Расстроенный врач и больной гений 9 страница
В 1801 году, после огорчительной задержки в типографии, Disquisitiones Arithmeticae наконец вышла с изобильным и, без сомнения, искренним посвящением герцогу Фердинанду. Щедрость герцога не иссякла, даже когда Карл закончил университет. Фердинанд оплатил расходы, необходимые для издания с соблюдением всех необходимых требований диссертации Гаусса, представленной им в университете Хельмштедта. А когда Карл обеспокоился своим материальным положением после окончания университета, герцог определил ему пособие, позволявшее продолжать исследования, не слишком заботясь о деньгах.
Заслуживает упоминания и такая сторона Disquisitiones Arithmeticae , как ее бескомпромиссный стиль. Доказательства написаны очень тщательно и логически безупречно, однако изложение не делает читателю никаких поблажек и не дает подсказок насчет интуитивных соображений, стоящих за той или иной теоремой. Позднее Гаусс оправдывал такую позицию (которой он придерживался на протяжении всей своей карьеры) тем, что «когда строительство прекрасного здания закончено, окружавших его лесов больше не должно быть видно». Это прекрасно, если цель состоит исключительно в том, чтобы люди любовались зданием. Но не так уж прекрасно, если есть желание научить их строить самостоятельно. Карл Густав Якоб Якоби, работы которого по комплексному анализу основаны на идеях Гаусса, сказал о своем прославленном предшественнике, что «он как лис, который хвостом заметает свои следы на песке».
|
|
|
Приблизительно в то время математики постепенно подходили к осознанию того факта, что, хотя комплексные числа кажутся искусственным образованием, а их интерпретация туманна, использование их намного упрощает алгебру, позволяя решать уравнения единообразным способом. Изящество и простота — пробный камень математики, и новаторские концепции, сколь бы странными они сначала ни казались, имеют тенденцию в конце концов брать верх, если они способствуют сохранению изящества и простоты предмета.
Если работать только с традиционными «вещественными» числами, то уравнения ведут себя раздражающе беспорядочным образом. Уравнение x 2 − 2 = 0 имеет два решения — плюс или минус квадратный корень из двух, — но очень похожее уравнение x 2 + 1 = 0 вообще не имеет решений. Однако это уравнение имеет два решения в комплексных числах: i и −i . Символ i для обозначения √−1 был введен Эйлером в 1777 году, но появился в печати лишь в 1794-м. Теорию, выраженную лишь в терминах «вещественных» уравнений, загромождают исключения и необходимость педантичного разграничения различных случаев. Аналогичная теория комплексных уравнений оставляет в стороне все эти сложности за счет того, что с самого начала предлагается купить оптом одно-единственное усложнение — позволить комплексным числам появляться наравне с вещественными.
|
|
|
К 1750 году идеи, вызванные к жизни итальянскими математиками эпохи Возрождения, достигли зрелости и замкнутости. Предложенные методы решения кубики и квартики воспринимались как естественные обобщения вавилонского решения квадратных уравнений. В достаточных подробностях была разработана связь между радикалами и комплексными числами, причем было осознано, что в этом расширении обычной числовой системы у числа имеется не один кубический корень, а три; не один корень четвертой степени, а четыре; не один корень пятой степени, а пять. Ключом к пониманию того, откуда берутся эти новые корни, стало прекрасное свойство «корней из единицы», то есть корней n- й степени из числа 1. Эти корни образуют вершины правильного n- угольника в комплексной плоскости[19], одна вершина которого лежит в точке 1. Остальные корни из единицы располагаются на равных расстояниях вдоль окружности единичного радиуса с центром в точке 0. На рисунке показано расположение корней пятой степени из единицы.
|
|
|
В более общем виде, если дан любой конкретный корень пятой степени из некоторого числа, то можно получить еще четыре, умножая его на q, q 2, q 3 и q 4[20]. Эти числа также располагаются по окружности с центром в 0. Например, корни пятой степени из 2 показаны на рисунке справа.
Слева: корни пятой степени из единицы в комплексной плоскости.
Справа: корни пятой степени из двух.
Все это очень мило, но здесь же содержится намек на нечто гораздо более глубокое. Корни пятой степени из 2 можно рассматривать как решения уравнения x 5 = 2. Это уравнение пятой степени, и у него пять комплексных решений, причем только одно из них вещественно. Аналогичным образом уравнение x 4 = 2 имеет четыре решения (все корни четвертой степени из 2), уравнение на корни 17-й степени из 2 имеет 17 решений и так далее. Не обязательно быть гением, чтобы подметить правило: число решений равно степени уравнения.
То же самое, как представлялось, выполняется не только для уравнений на корни п- й степени, но и вообще для любого алгебраического уравнения . Математики пребывали в убеждении, что в области комплексных чисел каждое уравнение имеет ровно столько решений, какова степень уравнения. (Технически это утверждение верно, только когда решения подсчитываются с учетом их «кратностей». Если это соглашение не использовать, то число решений равно степени уравнения или меньше ее.) Эйлер доказал это свойство для уравнений степеней 2, 3 и 4 и утверждал, что аналогичные методы будут работать и в общем случае. Его идеи выглядели правдоподобно, но заполнение пробелов в намеченной им схеме доказательства оказалось практически невозможным, и даже сегодня требуются серьезные усилия, чтобы довести метод Эйлера до логического конца. Тем не менее математики предполагали, что если они решают уравнение некоторой степени, то следует ожидать появления в точности стольких корней, какова эта степень.
|
|
|
По мере того как Гаусс развивал свои идеи в теории чисел и анализе, его все менее и менее удовлетворяло то, что никто не доказал это предположение. Характерно, что в конце концов он сам предложил доказательство. Оно было сложным и на удивление непрямым: любой квалифицированный математик мог убедиться в его верности, но никто не мог сообразить, как же Гаусс до него додумался. Математический лис мстительно вилял хвостом.
В переводе с латыни заглавие диссертации Гаусса звучало как «Новое доказательство, что каждую рациональную целую функцию одного переменного можно разложить на вещественные множители первой или второй степени». Если пробиться через профессиональные термины, принятые в то время, то заглавие утверждает, что каждый многочлен (с вещественными коэффициентами) равен произведению выражений, представляющих собой линейные или квадратичные многочлены.
Гаусс использовал слово «вещественные», чтобы ясно показать: он работает в рамках традиционной числовой системы, в которой отрицательные величины не имеют квадратных корней. В наши дни мы бы выразили теорему Гаусса в логически равносильном, но более простом виде: каждый вещественный многочлен степени n имеет n вещественных или комплексных корней. Но Гаусс тщательно подбирал выражения таким образом, чтобы его работа не опиралась на все еще несколько сбивающую с толку систему комплексных чисел. Комплексные корни вещественного многочлена всегда можно собрать в пары, что приводит к вещественным квадратичным множителям, а линейные множители отвечают вещественным корням. Сформулировав заглавие в терминах множителей этих двух типов («множители первой или второй степени»), Гаусс обошел стороной спорный вопрос о комплексных числах.
Одно слово в заглавии не оправданно: «новое» предполагает, что имеются «старые» доказательства. Гаусс дал первое строгое доказательство этой фундаментальной теоремы в алгебре. Но чтобы не обижать прославленных предшественников, утверждавших, что у них имелись доказательства — которые все оказались ошибочными, — Гаусс представил свое выдающееся достижение как всего лишь самое свежее доказательство, опирающееся на новые (то есть правильные) методы.
Эта теорема получила известность как Основная Теорема Алгебры. Гаусс считал ее настолько важной, что дал в общей сложности четыре доказательства, причем последнее — когда ему было 70 лет. Лично он не испытывал никаких колебаний или сомнений по поводу комплексных чисел: они играли значительную роль в его мыслительном процессе, и впоследствии он сформировал собственное объяснение их смысла. Однако он старался избегать разногласий. С годами он стал замалчивать многие из своих оригинальных идей — неэвклидову геометрию, комплексный анализ и строгий подход к комплексным числам, — потому что не хотел вызывать то, что он называл «плачем беотийцев».
Гаусс не ограничивался чистой математикой. В начале 1801 года итальянский священник и астроном Джузеппе Пьяцци открыл новую планету или то, что ему представлялось планетой, — тусклое пятно света в телескопе, от ночи к ночи менявшее свое положение на фоне звезд, что было верным признаком принадлежности тела к Солнечной системе. Планете должным образом дали имя Церера[21], но на самом деле это оказался астероид — первый открытый астероид в истории. Не успел Пьяцци обнаружить новый мир, как тут же потерял его в блеске Солнца. Он сумел сделать так мало наблюдений, что астрономы не могли вычислить орбиту нового тела и беспокоились, что не найдут его, когда оно снова выйдет из-за Солнца.
Это была задача, достойная Гаусса, и он охотно за нее взялся. Он изобрел улучшенные способы определения орбит исходя из малого числа наблюдений и предсказал, где должна появиться Церера. Когда так и произошло, молва о Гауссе распространилась повсеместно. Путешественник и естествоиспытатель Александр фон Гумбольдт попросил Пьера-Симона де Лапласа — специалиста по небесной механике — назвать величайшего математика в Германии и получил ответ: «Пфафф». Когда недоумевающий Гумбольдт спросил: «А Гаусс?» — Лаплас ответил: «Гаусс — величайший математик в мире».
К сожалению, новоявленное светило отвлекло его от чистой математики на длинные вычисления для расчета орбиты, что можно было считать растратой его неординарных способностей. Не в том дело, что небесная механика не важна, — просто эту работу могли бы проделать и другие, менее талантливые математики. С другой стороны, из-за этого его дальнейшая жизнь полностью устроилась. Гаусс уже некоторое время искал постоянное место работы, которое оставляло бы возможность для общественного служения, с тем чтобы отдать должное своему покровителю — герцогу. Его работа о Церере привела к тому, что он стал директором Геттингенской обсерватории, и этот пост он занимал всю свою научную жизнь.
В 1805 году он женился на Иоанне Остхофф. В письме к Бойяи он так описывал свою новую жену: «Прекрасное лицо Мадонны, зерцало мира и здоровья, нежные, несколько мечтательные глаза, безупречная фигура — это одна сторона; яркий ум и развитая речь — это другая; но мягкая, безмятежная и целомудренная душа ангела, не причиняющая зла ни одному созданию, — это лучшее». Иоанна родила ему двоих детей, но в 1809 году умерла при родах, и убитый горем Гаусс «закрыл ее ангельские глаза, в которых я видел свой рай последние пять лет». Он начал страдать от одиночества, впал в депрессию, и жизнь уже никогда не была для него прежней. Он нашел новую жену — лучшую подругу Иоанны Минну Вальдек, но брак был не самым счастливым, несмотря на рождение еще троих детей. Гаусс постоянно спорил с сыновьями, а дочерям указывал, что им следует делать, и молодым людям настолько надоело это терпеть, что они уехали из Европы в Соединенные Штаты, где в дальнейшем преуспели.
Вскоре после начала своего директорства в Геттингене Гаусс вернулся к старой идее — возможности нового типа геометрии, которая удовлетворяла бы всем эвклидовым аксиомам, кроме аксиомы о параллельных прямых. В конце концов он пришел к убеждению, что логически непротиворечивые неэвклидовы геометрии возможны, но так и не опубликовал свои результаты из опасений, что их сочтут слишком радикальными. Янош Бойяи — сын его старого друга Вольфганга — позднее сделал аналогичные открытия, но Гаусс не счел возможным похвалить его работу, потому что сам предвосхитил многое из сделанного им. Еще некоторое время спустя, когда Николай Иванович Лобачевский независимо переоткрыл неэвклидову геометрию, Гаусс сделал его членом-корреспондентом Геттингенской Академии, но опять не высказал никакого публичного одобрения.
Годы спустя, по мере того как математики более подробно изучили эти новые геометрии, их стали интерпретировать как геометрии «геодезических» — кратчайших — путей на искривленных поверхностях. Если поверхность имеет постоянную положительную кривизну, как сфера, то геометрия называется эллиптической. Если кривизна постоянна и отрицательна (поверхность в каждой своей точке по форме напоминает седло), то это гиперболическая геометрия. Эвклидова геометрия соответствует нулевой кривизне — плоскому пространству. Эти геометрии можно охарактеризовать их метрикой — формулой для расстояния между двумя точками.
Эти идеи могли привести Гаусса к более общему исследованию искривленных поверхностей. Он вывел прекрасную формулу для величины кривизны и доказал, что она дает один и тот же результат в любой системе координат. В такой формулировке кривизна не обязательно должна быть постоянной: она может изменяться от точки к точке.
В зрелом возрасте Гаусс обратился к практическим применениям — вещь, нередкая среди математиков. Он консультировал несколько землемерных проектов, самым большим из которых была триангуляция области Ганновера. Он активно участвовал в полевых работах, а потом анализировал данные. Для облегчения этих работ он изобрел гелиотроп — прибор для обмена сигналами в отраженном свете. Но когда его стало подводить сердце, он прекратил занятия геодезией и решил провести оставшиеся годы в Геттингене.
В тот несчастливый для Гаусса период молодой норвежец по имени Абель написал ему о невозможности решения уравнения пятой степени в радикалах, но не получил ответа. Вероятно, Гаусс был слишком подавлен даже для того, чтобы взглянуть на статью.
Около 1833 года Гаусс заинтересовался магнетизмом и электричеством. Совместно с физиком Вильгельмом Вебером он работал над книгой, озаглавленной «Общая теория земного магнетизма», которая вышла в 1839 году. Они также изобрели телеграф, связавший Гауссову обсерваторию с физической лабораторией, где работал Вебер, но провода непрерывно рвались, и другие изобретатели предложили более практичный проект. Вебера выгнали из Геттингена вместе с шестью другими учеными из-за их отказа принести присягу новому королю Ганновера Эрнсту Августу. Гаусса это сильно расстроило, но его политический консерватизм и нежелание «поднимать волну» не позволили ему выступить с каким-либо публичным протестом, хотя в кулуарах он и пытался поддержать Вебера.
В 1845 году Гаусс написал докладную записку по поводу пенсионного фонда для вдов геттингенских профессоров, в котором проанализировал возможное влияние резкого увеличения числа членов фонда. Он вкладывал деньги в правительственные фонды и железнодорожные акции и составил порядочное состояние.
После 1850 года, страдая от проблем с сердцем, Гаусс сократил объем работы. Для нашего рассказа наиболее важным событием этого времени была Habilitation , диссертация его ученика Георга Бернхарда Римана. (В немецкой академической системе эта диссертация — вторая степень после кандидатской[22].) Риман обобщил работу Гаусса о поверхностях в многомерных пространствах, которые он назвал многообразиями. В частности, он расширил концепцию метрики и нашел формулу для кривизны многообразия. По существу, он создал теорию искривленных многомерных пространств. Позднее эта идея оказалась основополагающей для работ Эйнштейна по гравитации.
Гаусс, за которым теперь постоянно присматривал врач, посетил публичную лекцию Римана по этому вопросу и был глубоко впечатлен. По мере того как его здоровье ухудшалось, он проводил все больше времени в постели, но продолжал писать письма, читать и управлять своим капиталом. В начале 1855 года Гаусс мирно скончался во сне. Это был величайший в мире математический ум из всех известных.
Глава 6
Расстроенный врач и больной гений
Первый значительный шаг вперед после «Великого искусства» Кардано был сделан примерно в середине восемнадцатого столетия. Хотя математики Возрождения научились решать уравнения третьей и четвертой степеней, их методы, по существу, сводились к ряду трюков. Каждый такой трюк успешно работал, но, как представлялось, скорее из-за серии совпадений, нежели по какой-либо систематической причине. Изучить и окончательно обосновать эту причину около 1770 года удалось двум математикам — Жозефу-Луи Лагранжу, уроженцу Италии, всегда считавшему себя французом, и Александру-Теофилу Вандермонду — французу вне всякого сомнения.
Вандермонд родился в Париже в 1735 году. Отец хотел, чтобы он стал музыкантом, и Вандермонд достиг совершенства в игре на скрипке и ступил на путь музыкальной карьеры, но в 1770 году заинтересовался математикой. Его первая математическая публикация была посвящена симметричным функциям корней многочлена — алгебраическим формулам типа суммы всех корней, которые не меняются, если корни поменять местами. Наиболее оригинальной частью его работы было доказательство, что уравнение xn − 1 = 0, связанное с правильным п- угольником, можно решить в радикалах, если n меньше или равно 10. (На самом деле оно разрешимо в радикалах для любого n .) Великий французский аналитик[23] Огюстен-Луи Коши позднее ссылался на Вандермонда как на первого, кто осознал, что к задаче решения уравнений в радикалах можно применить симметрические функции.
В руках Лагранжа эта идея стала отправной точкой для атаки на все алгебраические уравнения.
Лагранж родился в итальянском городе Турине[24] и был наречен Джузеппе Лодовико Лагранджиа. Семья имела французские корни: прадед сначала был капитаном французской кавалерии, а потом переехал в Италию и поступил на службу к герцогу Савойскому. Еще в ранней молодости Джузеппе начал писать свою фамилию как «Лагранж», в качестве имени при этом используя Лодовико или Луиджи. Его отец был казначеем в Министерстве общественных работ и укреплений в Турине; мать Тереса Гроссо была дочерью врача. Лагранж был первым из их одиннадцати детей, лишь двоим из которых довелось дожить до зрелых лет.
Семья относилась к высшим слоям итальянского общества, однако в результате некоторых неудачных вложений Лагранжи оказались практически разорены. Было решено, что молодой Лагранж будет изучать право, и он поступил в Туринский университет. Ему нравились право и классические предметы, а математические занятия, на которых в основном преподавалась эвклидова геометрия, наводили на юношу тоску. Однако попавшаяся ему как-то раз книга по алгебраическим методам в оптике, написанная английским астрономом Эдмондом Галлеем, самым решительным образом переменила его мнение о математике. Лагранж направился по пути, который и стал определяющим в его ранних исследованиях, — применение математики к механике и в особенности к небесной механике.
Он женился на своей кузине Виттории Конти. «Моя жена, приходящаяся мне кузиной (и даже жившая в течение долгого времени в нашем семействе), — прекрасная хозяйка и совершенно не требовательна», — писал он своему другу, также математику, Жану ле Рон д'Аламберу. Он также доверительно сообщал ему, что вообще не собирается иметь детей — так оно и вышло.
Лагранж занял должность в Берлине, написал много научных статей и несколько раз становился обладателем ежегодной премии Французской академии: в 1772 году он получил награду вместе с Эйлером, в 1774-м был удостоен ее за работу по динамике Луны, а в 1780-м — за работу о влиянии планет на орбиты комет. Другим его пристрастием была теория чисел. В 1770 году он доказал теорему, представляющую собой классику жанра, — теорему о четырех квадратах, согласно которой всякое положительное целое число представимо в виде суммы четырех квадратов. Например, 7 = 22 + 12 + 12 + 12, 8 = 22 + 22 + 02 + 02 и так далее.
Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 120; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!