, — это все равно что требовать чего-то такого, что приводит к результатам, тождественным тем, которые предсказаны теориями, описывающими все известные физические явления, но при этом от них отличается.

Разумеется, в конце концов теории струн придется сделать новое предсказание и пройти проверку наблюдениями, чтобы из умозрительной стать реальной физической теорией. Необходимость согласования со всем, что на данный момент известно, не исключает возможности таких предсказаний, она просто объясняет, почему они не получаются так запросто. Некоторые предварительные предложения по поводу критических экспериментов уже существуют. Например, недавние наблюдения удаленных галактик показывают, что вселенная не только расширяется, но и делает это с возрастающей скоростью. Теория суперструн предлагает простое объяснение — гравитация утекает в те самые дополнительные измерения. Однако имеются и другие способы объяснить этот конкретный эффект. Во всяком случае не подлежит сомнению, что если все теоретики прекратят исследовать физику суперструн, то мы лишимся возможности узнать, верна ли эта теория. Формулировка и осуществление ключевых экспериментов требуют времени и сил — даже при условии, что такие эксперименты можно провести.

 

Я не хочу, чтобы у вас сложилось впечатление, будто, когда дело доходит до объединения квантовой теории с теорией относительности, суперструны — единственное, что есть в программе. Имеются и конкурирующие предложения — хотя все они страдают от того же отсутствия экспериментального подтверждения.

Одна идея, известная как некоммутативная геометрия, взращена французским математиком Аленом Конном. Он основывается на новой концепции геометрии пространства-времени. Большинство объединений исходят из идеи, что пространство-время представляет собой некоторое расширение релятивистской модели Эйнштейна, и пытаются как-то подогнать его под существующие фундаментальные частицы субатомной физики. Конн делает наоборот. Он начинает с математической структуры, известной как некоммутативное пространство, которое содержит все группы симметрии, возникающие в Стандартной Модели, а далее выводит свойства, аналогичные относительности. Математика такого пространства восходит к Гамильтону и его некоммутативным кватернионам, однако она сильно обобщена и модифицирована. При этом снова альтернативная теория имеет крепкие связи с теорией групп Ли.

Другая захватывающая идея — петлевая квантовая гравитация. В 80-х годах двадцатого века физик Абэй Аштекар предложил, как выглядели бы уравнения Эйнштейна в квантовой области, где пространство становится «зернистым». Ли Смолин и Карло Равелли развили его идеи, что привело к модели пространства, которое представляет собой нечто вроде средневековой кольчуги, собранной из очень маленьких, сцепленных между собой кусочков порядка 10^−35 м в поперечнике. Они заметили, что детали структуры кольчуги становятся очень запутанными, когда звенья заузливаются или сплетаются между собой как косы. Однако не ясно, что эти возможности означают.

В 2004 году Санденс Билсон-Томсон открыл, что некоторые из этих кос точно воспроизводят правила сочетаний кварков. Электрический заряд кварка переинтерпретируется здесь в терминах топологии соответствующей косы, а правила их сочетаний следуют из простых геометрических операций с косами. Эта идея, все еще находящаяся во младенчестве, позволяет воспроизвести большинство частиц, наблюдаемых в Стандартной Модели. Она — последняя в ряду гипотетических предложений о том, что материя — реализованная здесь в виде частиц — может оказаться следствием «особенностей» в пространстве, таких как узлы, локализованные волны или более сложные структуры, где пространство перестает быть гладким и регулярным. Если Билсон-Томсон прав, то материя есть лишь скрученное пространство-время.

 

 

Электрон, представленный в виде косы.

 

Математики изучали топологию кос в течение многих лет, и давно известно, что косы образуют группу — группу кос. Операция «умножения» в ней состоит в присоединении концов нитей друг к другу[116] — в том же духе, как мы присоединяли друг к другу перестановки при рассмотрении подхода Руффини к уравнениям пятой степени. Мы опять видим, как физика основывается на предсуществующих математических открытиях, сделанных в основном «ради самих себя», только потому, что они казались интересными. И снова ключевым ингредиентом является симметрия.

В последних версиях суперструн главной проблемой стал кризис перепроизводства. На смену отсутствию всяких предсказаний пришло производство слишком большого их количества в теории. «Энергия вакуума» — энергетическое содержание пустого пространства — может быть практически любой в зависимости от того, как струны наматываются на дополнительные измерения пространства. Число способов, которыми это может происходить, поистине гигантское — около 10⁵⁰⁰. При различных выборах получаются различные значения энергии вакуума. При этом наблюдаемое значение очень, очень мало — около 10^−120, однако не нулевое[117].

Согласно стандартной истории с «тонкой настройкой», это конкретное значение как раз подходит для существования жизни. Любое значение, превышающее 10^−118, заставит локальное пространство-время взорваться; а все меньшее 10^−120 приведет к тому, что пространство-время сожмется и исчезнет в космическом хлопке. Так что «окно возможностей» для жизни очень невелико. Чудесным образом наша вселенная именно в нем и оказалась.

«Слабый антропный принцип» гласит, что если бы наша вселенная не была устроена таким способом, каким она в действительности устроена, то нас бы там не оказалось и мы не задавались бы вопросом о ее устройстве; однако при этом остается открытым вопрос о том, почему нашлось «здесь», в котором мы можем жить. «Сильный антропный принцип» говорит, что мы здесь потому, что вселенная была спроектирована специально для существования в ней жизни, но это — мистическая чепуха. Никто в действительности не знает, какие возможности реализовались бы, если бы вакуумная энергия сильно отличалась от ее актуального значения. Нам известно, что ряд вещей пошел бы вкривь и вкось, но мы и представления не имеем о том, что бы могло появиться вместо них. Большая часть всех аргументов о тонкой настройке — ерунда.

В 2000 году Рафаэль Буссо и Джозеф Полчински предложили иной ответ, используя теорию струн и имеющиеся 10⁵⁰⁰ возможных значений энергии вакуума. Хотя число 10^−120 очень мало, возможные уровни вакуумной энергии отделены друг от друга на 10^−500 единиц, что есть еще меньшее число. Таким образом, большое число теорий струн дает вакуумные энергии в «правильном» интервале. Вероятность, что случайно выбранная энергия попадет в него, по-прежнему пренебрежимо мала, но Буссо и Полчински указали, что это несущественно. В конце концов «правильная» вакуумная энергия непременно возникнет. Идея состоит в том, что вселенная перебирает все возможные теории струн, застревая на каждой до тех пор, пока та не заставит эту вселенную рассыпаться, а затем квантово-механически тунеллирует к некоторой другой теории струн. Если подождать достаточно долго, то на некотором этапе вселенная приобретет вакуумную энергию, которая будет лежать в интервале, подходящем для жизни.

В 2006 году Поль Стайнхардт и Нил Тьюрок предложили вариацию на тему теории тунеллирования — циклическую вселенную, которая расширяется после Большого Взрыва и сжимается в Большом Схлопывании, повторяя такое поведение каждый триллион лет или около того. В их модели энергия вакуума убывает на каждом последовательном цикле, так что в конце концов вселенная получает очень малую, но не нулевую вакуумную энергию.

В той или иной модели вселенная, вакуумная энергия которой достаточно мала, будет тут околачиваться очень долго. Условия пригодны для возникновения жизни, а у жизни полно времени, чтобы развить разум и поинтересоваться, почему она тут оказалась.

 

Глава 15

Математическая кутерьма

 

У гусей — гогот, у львов — достоинство, у певчих птиц — пленительность, у жаворонков — ликование… А какое обобщающее существительное относится к математике? Великолепие математики? Слишком пафосно. Таинство математики? Пожалуй, немного чересчур. В результате многих выпавших на мою долю шансов понаблюдать за поведением математических индивидуумов, сбившихся в достаточно большое стадо, я пришел к выводу, что самое подходящее слово для того, что они устраивают, — «кутерьма».

Один из них в такой кутерьме изобрел одну из наиболее причудливых структур во всем предмете и открыл скрытое единство за таинственным фасадом. Их открытия, возникавшие по большей части из праздношатания в надежде, что под руку подвернется что-нибудь интересное, начинают проникать в теоретическую физику, и они могут оказаться ключевыми для некоторых самых любопытных свойств суперструн.

Математика суперструн — предмет настолько новый, что большая ее часть еще не изобретена. Но, по иронии судьбы, математики и физики как раз открыли, что суперструны, находящиеся на самом переднем крае исследований в современной физике, демонстрируют занятную связь с куском викторианской алгебры — настолько старомодным куском, что его редко упоминают в университетских курсах математики. Это алгебраическое изобретение известно как октонионы; они представляют собой структуру, идущую после вещественных чисел, комплексных чисел и кватернионов.

Октонионы были открыты в 1843 году, результат появился в печати в 1845-м за чужим авторством, и с тех пор их создатель неизменно указывался неправильно — но это большого значения не имело, поскольку внимания на них все равно никто не обращал. К 1900 году они впали в безвестность даже внутри математики. Недолгое возрождение выпало на их долю в 1925 году, когда Вигнер и фон Нейман попытались на их основе построить квантовую механику, но снова исчезли с горизонта, когда эта попытка не удалась. В 80-х годах двадцатого века они вынырнули снова из-за их потенциальной полезности в теории струн. В 1999 году они сыграли роль ключевого ингредиента в 10- и 11-мерной теориях суперструн[118].

Октонионы говорят нам, что нечто очень странное творится в районе числа 8, а что-то еще более странное происходит с физикой пространства, времени и материи. Викторианская безделушка пережила второе рождение в качестве ключа, открывающего глубокие тайны на общих рубежах математики и физики — в особенности это относится к вере в то, что пространство-время может иметь большее число измерений, чем традиционные четыре, и что именно за счет этого соединяются в одно целое гравитация и квантовая теория.

 

Октонионная сага разворачивается на свободных просторах абстрактной алгебры; этому сюжету посвящен прекрасный математический обзор, опубликованный в 2001 году американским математиком Джоном Баэзом. Я буду в значительной мере опираться на его идеи, изо всех сил стараясь донести до читателя хитроумные, но изящные чудеса, которыми славится эта любопытная область на стыке математики и физики. Как и с духом отца Гамлета — развоплощенным голосом из-под сцены, — значительная часть математических подробностей должна оставаться вне поля зрения аудитории. Отнеситесь ко мне с терпением и не обращайте слишком большого внимания на непонятности необъясненного профессионального жаргона. Иногда просто требуется удобное слово, чтобы не упускать из виду основных действующих лиц.

В качестве вступления могут быть полезны несколько напоминаний. С нашей историей о погоне за симметрией тесно переплелось осуществлявшееся шаг за шагом расширение числовой системы. Первым шагом было открытие (или изобретение) в середине шестнадцатого столетия комплексных чисел, в которых имеется квадратный корень из −1. До того времени математики считали, что числа — единственные и данные от Бога. И подумать нельзя было об изобретении каких-то новых чисел. Но около 1550 года Кардано и Бомбелли сделали именно это, записав квадратный корень из отрицательного числа. Понадобилось около 400 лет, чтобы разобраться, какой в этом смысл, но всего около 300, чтобы убедить математиков, что штука эта слишком полезная, чтобы стоило ее выкидывать.

К 1800-м годам вычурное изобретение Кардано и Бомбелли кристаллизовалось в числа некоего нового вида, в записи которых появился новый символ i . Комплексные числа могут показаться странными, но они оказались восхитительным средством для понимания математической физики. Задачи о тепле, свете, звуке, колебаниях, упругости, гравитации, магнетизме, электричестве и течении жидкостей и газов — все они поддались комплексному натиску, правда, только в физике размерности два.

Наша вселенная, однако, имеет три пространственных измерения — во всяком случае так считалось до самого последнего времени. Поскольку двумерная система комплексных чисел настолько эффективна в двумерной физике, может ли найтись аналогичная трехмерная числовая система, пригодная для использования в «настоящей» физике? Гамильтон потратил годы на поиски чего-то подобного, но без всякого успеха. Затем 16 октября 1843 года он испытал озарение: не смотри на три измерения, смотри на четыре, — и нацарапал свои уравнения для кватернионов на каменной кладке моста Брумбридж.

 

У Гамильтона был старый друг со времен колледжа по имени Джон Грейвс, фанат алгебры. Весьма вероятно, что именно Грейвс первоначально пробудил в Гамильтоне интерес к расширению числовой системы. Гамильтон написал своему приятелю длинное письмо о кватернионах на следующий же день после того, как испортил мост своей надписью.

Грейвс сначала был озадачен и сомневался, насколько законным является изобретение правил умножения прямо из головы. «У меня пока нет никакого ясного представления о том, в какой степени мы свободны в произвольном создании мнимостей и в наделении их сверхъестественными свойствами», — писал он в ответ. Но он также разглядел потенциал новой идеи и задался вопросом о том, как далеко это позволит продвинуться: «Если ваша алхимия позволяет вам создать три фунта золота, то зачем останавливаться?»

То был хороший вопрос, и Грейвс задался целью ответить на него. По прошествии двух месяцев он прислал письмо, в котором говорил, что нашел восьмимерную числовую систему. Он назвал ее октавами. С ними была связана замечательная формула о сумме восьми квадратов, к которой мы очень скоро обратимся. Он попытался определить 16-мерную числовую систему, но наткнулся на нечто, о чем он отозвался как о «непредвиденной загвоздке». Гамильтон сказал, что поможет своему другу привлечь к его открытию внимание публики, но потом оказался слишком для этого занят исследованием своих кватернионов. Затем он заметил потенциальную проблему: умножение октав не подчинялось закону ассоциативности. Это значит, что если взять произведение трех октав двумя способами, как (ab)c и a(bc) , то, как правило, получатся различные ответы. После проведенной им серьезной переоценки ценностей Гамильтон был готов отказаться от закона коммутативности, но расстаться еще и с ассоциативностью — это было уже чересчур.

Далее Грейвсу крупно не повезло. До того как он сумел опубликовать свое открытие, Кэли независимо открыл то же самое и в 1845 году опубликовал как приложение к ужасной во всех остальных отношениях статье по эллиптическим функциям, настолько изобилующей ошибками, что ее изъяли из собрания его работ. Кэли назвал свою систему октонионами.

Грейвс был расстроен тем, что его опередили в плане публикации. Так случилось, что его собственная статья должна была вскоре выйти в том же журнале, где о своем открытии объявлял Кэли. Поэтому Грейвс добавил к статье замечание с указанием, что та же идея пришла ему в голову еще за два года до того, а Гамильтон поддержал его, опубликовав краткую заметку, подтверждающую, что приоритет принадлежит его другу. Несмотря на эту четкую картину, октонионы быстро приобрели название «числа Кэли», широко используемое и по сей день. Многие математики теперь пользуются терминологией Кэли, называя эту систему октонионами, указывая при этом на авторство Грейвса. В любом случае такое название лучше, чем «октавы», поскольку оно напоминает «кватернионы».

Алгебру октонионов можно описывать в терминах замечательной диаграммы, известной как плоскость Фано. Она представляет собой конечную геометрию, составленную из семи точек, соединенных по три семью «прямыми» линиями, и имеет вид, показанный на рисунке.

Одну из прямых пришлось свернуть в окружность, чтобы изобразить ее на плоскости, но это не страшно. В этой геометрии любые две точки лежат на одной прямой, а любые две прямые пересекаются в некоторой точке. Параллельных прямых нет. Плоскость Фано была изобретена для совершенно иных целей, но оказалось, что она кодирует в себе правила умножения октонионов.

В октонионах имеется восемь единиц: обычное число 1 и еще семь, обозначаемые как e ₁, e ₂, e ₃, e ₄, e ₅, e ₆ и e ₇. Квадрат любой из этих семи равен −1. Диаграмма определяет их правила умножения. Пусть нам надо умножить e ₃ на e ₇. Ищем на диаграмме точки 3 и 7 и соединяющую их прямую линию. На ней имеется третья точка — в данном случае точка 1. Следуя по стрелкам, мы идем от 3 к 7 и далее к 1, так что e ₃e ₇ = e ₁. Если порядок обратный, то надо дополнительно взять знак минус: e ₇e ₃ = −e ₁. Если проделать это для всех возможных пар единиц, получится полная картина арифметики октонионов. (Со сложением и вычитанием все всегда просто, а деление следует из умножения.)

 

 

Плоскость Фано — геометрия с семью точками и семью прямыми.

 

Грейвс и Кэли не знали об этой связи с конечной геометрией, поэтому они выписывали таблицу умножения для октонионов. Как плоскость Фано помогает выразить эту таблицу, было открыто много позже.

На протяжении многих лет октонионы оставались диковинкой второго сорта. В отличие от кватернионов у них не было ни геометрической интерпретации, ни применений в науке. Даже внутри чистой математики из них, казалось, ничего не следует; неудивительно, что они впали в безвестность. Но все изменилось, когда выяснилось, что октонионы — источник наиболее причудливых алгебраических структур, известных в математике. Они дают объяснение, откуда на самом деле берутся пять Киллинговых исключительных групп Ли G ₂, F ₄, E ₆, E ₇ и E ₈. А группа E ₈ — самая большая из исключительных групп Ли — фигурирует дважды в качестве группы симметрии, на которой основана 10-мерная теория суперструн, обладающая необычайно приятными свойствами и рассматриваемая многими физиками как наилучший на данный момент кандидат на Теорию Всего.

Если мы соглашаемся с Дираком в том, что корни вселенной — в математике, то мы можем сказать, что вероятная Теория Всего существует постольку, поскольку существует E ₈, а E ₈ существует постольку, поскольку существуют октонионы. Что открывает перед нами занятную философскую возможность: структура, лежащая в основе нашей вселенной (про которую мы знаем, что она очень специальная), выделена своей связью с уникальным математическим объектом — октонионами.

Красота есть истина, а истина — красота. Пифагорейцам и платоникам понравилось бы такое свидетельство определяющей роли математических структур в картине нашего мира. Октонионы обладают зачаровывающей, сюрреалистической математической красотой, за которую Дирак ухватился бы в качестве причины, указывающей, почему 10-мерная теория струн должна быть истинной. Если же она, на нашу беду, окажется ложной, то будет, тем не менее, даже более интересной, чем что бы то ни было иное, которое окажется истинным. Правда, нам известен и тот факт, что прекрасные теории не обязательно истинны, и до тех пор, пока по поводу суперструн не будет вынесен вердикт, эта возможность должна оставаться только гипотезой.

Какова бы ни была их важность в физике, круг идей, связанных с октонионами, — чистое золото для математики.

 

Связь между октонионами и исключительными группами Ли представляет собой одно из целой серии странных соотношений между различными обобщениями кватернионов и передним краем современной физики. Я хочу достаточно глубоко рассмотреть некоторые из этих связей, чтобы вы смогли оценить, насколько они замечательны. И я собираюсь начать с некоторых из самых старых исключительных структур в математике — формул для сумм квадратов.

Одна такая формула естественно вытекает из комплексных чисел. Каждое комплексное число имеет «норму» — квадрат расстояния от числа до начала координат. По теореме Пифагора, норма числа x + iy равна x ² + y ². Правила умножения комплексных чисел, сформулированные Весселем, Арганом, Гауссом и Гамильтоном, говорят нам, что норма обладает очень приятным свойством. Если перемножить два комплексных числа, то нормы тоже перемножатся. На языке символов (x ² + y ²)(u ² + v ²) = (xv + yu) ² + (xu − yv )². Сумма двух квадратов, умноженная на сумму двух квадратов, всегда является суммой двух квадратов. Этот факт был известен индийскому математику Брахмагупте около 650 года, а также Фибоначчи в 1200 году.

На начальном этапе математиков в теории чисел сильно занимали суммы двух квадратов, потому что с их помощью можно было различать два типа простых чисел. Легко доказать, что если нечетное число представляется в виде суммы двух квадратов, то оно должно иметь вид 4k + 1 для некоторого целого k . Остальные нечетные числа, имеющие вид 4k + 3, нельзя представить в виде суммы двух квадратов. Однако не верно, что каждое число вида 4k + 1 является суммой двух квадратов, даже если разрешить одному из квадратов равняться нулю. Первое такое исключение доставляет число 21.

Ферма сделал замечательное по красоте открытие: эти исключения не могут быть простыми числами. Он доказал, что, наоборот, каждое простое число вида 4k +1 является суммой двух квадратов. Из приведенной выше формулы для перемножения сумм двух квадратов тогда следует, что нечетное число является суммой двух квадратов, если и только если каждый простой множитель вида 4k + 3 входит в четной степени. Например, 45 = 3² + 6² является суммой двух квадратов. Его разложение на простые множители имеет вид 3×3×5, и простой множитель 3, имеющий вид 4k + 3 (при k = 0), возникает в степени два — т.е. в четной степени. Другой множитель, 5, возникает в нечетной степени, но это простое число имеет вид 4k + 1 (при k = 1), что не вызывает никаких проблем.

С другой стороны, исключение 21 есть 3×7, где оба простых имеют вид 4k + 3, причем каждое входит в степени 1 (т.е. в нечетной степени), и поэтому для 21 правило не работает. Для бесконечного числа других чисел оно не работает по той же причине.

Позднее Лагранж использовал аналогичные методы для доказательства того факта, что каждое положительное целое число является суммой четырех квадратов (здесь разрешаются нули). Его доказательство использует хитрую формулу, открытую Эйлером в 1750 году. Оно похоже на приведенное выше рассуждение, но только относится к суммам четырех квадратов. Сумма четырех квадратов, умноженная на сумму четырех квадратов, есть сумма четырех квадратов. Подобной формулы не может быть для суммы трех квадратов, потому что существуют пары чисел, которые оба являются суммой трех квадратов, но произведение которых такой суммой не является. Однако в 1818 году Деген нашел формулу произведения для суммы восьми квадратов. Ту же формулу открыл Грейвс, используя октонионы. Бедный Грейвс — сделанное им раньше всех открытие октонионов приписано другому; его формула для восьми квадратов оказалась неоригинальной.

Имеется также тривиальная формула произведения для суммы одного квадрата — т.е. просто для квадрата. Она имеет вид x ²y ² = (xy) ². Эта формула является для вещественных чисел тем же, чем формула двух квадратов для комплексных: она показывает, что норма мультипликативна, т.е. норма произведения равна произведению норм. Здесь, как и выше, норма есть квадрат расстояния от числа до начала координат. Число, противоположное любому положительному числу, имеет ту же норму, что и это положительное.

А что насчет формулы для четырех квадратов? Она утверждает то же самое для кватернионов. Четырехмерный аналог теоремы Пифагора (да, есть такая штука!) говорит нам, что кватернион общего вида x + iу + jz + kw имеет норму x ² + y ² + z ² + w ², а это есть сумма четырех квадратов. Кватернионная норма также мультипликативна, и этим объясняется формула Лагранжа для четырех квадратов.

Вы, наверное, меня уже опередили. Формула Дегена для восьми квадратов имеет аналогичную интерпретацию в терминах октонионов. Октонионная норма мультипликативна.

Здесь происходит что-то весьма любопытное. У нас имеется четыре типа последовательно усложняющихся числовых систем: вещественные, комплексные, кватернионы и октонионы. Их размерности равны 1, 2, 4 и 8. Имеются формулы, утверждающие, что сумма квадратов, умноженная на сумму квадратов, есть сумма квадратов, и эти формулы применимы к 1, 2, 4 или 8 квадратам. Эти формулы тесно связаны с соответствующими числовыми системами. Но еще более интригующей является сама последовательность чисел, которые здесь появляются: 1, 2, 4, 8 — что дальше?

 

Если продолжить последовательность, то весьма разумно было бы ожидать, что мы найдем интересную 16-мерную числовую систему. Действительно, такую систему можно построить естественным путем, называемым процессом Кэли-Диксона. Если применить этот процесс к вещественным числам, то получаются комплексные. Применение к комплексным дает кватернионы. Применение к кватернионам — октонионы. И если теперь двинуться дальше и применить его к октонионам, получатся седенионы — 16-мерная числовая система, а затем алгебры размерности 32, 64 и так далее (на каждом шаге размерность удваивается).

Что же, существует формула для 16 квадратов?

Нет. Норма седенионов не мультипликативна. Формулы произведения для сумм квадратов существуют только тогда, когда квадратов в них 1, 2, 4 или 8. Закон малых чисел снова проявил себя: то, что выглядело как последовательность степеней, стопорится.

Почему? По сути, потому что процесс Кэли-Диксона постепенно разрушает законы алгебры. Всякий раз, как он применяется, получающаяся система ведет себя в чем-то не так хорошо, как предыдущая. Шаг за шагом, закон за законом — и изящные вещественные числа погружаются в анархию. Подробности этого таковы.

Наши четыре числовые системы имеют и другие общие свойства, помимо нормированности. Наиболее впечатляющее — из-за которого они и попадают в класс обобщений вещественных чисел — состоит в том, что это «алгебры с делением». Имеется много алгебраических систем, к которым применимы понятия сложения, вычитания и умножения. Но в наших четырех системах можно, кроме того, делить. Существование мультипликативной нормы делает их «нормированными алгебрами с делением». В течение некоторого времени Грейвс полагал, что его метод перехода от 4 к 8 можно будет повторить, что приведет к нормированным алгебрам с делением размерностей 16, 32, 64 — всех степеней двойки. Но он наткнулся на препятствие с седенионами и начал сомневаться, действительно ли существует 16-мерная нормированная алгебра с делением. Он был прав: нам теперь известно, что существуют только четыре нормированные алгебры с делением, и они имеют размерности 1, 2, 4 и 8. Нет формулы для 16 квадратов, подобной формуле Грейвса для восьми квадратов или формуле Эйлера для четырех квадратов.

Почему? На каждом шаге вдоль по цепочке из степеней двойки новая числовая система теряет некоторую часть структуры. Комплексные числа не упорядочены вдоль прямой. Кватернионы не подчиняются алгебраическому правилу ab = ba —  закону коммутативности. Октонионы не подчиняются закону ассоциативности (ab)c = a(bc) , хотя и удовлетворяют закону альтернативности (ab)a = a(ba). Седенионы не образуют алгебру с делением и не имеют мультипликативной нормы.

Все это носит намного более фундаментальный характер, чем просто факт «отказа» в процессе Кэли-Диксона. В 1898 году Гурвиц доказал, что единственные нормированные алгебры с делением — это четыре наших старых друга. В 1930 году Макс Цорн доказал, что те же четыре алгебры являются единственными альтернативными алгебрами с делением. Они поистине исключительны.

Происходящее — из разряда тех вещей, которые нравятся чистым математикам с их платоническими пристрастиями. Но единственными по-настоящему важными для остального человечества случаями являются, по-видимому, вещественные и комплексные числа, которые имеют широкие практические применения. Кватернионы проявили себя в ряде полезных, пусть даже эзотерических приложений, но октонионы не попадали в свет рампы прикладной науки. Они, казалось, являют собой некий тупик чистой математики, подобие претенциозной интеллектуальной чепухи, которой и следует ожидать от людей, витающих в облаках.

 

История математики показывает снова и снова, что опасно отбрасывать всякие яркие или красивые идеи лишь на том основании, что они вроде бы не приносят очевидной пользы. К сожалению, это не мешает людям пренебрегать такими идеями, часто именно потому, что они прекрасные или яркие. Чем более «практическими» люди себя полагают, тем в большей степени они склонны поливать презрением математические концепции, возникающие из абстрактных проблем и изобретенные «ради самих себя», а не из проблем реального мира. Чем изящнее концепция, тем больше презрения, как будто бы изящества самого по себе следует стыдиться.

Такие декларации бесполезности — заложники судьбы. Одно-единственное новое применение, один шаг вперед в науке — и презираемая концепция может внезапно, как выпущенное из пушки ядро, приземлиться в центре сцены, более не бесполезная, а, наоборот, сущностно важная.

Таким примерам нет числа. Сам Кэли говорил, что его матрицы совершенно бесполезны, но сегодня ни одна ветвь науки не могла бы без них функционировать. Кардано объявил, что комплексные числа «настолько же деликатны, насколько бесполезны», но ни один инженер или физик не мог бы работать в мире, в котором отсутствовали бы комплексные числа. Годфри Хэролду Харди — ведущему английскому математику 30-х годов двадцатого века — безмерно импонировала мысль, что теория чисел не имеет никаких практических применений и, в частности, не может использоваться в военных целях. Сегодня теория чисел применяется для шифровки сообщений — она жизненно важна для безопасности коммерческих операций, проводимых через Интернет, и еще более важна для военных.

Подобное же происходит и с октонионами. Они еще могут войти в обязательный курс математики и даже, скорее, физики. Постепенно становится ясной центральная роль октонионов в теории групп Ли — в особенности тех, что представляют интерес для физики, и в первую очередь пяти исключительных групп Ли G ₂, F ₄, E ₆, E ₇ и E ₈, имеющих загадочные размерности 14, 52, 78, 133 и 248. Само их существование представляет собой загадку. Один доведенный до белого каления математик назвал их создание грубым порождением злонамеренного божества.

 

Любители природы получают удовольствие, вновь и вновь посещая хорошо им известные красивые места, откуда можно наслаждаться прекрасным видом — от середины водопада, с уступа, уводящего в сторону от нахоженной тропы, или на утесе, с которого открывается вид на голубой океан. Подобным же образом математики любят возвращаться к старым темам и рассматривать их с новых точек зрения. По мере смены перспективы в наших взглядах на математику удается дать новые интерпретации старым концепциям, что открывает новые возможности. Это вовсе не вопрос математического туризма, когда с открытым ртом таращатся на нечто невыразимо удивительное, рассматривая его под разными углами. Таким способом возникают новые мощные способы решения старых и новых задач. Ни в каком другом месте эта тенденция не проявилась сильнее и не была более информативной, чем в теории групп Ли.

Напомним, что Киллинг организовал почти все простые группы Ли в четыре бесконечных семейства, два из которых составляют на самом деле две части одного большего семейства специальных ортогональных групп SO(n ) в четных и нечетных размерностях. Два другие семейства — это специальные унитарные группы SU(n ) и симплектические группы Sp(2n ).

Теперь мы знаем, что все эти семейства представляют собой вариации на одну и ту же тему. Они состоят из всех n ×n- матриц, удовлетворяющих некоторому конкретному алгебраическому условию — они «косо-эрмитовы»[119]. Единственное различие состоит в том, что для получения ортогональных алгебр Ли надо использовать матрицы из вещественных чисел, для получения унитарных алгебр Ли — матрицы из комплексных чисел, а для получения симплектических алгебр Ли — матрицы из кватернионов. Эти алгебры образуют бесконечные семейства, потому что матрицы могут иметь какой угодно размер. Чудесно видеть, что алгебры Ли, соответствующие естественным преобразованиям в гамильтоновом описании механики — первом великом открытии Гамильтона, — допускают естественное описание в терминах кватернионов — его последнего великого открытия.

Но теперь самое время задуматься, а что же происходит, если в качестве матричных элементов используются октонионы. К сожалению, из-за отсутствия ассоциативности не удается получить новое бесконечное семейство простых алгебр Ли. На самом деле лучше бы сказать «к счастью», поскольку мы ведь знаем, что такого семейства не существует. Но если играть с октонионами в правильные игры, да еще заручиться поддержкой закона малых чисел, можно получить самые настоящие алгебры Ли.

Первый намек на то, что так может случиться, появился в 1914 году, когда Эли Картан ответил на очевидный вопрос и получил удивительный ответ. Руководящий принцип в математике и физике состоит в том, что если имеется некоторый интересный объект, то первое, что про него надо спросить, — это какова его группа симметрии. Группа симметрии системы вещественных чисел тривиальна и состоит только из одного тождественного преобразования — преобразования «не делаем ничего». Группа симметрии системы комплексных чисел содержит тождественный элемент и одну зеркальную симметрию, которая преобразует i в −i . Группой симметрии кватернионов является SU(2), которая почти совпадаете группой вращений SO(3) в трехмерном вещественном пространстве.

Вопрос, который задал Картан, — это «Какова группа симметрии октонионов?». Если вы — некий Картан, то ответ на этот вопрос вам известен. Группой симметрии октонионов является наименьшая из исключительных простых групп Ли — та, которая известна под именем G ₂. 8-мерная система октонионов имеет 14-мерную группу симметрии. Исключительная нормированная алгебра с делением непосредственно связана с первой из исключительных групп Ли.

 

Чтобы двигаться дальше, нам надо подружиться с одной идеей, восходящей к эпохе Возрождения — но только не к математикам, а к художникам того времени.

В те дни математика и искусства были довольно близки друг к другу — не только в архитектуре, но и в живописи. Художники времен Возрождения открыли, как применить геометрию к перспективе. Они нашли геометрические правила для изображения на бумаге таким образом, чтобы объекты и пейзажи выглядели как трехмерные. При этом они изобрели новый и удивительно красивый вид геометрии.

Работы более ранних художников часто не выглядят, на наш взгляд, реалистичными. Даже такой художник, как Джотто (Амброджио Бондоне), мог создавать работы почти фотографического качества, но при более внимательном рассмотрении оказывалось, что перспектива в них не совсем последовательна. Лишь Филиппо Брунелески в 1425 году сформулировал последовательный математический метод получения точной перспективы и передал свое знание другим художникам. В 1435 году вышла первая книга по данному предмету — Delia Pittura Леоне Альберти.

Метод был доведен до совершенства в живописи Пьеро делла Франческа, который был также замечательным математиком. Пьеро написал три книги по математике перспективы. И нельзя не упомянуть Леонардо да Винчи, книга которого Trattato della Pittura начинается с утверждения «Пусть никто, не являющийся математиком, не читает мои работы», что перекликалось с лозунгом «Да не войдет сюда ни один не знающий геометрии», который, согласно легенде, помещался над входом в Платоновскую Академию в Древней Греции.

Суть перспективы состоит в понятии «проекции», согласно которой трехмерный пейзаж переносится на плоский лист бумаги таким способом, что (в идеале) каждая точка пейзажа соединяется с глазом наблюдателя, после чего надо определить, где эта линия пересекает лист бумаги. Ключевая идея состоит в том, что проекции искажают формы некоторыми способами, которых не допускает Эвклид. В частности, проекция может превратить параллельные линии в пересекающиеся.

Мы наблюдаем такой эффект каждый день. Стоя на мосту и глядя на длинную прямую полосу уходящей вдаль железной дороги или автотрассы, мы видим, что прямые линии сходятся и, как кажется, пересекаются на горизонте. В действительности прямые остаются на одном и том же расстоянии друг от друга, но из-за перспективы воспринимаемое нами расстояние уменьшается по мере того, как прямая уходит от нас. В математической идеализации бесконечно длинные параллельные прямые на плоскости также пересекаются, если их подходящим образом спроектировать. Но место, где они пересекаются, не является образом какой бы то ни было точки в плоскости — оно и не может им быть, поскольку на плоскости прямые не пересекаются. Это кажущийся «горизонт», в направлении к которому продолжаются прямые и плоскость. С точки зрения самой плоскости горизонт бесконечно удален, но его проекция — полностью осмысленная прямая, проходящая через середину картины.

Эта прямая известна как «прямая в бесконечности». Как и квадратный корень из минус единицы, это фикция, но исключительно полезная фикция. Возникающая таким образом геометрия называется проективной геометрией, и, в духе эрлангенской программы Клейна, это геометрия свойств, которые не меняются при проекциях. Проективную геометрию использует каждый художник, который рисует изображения с перспективой, с линией горизонта и с «точкой схода», для того чтобы изображаемые объекты выглядели как реальные.

 

 

Как проекция заставляет параллельные прямые пересекаться на горизонте.

 

Геометрия проективной плоскости исключительно изящна. Через любые две точки можно провести единственную прямую, равно как в эвклидовой геометрии. Но, кроме того, любые две различные прямые пересекаются, причем ровно в одной точке. Параллельных, которые так занимали Эвклида, не существует.

Если это напоминает вам плоскость Фано, то вы совершенно правы. Плоскость Фано — это конечная проективная геометрия.

 

От перспективы Возрождения до исключительных групп Ли остается теперь только небольшой шаг. Проективная плоскость, которая неявно присутствовала в методах Альберти, явно возникла в новой геометрии. В 1636 году Жирар Дезарг — армейский офицер, позднее ставший архитектором и инженером — опубликовал «Предполагаемый набросок попытки рассматривать результаты пересечения плоскости конусом». Звучит это как название книги о конических сечениях, и книга таковой и была, но вместо использования традиционной греческой геометрии Дезарг использовал проективные методы. В точности как эвклидову геометрию можно превратить в алгебру, используя декартовы координаты (x, y) — пару вещественных чисел, — так и проективную геометрию оказалось возможным превратить в алгебру, если разрешить буквам x или y принимать бесконечное значение (ситуация хитрым способом ставится под контроль таким образом: рассматриваются отношения трех координат и считается, что 1 : 0 = бесконечность).

То, что можно делать с вещественными числами, можно делать и с комплексными, так что у нас появляется комплексная проективная плоскость. А если тут все работает, то почему бы не попробовать кватернионы или октонионы?

Здесь возникают сложности. Очевидные методы не работают из-за отсутствия коммутативности. Однако в 1949 году математический физик Паскуаль Жордан нашел осмысленный способ построить октонионную проективную плоскость вещественной размерности 16. В 1950 году Арман Борель — математик, специализировавшийся в теории групп — доказал, что вторая исключительная группа Ли F ₄ является группой симметрии октонионной проективной плоскости — вполне в духе комплексной плоскости, но только образованной из двух 8-мерных «линеек», деления на которых — октонионы, а не вещественные числа.

Итак, нашлось октонионное объяснение двух из пяти исключительных групп Ли. А что насчет трех оставшихся — E ₆, E ₇ и E ₈?

 

Взгляд на исключительные группы Ли как на грубые порождения злонамеренного божества был довольно распространенным, пока в 1959 году Ханс Фрейденталь и Жак Тите независимо не изобрели «магический квадрат» и не объяснили появление групп E ₆, E ₇ и E ₈.

Строки и столбцы магического квадрата соответствуют четырем нормированным алгебрам с делением. Если заданы любые две нормированные алгебры с делением, можно посмотреть в соответствующую строку и соответствующий столбец и найти в магическом квадрате — который определяет результат согласно не столь уж простому математическому предписанию — некоторую группу Ли. Появление некоторых из этих групп понять несложно; например, группа Ли, соответствующая строке с вещественными числами и столбцу с вещественными числами, есть группа SO(3) вращений в трехмерном пространстве. Если и строка, и столбец соответствуют кватернионам, то мы получаем ничуть не менее близкую математикам группу SO(12) вращений в двенадцатимерном пространстве. Если теперь взять октонионную строку или октонионный столбец, то там будут стоять исключительные группы Ли F ₄, E ₆, E ₇ и E ₈.[120] Отсутствующая здесь исключительная группа G ₂ также тесно связана с октонионами — как мы уже видели, она представляет собой их группу симметрии.

 

 

 

 

 

 

	R	C	H	O
R
SO(3)	SU(3)	Sp(3)	F 4
C
SU(3)	SU(3)(3)	SU(6)	E 6
H
Sp(3)	SU(6)	SO(12)	E 7
O
F 4	E 6	E 7	E 8

Итак, общее мнение состоит в том, что исключительные группы Ли существуют потому, что божество в своей мудрости дозволило существование октонионов. Надо было сразу догадаться. Как заметил Эйнштейн, господь изощрен, но не злонамерен. Все пять исключительных групп Ли являются симметриями различных октонионных геометрий.

Около 1956 года российский геометр Борис Розенфельд, размышляя, быть может, о магическом квадрате, предположил, что три оставшиеся исключительные группы E ₆, E ₇ и E ₈ также являются группами симметрии проективных плоскостей. Однако вместо октонионов здесь надо использовать следующие структуры:

• для E ₆: биоктонионы, построенные из комплексных чисел и октонионов;

• для E ₇: кватероктонионы, построенные из кватернионов и октонионов;

• для E ₈: октооктонионы, построенные из октонионов и октонионов.

Единственная небольшая загвоздка состояла в том, что никто не знал, как внятно определить проективные плоскости над такими комбинациями числовых систем. Тем не менее имеется ряд свидетельств в пользу осмысленности данной идеи. По ситуации на настоящий момент, мы можем доказать гипотезу Розенфельда, но только с использованием групп для построения проективных плоскостей. Это не полностью удовлетворительно, поскольку замысел состоял в том, чтобы продвигаться в другом направлении — от проективных плоскостей к группам. Тем не менее лиха беда начало. На самом деле для групп E ₆ и E ₇ уже найдены независимые способы построения проективных плоскостей. Лишь одна E ₈ пока держит оборону.

 

Если б не октонионы, то вся история о группах Ли выглядела бы попроще — как первоначально и надеялся Киллинг, — но была бы далеко не столь интересной. Не то чтобы у смертных была возможность выбирать — октонионы и все с ними связанное существуют . И некоторым таинственным образом само существование вселенной может зависеть от них.

Связь между октонионами и жизнью, вселенной и всем на свете возникает из теории струн. Ключевое свойство там — необходимость дополнительных измерений, в которых могли бы помещаться струны. Эти дополнительные измерения могут в принципе принимать огромное число самых разнообразных форм, и серьезная проблема — найти ту самую, правильную форму. В старой квантовой теории ключевым принципом являлась симметрия, и такова же ситуация в теории струн. Так что, без сомнения, группы Ли появляются на сцене в нужный момент. Все держится на этих симметриях по отношению к группам Ли, причем исключительные группы снова занимают особое место — не как типун на языке, но как возможности для реализации неожиданных совпадений, которые обеспечивают физике ее существование.

Что возвращает нас к октонионам.

Приведем пример влияния, которое они оказывают. В 1980-х годах физики заметили, что в пространстве-времени размерностей 3, 4, 6 и 10 выполняются некоторые занятные соотношения. Векторы (направленные отрезки) и спиноры (алгебраические штучки, исходно созданные Полем Дираком в его теории спина электрона) весьма тесно связаны между собой в размерности три, и только в ней. Почему? Оказывается, что соотношение между векторами и спинорами имеет место в точности тогда, когда размерность пространства-времени на 2 превосходит размерность некоторой нормированной алгебры с делением. Вычитая 2 из 3, 4, 6 и 10, получаем как раз 1, 2, 4 и 8.

Математический аспект здесь состоит в том, что в 3-, 4-, 6- и 10-мерных теориях струн[121] каждый спинор можно представить, используя два числа из соответствующей нормированной алгебры с делением. Такого не случается ни в каком другом числе измерений, и отсюда следует набор замечательных следствий для физики. Таким образом, у нас имеются четыре кандидата на теорию струн: вещественные, комплексные, кватернионные и октонионные. И дело складывается таким образом, что, по современным представлениям, из этих возможных теорий струн наибольшие шансы соответствовать реальности имеет 10-мерная теория, отвечающая октонионам . Если эта 10-мерная теория действительно соответствует реальности, то наша вселенная построена из октонионов.

И это не единственное место, где эти странные «числа», едва заслуживающие называться этим именем в силу минимума необходимых алгебраических соотношений, которые для них выполнены, оказываются весьма влиятельными. Та самая модная гипотетическая теория струн — M-теория — включает в себя 11-мерное пространство-время. Чтобы редуцировать воспринимаемую часть пространства-времени от 11 измерений к нашим четырем, следует избавиться от 7 измерений путем такого плотного их скручивания, чтобы они перестали быть заметными. И как же сделать такое для 11-мерной супергравитации? Надо использовать исключительную группу Ли G ₂ — группу симметрии октонионов.

И вот они снова, более не милые безделушки викторианской эпохи, а увесистая отмычка к возможной Теории Всего. У нас тут октонионный мир, господа.

 

Глава 16

Искатели Истины и Красоты

 

Что же, Китс был прав? Красота есть истина, а истина — красота?

Эти два понятия тесно связаны, быть может, по той причине, что наш мозг примерно одинаково реагирует на каждое. Но то, что работает в математике, не обязано работать в физике, и наоборот. Отношения между математикой и физикой глубоки, деликатны и головоломны. Философская головоломка высшего рода — как наука открыла так называемые «законы» природы и почему природа вроде бы говорит на языке математики.

Поистине ли вселенная в природе своей математическая? Не являются ли ее видимые математические черты всего лишь изобретением человека? Или же она кажется нам математической потому, что математика — самый глубинный аспект ее бесконечно сложной природы, который доступен нашему уму?

Математика — это не некоторый развоплощенный вариант окончательной истины, как полагают некоторые. Если из нашего рассказа что-то и следует, так это что математику создают люди. Нас трогают их радости и их горе. Кто остался бы равнодушным к ужасным смертям Абеля и Галуа, ведь оба они умерли в возрасте 21 года? Один из них был объектом глубокой любви, но не располагал достаточными для женитьбы средствами; другой же, блестящий, но неуравновешенный молодой человек, влюбился, но был отвергнут и умер, быть может, из-за этой любви. Успехи современной медицины спасли бы Абеля и даже помогли бы Гамильтону сохранять трезвость.

Поскольку математики — живые люди, живущие обычной человеческой жизнью, создание новой математики является частью общественных процессов. Однако ни математика, ни наука в целом не есть исключительно результат общественных процессов, как то нередко утверждают обществоведы-релятивисты. В каждом случае требуется удовлетворить некоторым внешним требованиям — требованиям логики в случае математики, требованиям эксперимента в случае наук. Сколь отчаянно математики ни желали бы разделить угол на три части эвклидовыми методами, голый факт состоит в том, что это невозможно. Сколь бы сильно физики ни желали вывести из ньютоновского закона гравитации окончательное описание вселенной, движение перигелия Меркурия доказывает, что это невозможно.

Вот почему математики столь упрямо следуют логике, крайне беспокоясь при этом о вещах, до которых большинству людей просто нет дела. А важно ли в самом деле, можно или нельзя разрешить уравнение пятой степени в радикалах?

Приговор истории по этому вопросу не допускает толкований. Это — важно. Не так уж, возможно, важно для повседневной жизни, но, без всякого сомнения, важно для человечества в целом — не потому, что нечто важное основано на нашей способности решить уравнение пятой степени, а потому, что понимание причин, по которым это невозможно, открывает тайную дверь в новый математический мир. Если бы Галуа и его предшественники не были одержимы задачей найти условия, при которых уравнение можно решить в радикалах, открытие человечеством теории групп сильно задержалось бы, а возможно, его никогда бы и не произошло.

Вы не обязательно встречаетесь с группами у себя на кухне или во время поездки на работу, и тем не менее без них современная наука оказалась бы серьезно урезанной, а наша жизнь — устроенной в сильной степени по-другому. Не столько в отношении таких штук, как широкофюзеляжные реактивные лайнеры, или GPS-навигаторы, или даже мобильные телефоны — хотя и их это касается, — сколько в отношении нашего понимания природы. Никто не смог бы предсказать, что занудный вопрос об уравнениях прояснит глубокую структуру физического мира, однако именно так и случилось.

История посылает нам столь же простой, сколь и ясный сигнал. Исследование глубоких математических вопросов не следует отвергать или умалять только на том основании, что эти вопросы не обещают прямых практических применений. Ценность хорошей математики выше, чем у золота, и по большей части неважно, откуда она взялась. Что важно, так это куда она нас ведет.

 

Потрясающая вещь состоит в том, что математика высшего уровня обычно приводит к чему-то неожиданному, причем значительная ее часть оказывается актуальной для науки и технологии, пусть даже исходно изобретение совершалось для каких-то совершенно иных целей. Эллипс, который греки изучали как коническое сечение, оказался той путеводной нитью, которая привела стопами Кеплера, основывавшегося на наблюдениях Тихо Браге за движением Марса, к ньютоновской теории гравитации. Теория матриц, за бесполезность которой извинялся ее изобретатель Кэли, стала неотъемлемым инструментом в статистике, экономике и едва ли не в каждом отделе науки. Октонионы могут сыграть роль вдохновителей Теории Всего. Разумеется, теория суперструн может оказаться всего лишь симпатичным фрагментом математики, не имеющим связи с физикой. Если и так, то существующие применения симметрии в квантовой теории все равно демонстрируют, что теория групп позволяет нам глубоко проникнуть в природу вещей, несмотря на то что создавалась она для ответа на некий вопрос в рамках чистой математики.

Почему математика столь полезна для целей, ни в коей мере не предусмотренных ее изобретателями?

Греческий философ Платон говорил, что «Бог во всем геометр». Ему вторил Галилей: «Великая книга Природы написана на языке математики». Иоганн Кеплер задался целью обнаружить математические закономерности в орбитах планет. Часть из его изысканий привела Ньютона к его закону гравитации, другая же часть оказалась мистической чепухой.

Многие современные физики отмечали потрясающую мощь математического мышления. Вигнер говорил о «непостижимой эффективности математики» в деле познания природы; эта фраза фигурирует в заглавии статьи, написанной им в 1960 году. Он пишет, что в статье рассматриваются два основных вопроса:

 

Первое — это то обстоятельство, что колоссальная эффективность математики в естественных науках граничит до некоторой степени с мистикой и что этому нет никакого рационального объяснения. Второе — это то, что именно эта сверхъестественная эффективность математических понятий поднимает вопрос о единственности физических теорий.

 

И еще:

 

Математический язык удивительно приспособлен для формулировки физических законов — это чудесный дар, который мы не понимаем и которого не заслуживаем. Нам остается лишь благодарить за него судьбу и надеяться, что в своих будущих исследованиях мы сможем по-прежнему им пользоваться. Мы думаем, что сфера его применимости, хорошо это или плохо, будет непрерывно возрастать, принося нам не только радость, но и новые головоломные проблемы.

 

Поль Дирак полагал, что законы природы должны быть не только математическими, но еще и красивыми. Красота и истина были для него двумя сторонами одной монеты, и математическая красота в сильной степени подсказывала физическую истину. Он даже зашел столь далеко, что говорил, будто предпочтет прекрасную теорию правильной и что красота представляет большую ценность, нежели простота: «Исследователь в своих усилиях выразить фундаментальные законы природы в математическом виде должен главным образом стремиться к математической красоте. Он также должен принимать во внимание и простоту, но в подчинении у красоты… Там же, где они вступают в конфликт, следует отдавать предпочтение красоте».

Интересно, что дираковская концепция математической красоты значительно отличалась от той, которую разделяют большинство математиков. Она не включала в себя логическую строгость, и многие шаги в его работах содержали логические скачки — больше всего известен пример его «дельта-функции», обладающей внутренне противоречивыми свойствами. Тем не менее он весьма эффективно использовал эту «функцию», и в конце концов математики дали строгую формулировку его идеи, после чего она и в самом деле стала частью прекрасного.

Тем не менее, как было отмечено в книге Хельге Краф «Дирак. Биография ученого», «Все его [Дирака] великие открытия были сделаны до [середины 1930-х годов], а после 1935 года ему, в общем, не удавалось производить физические результаты, имеющие непреходящую ценность[122]. Уместно замечание, что принцип математической красоты управлял его мышлением только в течение более позднего периода».

«Уместно» — возможно, но не верно. Дирак мог явно выразить этот принцип в позднейший период, но он пользовался им и ранее. Все его лучшие работы математически изящны, причем он опирался на изящество как на проверку того, движется ли он в правильном направлении. Отсюда следует не то, что математическая красота тождественна физической истине, а то, что она необходима для достижения физической истины. Одной ее недостаточно. Много прекрасных теорий при столкновении с экспериментом оказались полной бессмыслицей. Как заметил Томас Хаксли, «наука — это вышколенный и организованный здравый смысл, где погибло немало прекрасных теорий, убиенных уродливыми фактами».

Тем не менее имеется много свидетельств, что в основе своей природа прекрасна. Математик Герман Вейль, соединивший в своих исследованиях теорию групп и физику, говорил: «В своих работах я всегда пытался соединить истину с красотой, и когда мне приходилось выбрать между ними, я обычно останавливал выбор на красоте». Основатель квантовой механики Вернер Гайзенберг писал Эйнштейну: «Вы можете возразить, что, говоря о простоте и красоте, я ввожу эстетические критерии истины, и я честно признаюсь, что меня в сильной степени привлекают простота и красота математических схем, которые нам предлагает природа. Вам должно быть это знакомо — почти пугающая простота и целостность связи, которую природа неожиданно перед нами раскрывает».

 

Эйнштейн же полагал, что неизвестно столь много фундаментальных вещей — природа времени, источники упорядоченного поведения материи, форма вселенной, — что нам следует напоминать самим себе, сколь далеки мы от какого бы то ни было «окончательного» понимания. По мере своей полезности математическое изящество дает нам всего лишь локальные и временные истины. Тем не менее это — наилучший способ двигаться вперед.

 

На протяжении всей истории математика обогащалась из двух различных источников. Один — это естественный мир, а другой — абстрактный мир логической мысли. Именно комбинация этих двух источников придает математике мощь, позволяющую ей сообщать нам об устройстве вселенной. Дирак прекрасно понимал эту связь: «Математик играет в игру, где он сам изобрел правила, тогда как физик играет в игру, правила которой задаются природой, но со временем становится все более и более очевидно, что правила, которые оказываются интересными для математика, — это те же правила, что установлены природой». Чистая и прикладная математика дополняют друг друга. Они представляют собой не два противоположных полюса, а два конца единого, связного спектра мыслей.

Наш рассказ о симметрии показывает, как даже отрицательный ответ на хороший вопрос («возможно ли решить уравнение пятой степени?») может привести к глубокой и фундаментальной математике. Здесь имеет значение, почему ответ оказался отрицательным. Методы, которые это выясняют, можно использовать для решения множества других проблем — и среди них глубоких вопросов физики. Но наш рассказ также показывает, что здоровье математики зависит и от того, вдыхает ли она новую жизнь из физического мира.

Истинная сила математики лежит именно в этом замечательном слиянии человеческого чувства гармонии («красота») с физическим миром, причем оба действуют как критерий реальности («истина») и как неистощимый источник вдохновения. Нельзя решить выдвигаемые наукой задачи без новых математических идей. Однако сами по себе новые идеи, если довести их до предела, могут выродиться в бессмысленную игру. Требования науки удерживают развитие математики на той линии, где она плодотворна, а также часто подсказывают новые направления ее развития.

Если бы математика полностью зависела от внешних потребностей — была бы служанкой наук, — мы бы получали от нее то, чего и следует ожидать от служанки: она была бы угрюмой, ворчливой и медлительной. Если бы математика руководствовалась исключительно собственными интересами, мы бы получили испорченное, дурно воспитанное дитя — избалованное, эгоистичное и раздувшееся от собственной важности. Математика высшего разряда балансирует между двумя этими крайностями, сопоставляя свои собственные потребности с потребностями внешнего мира.

Отсюда и проистекает ее непостижимая эффективность. Уравновешенная личность учится на опыте и применяет полученное знание в новых обстоятельствах. Вдохновителем великих математических достижений служил реальный мир, но великая математика может выйти за пределы, установленные ее происхождением.

Неизвестный вавилонянин, открывший, как решать квадратное уравнение, и представить себе не мог, даже в самых невероятных мечтах, во что превратится его наследие три с лишним тысячи лет спустя. Никто не мог бы предположить, что вопросы о разрешимости уравнений приведут к одной из ключевых концепций в математике — концепции группы — или что группы окажутся языком, на котором описывается симметрия. Еще менее того можно было полагать, что симметрии откроют нам дверь к тайнам физического мира.

В физике польза от умения решать квадратные уравнения очень ограниченна. Пользы от умения решать уравнение пятой степени и того меньше — уже по той причине, что всякое решение по необходимости будет численным, а не аналитическим или же будет выражаться с помощью символов, специально для этой цели изобретенных и едва ли поэтому пригодных на что-либо, кроме как прикрывать проблему фиговым листком. Но понимание того, почему уравнения пятой степени не решаются, осознание ключевой роли симметрии и развитие сопутствующих идей настолько далеко, насколько возможно, — все это открыло целые области физического мира.

Процесс идет. Следствия из симметрии для физики, а на самом деле и для науки в целом, остаются в достаточной степени неисследованными. Многого мы еще не понимаем. Но что мы понимаем наверняка, так это тот факт, что группы симметрии — наш проводник через неисследованные земли, по крайней мере до тех пор, пока не появится некая более мощная концепция (уже, быть может, ожидающая своего часа в какой-нибудь безвестной диссертации).

В физике красота не дает автоматической гарантии истинности, но она ей способствует.

В математике красота должна быть истиной — поскольку все ложное уродливо.

 

Литература

 

John С. Baez, The octonions , Bulletin of the American Mathematical Society, volume 39 (2002), 145–205.

E.T. Bell, Men of Mathematics (2 volumes), Pelican, Harmondsworth, 1953.

R. Bourgne and J.-P. Azra, Écrits et Mémoires Mathématiques d'évariste Galois , Gauthier-Villars, Paris, 1962.

Carl B. Boyer, A History of Mathematics, Wiley, New York, 1968.

W.K. Buhler, Gauss: A Biographical Study , Springer, Berlin, 1 981.

Jerome Cardan, The Book of My Life (translated by Jean Stoner), Dent, London, 1931.

Girolamo Cardano, The Great Art or the Rules of Algebra (translated T. Richard Witmer), MIT Press, Cambridge, MA, 1968.

A.J. Coleman, The greatest mathematical paper of all time , The Mathematical Intelligencer, volume 11 (1989), 29–38.

Julian Lowell Coolidge, The Mathematics of Great Amateurs, Dover, New York, 1963.

C.W. Davies and J. Brown, Superstrings, Cambridge University Press, Cambridge, 1988.

Underwood Dudley, A Budget of Trisections, Springer, New York, 1987.

Alexandre Dumas, Mes Mémoires (volume 4), Gallimard, Paris, 1967.

Euclid, The Thirteen Books of Euclid's Elements (translated by Sir Thomas L. Heath), Dover, New York, 1956 (3 volumes).

Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones Arithmeticae (translated by Arthur A. Clarke), Yale University Press, New Haven, 1966.

Ian Gullberg, Mathematics: From the Birth of Numbers, Norton, New York, 1997.

George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock, Penguin, London, 2000.

Brian Greene, The Elegant Universe, Norton, New York, 1999.

Michio Kaku, Hyperspace, Oxford University Press, Oxford, 1994.

Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times,  Oxford University Press, Oxford, 1972.

Helge S. Kragh, Dirac — A Scientific Biography, Cambridge University Press, Cambridge, 1990.

Mario Livio, The Equation That Couldn't Be Solved, Simon & Schuster, New York, 2005.

J.-P. Luminet, Black Holes, Cambridge University Press, Cambridge, 1992.

Oystein Ore, Niels Henrik Abel: Mathematician Extraordinary, University of Minnesota Press, Minneapolis, 1957.

Abraham Pais, Subtle Is the Lord: The Science and the Life of Albert

Einstein , Oxford University Press, Oxford, 1982.

Roger Penrose, The Road to Reality, BCA, London, 2004.

Lisa Randall, Warped Passages, Allen Lane, London, 2005.

Michael I. Rosen, Niels Hendrik Abel and equations of the fifth degree,  American Mathematical Monthly, volume 102 (1995), 495–505.

Tony Rothman, The short life of Evariste Galois, Scientific American (April 1982) 112–120. Collected in Tony Rothman, A Physicist on Madison Avenue,  Princeton University Press, 1991.

H.F.W. Saggs, Everyday Life in Babylonia and Assyria, Putnam, New York, 1965.

Lee Smolin, Three Roads to Quantum Gravity, Basic Books, New York, 2000.

Paul J. Steinhardt and Neil Turok, Why the cosmological constant is small and positive , Science, volume 312 (2006), 1180–1183.

Ian Stewart, Galois Theory (3rd edition), Chapman and Hall/CRC Press, Boca Raton 2004.

Jean-Pierre Tignol, Galois's Theory of Algebraic Equations, Longman, London, 1980.

Edward Witten, Magic, mystery, and matrix, Notices of the American Mathematical Society, volume 45 (1998), 1124–1129.

 

Веб-сайты

 

А. Нulpke, Determining the Galois group of a rational polynomial:

http://www.math.colosate.edu/hulpke/talks/galoistalk.pdf

 

The MacTutor History of Mathematics archive:

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/index.html

 

A. Roth man, Genius and biographers: the fictionalization of Evariste Galois:

http://godel.ph.utexas.edu/tonyr/galois.htm

 

Комментарии

 

1

 

Конечно же, подчеркнуто, а не зачеркнуто. Но, к сожалению, формат fb2 не поддерживает нижнее подчеркивание.

 

Иэн Стюарт

ИСТИНА И КРАСОТА

История симметрии

 

Главный редактор Варвара Горностаева

Художник Андрей Бондаренко

Ведущий редактор Михаил Калужский

Ответственный за выпуск Мария Косова

Редактор Галина Юзефович

Технический редактор Татьяна Тимошина

Корректор Екатерина Комарова

Верстка Елена Илюшина

 

ООО «Издательство Астрель»,

обладатель товарного знака «Издательство Corpus»

129085, г. Москва, пр-д Ольминского, 3а

 

Подписано в печать 25.03.10. Формат 60x90/16

Бумага офсетная. Гарнитура «MetaNormalC»

Печать офсетная. Усл. печ. л. 29

Тираж 5000 экз. Заказ № 1147.

 

Общероссийский классификатор продукции

OK-005-93, том 2; 953000 — книги, брошюры

Санитарно-эпидемиологическое заключение

№ 77.99.60.953.Д.012280.10.09 от 20.10.2009

 

Охраняется законом РФ об авторском праве. Воспроизведение всей книги или любой ее части воспрещается без письменного разрешения издателя. Любые попытки нарушения закона будут преследоваться в судебном порядке.

 

Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами в ЗАО "ИПК "Парето-Принт", г. Тверь, www.pareto-print.ru

Издание осуществляется при техническом содействии ООО «Издательство ACT», 000 «Издательство Астрель»

 

По вопросам оптовой покупки книг

Издательской группы «ACT» обращаться по адресу:

г. Москва, Звездный бульвар, 21, 7-й этаж

Тел.: (495) 615-01-01, 232-17-16

 

Спасибо, что скачали книгу в бесплатной электронной библиотеке Royallib.ru

Оставить отзыв о книге

Все книги автора

[1] Консул Ост-Индийской компании в Багдаде. (Примеч. перев.)

 

[2] Государство Селевкидов существовало со времени вскоре после смерти Александра Великого (формально — с момента утверждения Селевка в Вавилоне в 312 г. до Р.Х.) и до присоединения остатков некогда обширных территорий Римом (династия окончательно отлучена от правления, даже номинального, в 63 г. до Р.Х., но государство пришло в упадок значительно раньше). Получить «пять веков» обычными арифметическими действиями не представляется возможным. Государство Селевкидов было частью эллинистического мира; в эллинистическое же время жили, в частности, Эвклид, Архимед и Аполлоний, влияние которых в любом эллинистическом государстве не могло не ощущаться. (Примеч. перев.)

 

[3] Зависит, и весьма часто. В русском языке, например, качество гласного звука зависит от его расстояния от ударного слога. В английском же имеется довольно явное влияние букв в слове друг на друга — например, в создании дифтонгов и в механизме открытия слогов. В ирландском языке такая согласная, как «m», имеет «полностью различные значения» — звук «м» или звук «в» — в зависимости от положения в слове (так называемые сильные и слабые позиции). (Примеч. перев.)

 

[4] Вавилонское значение вычисляется как 1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³ = 1,4142129…, а √2 = 1,4142135. Разница составляет около шести десятимиллионных. (Примеч. перев.)

 

[5] Александрия выгодно использовала торговлю с Востоком, однако для сообщения с Красным морем надо было пересечь дельту Нила и далее двигаться по суше. (Примеч. перев.)

 

[6] Действительно, Луна близка и хорошо видна. Ситуация приобретает несколько большую остроту в том, например, случае, когда астроном сумел сделать лишь небольшое число наблюдений над каким-либо телом и исходя из них хочет узнать характер его дальнейшего движения. (Примеч. перев.)

 

[7] Нулевое деление линейки скользит по заданной кривой, при этом линейка все время проходит через выделенную точку вне кривой. Имеется вторая кривая, и при каждом положении линейки фиксируется то деление на ней, на котором ее пересекает эта вторая кривая. При том положении линейки, когда отмеренная таким образом длина оказывается равной некоторой заданной, по линейке проводится прямая. (Примеч. перев.)

 

[8] Именно неидеальность линий требует специальных правил, оговаривающих «черту» в различных видах спорта. (Примеч. перев.)

 

[9] О Диофанте пишет около 350 года от Р.Х. Феон Александрийский. Диофантова Arithmetica посвящена «достопочтеннейшему Дионисию», который может быть епископом Дионисием Александрийским (середина III века от Р.Х.). Диофант мог родиться между 200 и 214, а умереть между 284 и 298 годами. (Примеч. перев.)

 

[10] Или «сокращение и сравнение», или «восстановление и противопоставление». (Примеч. перев.)

 

[11] ааба или аааа . (Примеч. перев.)

 

[12] Марка Аврелия, римского императора с 161 по 180 г. (Примеч. перев.)

 

[13] Не без некоторых потерь:

«…и Солнце, и обе зловещие планеты — Венера и Меркурий — находились в человеческих знаках, вследствие чего у меня и не обнаружилось отклонений от человеческого образа; а так как в асценденте был Юпитер и во всем гороскопе господствовала Венера, у меня обнаружились неправильности только в половых органах: случилось так, что в возрасте от 21 до 31 года я оказался не способен к совокуплению с женщинами и часто горько оплакивал свою участь, завидуя судьбе других людей». (Примеч. перев.)

 

[14] Лат.: Ars Magna . (Примеч. перев.)

 

[15] По-английски «calculus» означает «исчисление», наиболее часто — в значении «дифференциальное и интегральное исчисление». По-русски этот же предмет называется математическим анализом или, когда контекст ясен, просто анализом (откуда производится и прилагательное «аналитический»). (Примеч. перев.)

 

[16] Игра ума. (Примеч. перев.)

 

[17] В традиционной транслитерации — Сципион. (Примеч. перев.)

 

[18] В английском оригинале имена даются также многочленам степеней 4, 5 и 6: они произведены от соответствующих слов «квартика», «квинтика» и «секстика», которые мы также будем иногда употреблять, называя уравнения четвертой и пятой степени соответственно квартикой и квинтикой (а третьей степени заодно — кубикой). (Примеч. перев.)

 

[19] О комплексной плоскости — плоскости комплексных чисел — рассказано ниже в главе 9. (Примеч. перев.)

 

[20] Здесь q — комплексное число, определяемое точкой на левом рисунке, т.е. вершиной правильного n- угольника, ближайшей к 1 в направлении против часовой стрелки. Оно, конечно, зависит от выбранной степени п корня. (Примеч. перев.)

 

[21] В честь римской богини плодородия — покровительницы Сицилии. (Примеч. перев.)

 

[22] Чтобы преподавать в университете (а не в школе), помимо защиты «кандидатской» диссертации требовалось получить более высокую, вторую степень, называемую Habilitation ; для этого необходимо было подготовить текст диссертации и прочитать лекцию. (Примеч. перев.)

 

[23] Этот слегка жаргонный термин следует понимать так, как сказано в примечании [15]. (Примеч. перев.)

 

[24] Лагранж родился в 1736 году, когда Турин был частью (де факто столицей) королевства Пьемонт-Сардиния, как тогда назывались владения Савойской династии. (Примеч. перев.)

 

[25] Как можно понять, Абель болел и умер в доме, где хозяйкой была Катарина Трешов, а Иоанна Ханстеен — жена его учителя Ханстеена. (Примеч. перев.)

 

[26] Фамилия Galois у Коши написана как Galoi, что произносится так же, но тем не менее представляет собой заметную неточность в написании. (Примеч. перев.)

 

[27] Компромисс в том смысле, что король был свергнут, однако монархия сохранена. (Примеч. перев.)

 

[28] Отец. (Примеч. перев.)

 

[29] На тот случай, если у читателя накопилось недоумение по поводу «перегрузки» слова «степень», признаем очевидное — употребительных слов в русском языке несколько меньше, чем в английском, поэтому приходится смириться с тем, что «степень» обозначает и степень уравнения (например, x ³ + x + 1 = 0 — уравнение третьей степени), и степень числа (например, 81 есть 3 в четвертой степени). (Примеч. перев.)

 

[30] Левая часть этого уравнения. (Примеч. перев.)

 

[31] Название «трансцендентные» указывает на вещи, которые «выходят за пределы», «преступают границы», «не поддаются включению». (Примеч. перев.)

 

[32] Что означает «интеграл от достаточно сложной функции». (Примеч. перев.)

 

[33] В немецкой системе «полный профессор» (если использовать уже утвердившееся у нас англосаксонское выражение) назывался ординарным профессором. Предыдущая должность — это Assistant Professor , или «экстраординарный профессор», — примерно наш доцент. (Примеч. перев.)

 

[34] На анимированное построение правильного 17-угольника можно посмотреть по адресу:

http://en.wikipedia.org/wiki/Heptadecagon. (Примеч. перев.)

 

[35] Вероятно, придумана Дж. Литлвудом. (Примеч. перев.)

 

[36] Ничего не поделаешь; однофамильцем нашего Гамильтона является, например, Л. Хэмилтон — британский обладатель чемпионского титула в гонках класса «Формула 1» — но традиционное написание есть традиционное написание (плюс к тому в физике и математике укоренилось немало производных от имени Гамильтона, например, «гамильтониан»). Других примеров традиционного русского написания в этой книге немало. Скажем, все «простые» французы по имени Charles — Шарли, но короли, носящие то же имя, — Карлы; Исаак Ньютон, но Айзек Азимов и т.д. (Примеч. перев.)

 

[37] Читатель мог встречать следующую распространенную формулировку этого утверждения: угол падения равен углу отражения. (Примеч. перев.)

 

[38] Curragh, графство Килдейр (Kildare, Chill Dara). (Примеч. перев.)

 

[39] Читателя может заинтересовать взгляд на излагаемый здесь ход событий как на «подложную историю чисел», изложенный в книге Дж. Дербишира «Простая одержимость», которая выйдет в издательстве Corpus. (Примеч. перев.)

 

[40] Willem van Oranje (1533–1584) — принц Оранский, граф Нассауский, первый статхаудер Голландии и Зеландии, один из лидеров Нидерландской революции. (Примеч. перев.)

 

[41] Здесь i обозначает √−1 (см. главу 5). Под «кратными» понимаются числа вида i ∙(вещественное число). (Примеч. перев.)

 

[42] На массивной каменной основе моста, со стороны, обращенной к каналу, укреплена каменная плита со словами:

 

Here as he walked by

on the 16th of October 1843

Sir William Rowen Hamilton

in a flash of genius discovered

the fundamental formula for

quaternion multiplication

i ² = j ² = k ² = ijk = −1

& Cut It On A Stone Of This Bridge

 

Последняя строка читается не без некоторого труда из-за сколов на камне. Кладка моста весьма грубая, так что называть вандалом того, кто нацарапал на ней нечто осмысленное, можно лишь с довольно большой натяжкой. (Примеч. перев.)

 

[43] В самом деле, об этом ясно говорят формулы выше (i ² = j ² = k ² = ijk = −1). (Примеч. перев.)

 

[44] Дифференциальные уравнения — это выражение того, как связаны эти скорости изменения с разнообразными действующими факторами. Решение же дифференциального уравнения как раз должно восстановить отсюда (и из начальных условий) поведение самой величины. (Примеч. перев.)

 

[45] «Положительное целое», — не удержится и уточнит математик. (Примеч. перев.)

 

[46] И, конечно, того случая, когда A и B суть вращения вокруг одной и той же оси (т.е. в одной и той же плоскости ); для них коммутатор равен нулю точно так же, как коммутатор в группе SO(2). (Примеч. перев.)

 

[47] Пауля Гордана. Гильберт, впрочем, оказал значительное влияние на Нетер — уже сформировавшегося математика, — когда та в 1916 году переехала в Геттинген. (Примеч. перев.)

 

[48] Университет в Мюнстере стал в 1805 году Прусским университетом Вестфалии; с 1907 года он называется Westfälische Wilhelms-Universität по имени кайзера Вильгельма II. (Примеч. перев.)

 

[49] Семействам потому, что при каждом n = 2, 3, … имеется своя алгебра Ли каждого вида. (Примеч. перев.)

 

[50] Пожалуй, современный ответ на этот вопрос — тем, что это размерности исключительных алгебр Ли. (Примеч. перев.)

 

[51] В этой фразе неразделимо и неразличимо соединены два фундаментальных факта. 1. Эрстед открыл, что электрический ток, выражаясь современным языком, создает магнитное поле. 2. Основное «электромагнитное» достижение Фарадея — открытие в некотором роде обратного эффекта: при изменении потока магнитного поля, пронизывающего замкнутый контур, в этом контуре возникает электрический ток. Это явление называется электромагнитной индукцией; его «двойственный» вариант состоит в том, что виток с переменным током испытывает силу стороны магнитного поля, что и составляет принцип работы электродвигателя. (Примеч. перев.)

 

[52] Для «истории симметрии» небезынтересен тот факт, что, когда Максвелл сформулировал на математическом языке все известные к тому времени экспериментальные сведения об электричестве и магнетизме, полученные уравнения оказались внутренне противоречивыми — из них следовало нечто типа «равенства» 1 = 0. Руководствуясь внутренней симметрией уравнений, Максвелл «руками» добавил в одно из них дополнительное слагаемое, так что уравнения стали более симметричными, а вместо противоречивого равенства из них получалось волновое уравнение. (Примеч. перев.)

 

[53] Краткое название этого института — «Высшей технической школы» — традиционно переводится на русский как «Политехникум», однако в современном употреблении чаще используется оригинальная аббревиатура ETH. (Примеч. перев.)

 

[54] Об эфире подробнее говорилось выше. (Примеч. перев.)

 

[55] Их дочь Лизерль родилась в январе 1902 года; упоминания о ней после 1903 года отсутствуют. В июле 1910 года родился их второй сын Эдуард. А. Пейс пишет, что «от отца Эдуард унаследовал черты лица и музыкальность, от матери — склонность к меланхолии. Позднее Эдуард увлекся искусством — писал стихи. Он хотел стать психиатром и изучал медицину, но цели своей не достиг», и добавляет: «Эйнштейн довольно скоро заметил у младшего сына признаки раннего слабоумия. После многих злоключений Эдуард попал в цюрихскую лечебницу, где и умер в 1965 г.». (Примеч. перев.)

 

[56] Название «броуновское» относится к числу традиционно установившихся терминов, и лишь немногие говорят (и почти никто не пишет) «брауновское». (Примеч. перев.)

 

[57] Закон броуновского движения Эйнштейна был экспериментально подтвержден в 1908 году Ж. Перреном. (Примеч. перев.)

 

[58] Здесь и далее изложение грешит смешением двух понятий. При сдвигах или поворотах, о которых только что говорилось, как и при сдвигах по времени (изменениях «начального» момента), уравнения Максвелла — «недавно открытые законы электричества и магнетизма» — сохраняют свой вид, причем довольно банальным образом. Интересные же явления — такие как вовлечение времени в преобразования — начинают происходить при движении одного наблюдателя относительно другого. Математически уравнения Максвелла и законы Ньютона обладают разными симметриями — преобразованиями, которые надо сделать для согласования описаний, получаемых двумя наблюдателями, движущимися друг относительно друга с постоянной скоростью. Суть проблемы в том, что уравнения Максвелла сохраняют свой вид для всех таких наблюдателей, если соответствующие преобразования другие , чем в ньютоновской механике. Об этом будет явно сказано дальше. (Примеч. перев.)

 

[59] Верно , если для согласования описаний в разных инерциальных системах отсчета применять не ньютоновские преобразования. Проблема состояла именно в наличии двух разных симметрий. (Примеч. перев.)

 

[60] Симметрии уравнений Максвелла были известны до Эйнштейна. Также до Эйнштейна делались разнообразные попытки примирить эти симметрии с симметриями ньютоновской механики. Ключевой шаг, сделанный Эйнштейном, состоял в провозглашении того физического принципа, что это примирение не требуется, поскольку ньютоновская механика перестает быть верной при больших скоростях движения. (Примеч. перев.)

 

[61] Чуть меньше, чем 300 000 километров в секунду. (Примеч. перев.)

 

[62] «Истинная теория» в данной фразе ничего не значит. Принцип эквивалентности верен локально (т.е. в малом). Именно таков фундаментальный постулат эйнштейновской теории гравитации. (Примеч. перев.)

 

[63] Ошибка автора. Скорость изменения здесь ни при чем. Тензор Эйнштейна пропорционален тензору энергии-импульса, и все. Кстати, тензор Эйнштейна — это «почти» упоминавшийся выше тензор Риччи, отсюда и его связь с кривизной, упомянутая в следующей фразе. (Примеч. перев.)

 

[64] Чуть выше речь шла о свете, а теперь — об электромагнитном излучении. Эти слова в данном контексте надо воспринимать как синонимы. (Примеч. перев.)

 

[65] Бессмыслица. Постоянная Планка очень мала, но минус тридцать четвертая степень определяется тем, в каких единицах она выражается. Например, если вместо джоулей использовать килоджоули, то показатель степени будет равен не −34, а −37. А если вместо секунд использовать часы, то величина постоянной Планка будет выражаться числом, в 3600 раз большим. Пожалуй, в данном абзаце верно лишь то бесспорное утверждение, что да, постоянная Планка чрезвычайно мала по сравнению со всеми измеряемыми в джоуль-секундах величинами, с которыми мы обычно сталкиваемся. (Об этих величинах говорят как о макроскопических .) (Примеч. перев.)

 

[66] Фотоэффект есть испускание веществом электронов под действием света. (Прим. перев.)

 

[67] Несколько перегруженное высказывание. Речь может идти об уровнях энергии в самом атоме водорода; спектр же — то есть излучаемые атомом волны определений длины — есть лишь свидетельство об этих уровнях энергии (или способ экспериментального доступа к ним). (Примеч. перев.)

 

[68] Дон — преподаватель, член совета колледжа в Кембридже или Оксфорде. (Примеч. перев.)

 

[69] Быть может, уместно напомнить, что Республика Ирландия (столица — Дублин; англ. Dublin, ирл. Baile Átha Cliath) придерживалась нейтралитета во Второй мировой войне. (Примеч. перев.)

 

[70] Будем считать, что под шредингеровскими волнами понимаются решения уравнения Шредингера. Как указывал автор, это уравнение играет фундаментальную роль в квантово-механическом описании материи, однако это описание носит не вполне непосредственный характер, а потому имеются вопросы (обсуждаемые до сих пор) о том, «что же значат» эти решения «сами по себе», то есть об их интерпретации. (Прим. перев.)

 

[71] Кот помещен в закрытый ящик, где имеется механизм, содержащий радиоактивное ядро и емкость с ядовитым газом. Вероятность распада ядра в течение часа составляет 50%. Если ядро распадается, то открывается емкость с газом и кот умирает. Согласно квантовой механике, пока над ядром не производится наблюдения, его состояние описывается суперпозицией двух состояний — распавшегося ядра и нераспавшегося ядра, следовательно, кот в ящике и жив, и мертв одновременно. Но, когда ящик открывают, экспериментатор увидит только какое-нибудь одно конкретное состояние — «ядро распалось, кот мертв» или «ядро не распалось, кот жив». Когда  же кот умирает? См. также:

http://ru.wikipedia.org/wiki/Koт_Шpёдингep. (Примеч. перев.)

 

[72] Квантово-механическая сложность при описании микроскопических частиц состоит в том, что частица (скажем, электрон) обладает или определенной координатой, или определенной скоростью (см. о принципе неопределенности ниже). Кот же, как мы знаем, обладает этими двумя характеристиками одновременно. (Примеч. перев.)

 

[73] Т.е. те самые числа, которые и составляют список (лучше — таблицу), называемый матрицей. (Примеч. перев.)

 

[74] Об экспедиции Эддинггона говорилось в главе 11. «Популяризировал» теорию относительности именно Эддингтон. Измерения же в Собрале оказались как раз ближе к предсказанию ньютоновской теории, однако эти данные были отвергнуты из-за обнаруженного в телескопах дефекта. (Примеч. перев.)

 

[75] Матрицы можно перемножать друг с другом определенным способом, который снова дает матрицу и при этом обобщает умножение чисел в том смысле, что если матрицы состоят из одного-единственного числа каждая, то умножение совпадает с обычным умножением; но в общем случае результат произведения двух матриц, в отличие от произведения чисел, зависит от порядка сомножителей. (Примеч. перев.)

 

[76] Мир, в котором все частицы были бы безмассовыми (подобно фотону), был бы более симметричен , чем мир с массивными частицами. К тому же массы элементарных частиц порой различаются достаточно сильно — для чего тоже хотелось бы найти какую-нибудь причину. (Примеч. перев.)

 

[77] Лавочный мост (Krämerbrücke), Зеленый мост (Grüne Brücke), Рабочий мост (Koettelbrücke), Кузнечный мост (Schmiedebrücke), Деревянный мост (Holzbrücke), Высокий мост (Hohe Brücke) и Медовый мост (Honigbrücke). (Примеч. перев.)

 

[78] В письме Калуце от 21 апреля 1919 года Эйнштейн подтвердил, что несколько дней назад получил его статью. 29 мая 1919 года Эйнштейн написал Калуце письмо с пожеланием, чтобы тот устранил некоторые неясности в своей объединенной теории, и посоветовал направить работу для публикации в Mathematische Zeitschrift, предложив, кроме того, «замолвить слово» перед редакторами этого журнала. Калуца занялся тем, на что указал Эйнштейн, но в конце концов оставил эти попытки, признав, что не может полностью прояснить проблему, и в окончательном варианте статьи отозвался о ней как о «серьезной трудности». (Примеч. перев.)

 

[79] Не будем забывать, что электромагнетизм требует шести чисел в каждой точке пространства. Если в данной точке эти числа такие-то, то в соседней, вообще говоря, уже другие. Поэтому электромагнетизм — как и всякая теория поля — требует бесконечного числа переменных. (Примеч. перев.)

 

[80] Постоянная Планка и так называемая планковская длина измеряются в различных единицах, а потому их нельзя непосредственно сравнивать. (Постоянная Планка измеряется в Дж/с, а планковская длина, как и полагается длине, в метрах.) Планковская длина, однако, «содержит» в себе постоянную Планка: она построена из фундаментальных физических констант (самой постоянной Планка, а также скорости света и гравитационной постоянной) таким образом, чтобы получилась именно длина. Известные численные значения фундаментальных констант и дают значение 10^−35 м. «Малость» этой величины определяется в том числе и малостью постоянной Планка. (Примеч. перев.)

 

[81] Если не считать осложнений с той последней, пятнадцатой, компонентой, оставшейся неучтенной (см. выше). Ее некуда было пристроить. (Примеч. перев.)

 

[82] Наука не стоит на месте. Есть — и используются — также симметрии с более хитрой алгебраической структурой. (Примеч. перев.)

 

[83] Квантовая электродинамика, как видно уже из названия, соединяет в себе идею о квантовании и электродинамику. Про теорию относительности она ничего нового не говорит, поскольку «относительность» уже встроена внутрь максвелловской (т.е. неквантовой, классической) электродинамики именно в виде симметрии относительно группы Лоренца, о которой говорится в следующем абзаце. В классической электродинамике имеются и Лоренцева, и калибровочная симметрии. Задача квантовой электродинамики, повторимся, состояла в перенесении описания электромагнетизма (с сохранением данных симметрий) в квантовую область. (Примеч. перев.)

 

[84] Серьезная путаница. При калибровочных преобразованиях фаза световой (электромагнитной) волны остается неизменной. Фазовые преобразования в электродинамике относятся не к свету, а к полю, описывающему частицы, которые излучают и поглощают свет (например, электроны и позитроны). Имеющуюся в этом поле «фазу» роднит с фазой электромагнитной волны лишь название. Смысл же калибровочной инвариантности состоит в том, что если в каждой точке пространства произвольным образом изменить фазу электрон-позитронного поля, то найдется компенсирующее преобразование электромагнитного поля. (Этот факт не  может, кроме того, следовать из аргументов, неожиданно привлекающих к рассмотрению галактику Андромеда.) (Примеч. перев.)

 

[85] Квантовая хромодинамика сама по себе не является какой-либо объединенной теорией. Она описывает сильные взаимодействия. (Примеч. перев.)

 

[86] Все же атомы представляют собой единое целое благодаря электромагнитному  притяжению между электронами и находящимися в ядре протонами. Атомные ядра существуют — являются стабильными или квазистабильными образованиями — благодаря сильным взаимодействиям между протонами и нейтронами. Деление ядер высвобождает часть энергии сильных взаимодействий, которые в случае реализации цепной реакции имеют в качестве довольно непосредственных проявлений атомную бомбу и Солнце. (Примеч. перев.)

 

[87] Около 10^−18 м, что примерно в 1000 раз меньше диаметра атомного ядра . Для «истории симметрии» может показаться интересным, что при ядерных превращениях, обусловленных слабым взаимодействием, нарушается зеркальная симметрия — симметрия между правым и левым. (Примеч. перев.)

 

[88] Сама идея о «размазанности» электрона — это уже интерпретация некоторого квантово-механического факта, имеющего отношение к вероятности. А не наоборот. (Примеч. перев.)

 

[89] Речь идет главным образом об атомных ядрах, а не о самих атомах. (Примеч. перев.)

 

[90] Это обсуждалось в главе 12. (Примеч. перев.)

 

[91] «Нечетные» — частицы со спином, выражающимся как нечетное кратное спина электрона; «четные» — со спином, выражающимся как четное кратное спина электрона. (Примеч. перев.)

 

[92] Часть фразы про отрицательные спины лучше всего полностью проигнорировать. (Примеч. перев.)

 

[93] Шифрованный роман Джеймса Джойса. (Примеч. перев.)

 

[94] Подразумевается, что кварки участвуют в сильном взаимодействии. Причина же, по которой кварк и антикварк не аннигилируют, состоит вовсе не в этом, а просто в том, что складывающиеся из них частицы включают кварки и антикварки другого аромата, которые просто не являются античастицами друг для друга, а потому и не аннигилируют. (Примеч. перев.)

 

[95] Т.е. целыми кратными заряда электрона (или, что то же с точностью до знака, протона). (Примеч. перев.)

 

[96] Ясно, что Вселенная может быть «заполнена» лишь дальнодействующими полями, т.е. теми, у которых большой («бесконечный») радиус действия. (Примеч. перев.)

 

[97] Электрон, мюон и тау-лептон, а также электронное («обычное») нейтрино, мюонное нейтрино и тау-нейтрино не складываются из кварков. (Примеч. перев.)

 

[98] Описание в терминах кварков и глюонов (оно относится к частицам, участвующим в сильном взаимодействии) известно как квантовая хромодинамика. Стандартная Модель помимо квантовой хромодинамики опирается и на другие идеи, главная из которых — спонтанное нарушение симметрии. Поле, которое должно участвовать в этом процессе — так называемое поле Хиггса, — возможно, будет обнаружено на Большом адронном коллайдере к тому времени, как эта книга доберется до читателя. (Примеч. перев.)

 

[99] Конечно, в зависимости от того, что понимается под законами. Например, электрический заряд up-кварка равен ²/₃, а down-кварка — −¹/₃. Электромагнитное взаимодействие заведомо не будет «работать по-прежнему» после замены одного на другой. (Примеч. перев.)

 

[100] Группа SU(1) состоит из единственного элемента — единицы — и поэтому совершенно не интересна. Группа же U(1) содержит бесконечно много элементов (правда, закон умножения в ней коммутативен, что и есть причина ее отсутствия в списке простых групп Ли). (Примеч. перев.)

 

[101] Вомбаты — семейство двурезцовых сумчатых; это роющие норы травоядные животные, внешне напоминающие маленьких медведей. (Примеч. перев.)

 

[102] Состоящая из ионов — атомов, от которых отделено некоторое число их электронов — и самих этих электронов по отдельности. (Примеч. перев.)

 

[103] Цель гиббсовских лекций — «предоставить широкой публике и научной общественности возможность ознакомиться с вкладом математики в современное мышление и цивилизацию». (Примеч. перев.)

 

[104] Многочлены Джонса были изобретены в 1983 году В. Джонсом. Виттен вывел их из «квантовой теории поля», что позволило построить дальнейшие, далеко идущие обобщения. (Примеч. перев.)

 

[105] Яу Шинтан, или Цю Чентун. (Примеч. перев.)

 

[106] Но, разумеется, не преобразованием симметрии пробки. (Примеч. перев.)

 

[107] Увы, вычисления приходится выполнять дважды. Приз же состоит в том, что полная теория — с учетом и бозонов, и фермионов — обладает значительно улучшенными свойствами по сравнению с каждой из своих «половинок». (Примеч. перев.)

 

[108] Сама по себе суперсимметрия прекрасна настолько, что массы частицы и отвечающей ей суперчастицы с неизбежностью равны. Большие значения масс счастиц определяются не самой суперсимметрией, а тем, как она нарушена в реальном мире, точнее — в Стандартной Модели и ее обобщениях. (Примеч. перев.)

 

[109] О них говорится в главе 13. (Примеч. перев.)

 

[110] Адроны — частицы, участвующие в сильных взаимодействиях, и только они. (Примеч. перев.)

 

[111] Все, которые там постоянно живут. (Примеч. перев.)

 

[112] Об этом говорилось в главе 13. (Примеч. перев.)

 

[113] Здесь и далее: размерность 26 относится к струне без суперсимметрии, о которой говорилось выше; она же — только что появившаяся в тексте бозонная струна.  Струна «с модификациями», для которой существенна размерность 10, — это суперструна в том или ином ее описании. «Волшебная» размерность 26 для бозонной струны была открыта в начале 70-х годов, причем не Грином и Шварцем; вскоре вслед за тем была найдена и размерность 10 для суперструны. Аномалия же Грина-Шварца (1984) не выделяет какую-либо размерность (все действие уже разворачивается в размерности 10); условие ее непоявления выделяет группы  SO(32) и E ₈×E ₈, о которых говорится чуть ниже. (Примеч. перев.)

 

[114] Не стоит забывать, что многообразие Калаби-Яу имеет размерность шесть , что, конечно, невероятно трудно выразить на рисунке. (Примеч. перев.)

 

[115] В малой своей части. (Примеч. перев.)

 

[116] «Начало» одной косы к «концу» другой. (Примеч. перев.)

 

[117] Энергия, в отличие от числа комбинаций, должна, конечно, измеряться в каких-то единицах (аналогичным образом бессмысленно утверждение, что вы ехали «со скоростью 100», пока не сказано, о каких единицах идет речь). В тексте говорится в действительности даже не об энергии, а о «космологической постоянной» λ  ≈ 10^−120 M _Pl4, для которой в качестве единицы измерения здесь выбрана четвертая степень величины M _Pl = 4,34 мкг (мкг — микрограммы, то есть миллионные доли грамма). (Примеч. перев.)

 

[118] 11-мерных суперструн не бывает (это же видно из перечисления теорий струн, приведенного в главе 14); в 11-мерном пространстве живет суперсимметричное обобщение эйнштейновской теории гравитации, которое наряду с суперструнами должно некоторым образом включаться в пока еще не созданную M-теорию (не  являющуюся в буквальном смысле теорией струн). Эта 11-мерная супергравитация будет упомянута в самом конце настоящей главы. (Примеч. перев.)

 

[119] Если речь идет об алгебрах Ли. Для групп Ли соответствующее условие выглядит по-другому. (Примеч. перев.)

 

[120] Не удержимся и приведем магический квадрат в явном виде, но без дополнительных пояснений, за исключением того, что здесь фигурируют не группы, а алгебры Ли. (Прим. перев.)

 

[121] Следует читать «в 3-, 4-, 6- и 10-мерных пространствах». (Примеч. перев.)

 

[122] Трудно согласиться. Помимо формулировки своего уравнения Дирак заложил основы теории квантования систем со связями в рамках гамильтоновой механики. Его небольшая книга на эту тему с неброским названием «Лекции по квантовой механике», вышедшая в 1966 году, вводит ряд концепций и понятий. Среди них — фундаментальная конструкция, которую вскоре стали повсеместно называть скобкой Дирака. Она, без сомнения, изящна в той же мере, в какой эффективна и востребована. (Гамильтоново квантование систем со связями — фундаментальный подход к построению квантовых калибровочных теорий поля, лежащих в основе современной картины микромира.) (Примеч. перев.)

 

---

Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 103; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!