Основные типы задач и методы их решения
ВВЕДЕНИЕ
Учебно-методическое пособие составлено в соответствии с программой курса "Техническая механика" для студентов специальности 030509 – "профессиональное обучение". "Техническая механика" – интегрированный курс, состоящий из логически взаимосвязанных разделов: "Сопротивление материалов", "Теория механизмов и машин" и "Детали машин".
В данном пособии рассматриваются основные типы задач по сопротивлению материалов. Они представлены в форме комплексных задач с общим условием и вариативностью схем и цифровых данных. Основное назначение пособия – формирование практических умений и навыков в решении задач. Пособие может быть использовано при подготовке к практическим занятиям, при решении контрольных и домашних расчётно-графических заданий.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
1. На первом этапе работы студент повторяет теоретический материал.
2. На втором этапе – знакомится с примерами, читает условие задачи и пытается решить ее самостоятельно соответствующим методом. Правильность решения задачи можно проверить, сравнив его с решением, приведённым в тексте. Если не удалось решить задачу самостоятельно, следует проработать решение по тексту.
3. На следующем этапе необходимо ответить на контрольные вопросы.
Для проведения контрольных работ предусмотрены задачи, составленные по многовариантной системе.
|
|
|
Вариант задания к каждой задаче и номер схемы выбираются из графы 2 таблиц (прил. 1-3) по первой букве фамилии (графа 1).
Исходные данные к схеме выбираются по первой букве имени из четной графы, по первой букве отчества – из нечетной графы.
Расчёты следует выполнять в системе единиц СИ.
Типы расчётов в курсе "Техническая механика"
(раздел "Сопротивление материалов")
1. Проверочный расчёт. Определение максимального нормального σmaxили касательного τmax напряжения и сравнение его с допускаемым напряжением [σ] или [τ]. Условие прочности: σmax ≤ [σ]; τmax ≤ [τ].
2. Проектный расчёт. Определение площади поперечного сечения элемента конструкции ( бруса, стержня, балки, вала ) из условия прочности.
3. Определение допускаемой нагрузки.
Типы задач
1. Расчёт бруса на растяжение и сжатие.
2. Расчёт на срез и смятие.
3. Определение геометрических характеристик сечений.
4. Расчёт вала на кручение.
5. Расчёт балок на изгиб.
6. Сложное сопротивление (расчёт элементов конструкций на совместное действие изгиба и кручения с использованием гипотез прочности).
7. Расчёт сжатых стержней на устойчивость.
Алгоритм решения задач
|
|
|
Процесс решения всех задач можно разделить на две части:
1) аналитическую – нахождение математической зависимости между искомыми величинами и выражение этих зависимостей в виде формул, т.е. алгебраическое решение задачи,
2) графическую – построение эпюр, т.е. графиков, дающих наглядное представление о законе изменения внутренних сил, напряжений и т. д. по всей длине элемента конструкции.
Для построения эпюры определяем участки нагружения. За границы участков принимаем: начало и конец бруса, точки приложения сосредоточенных сил и моментов, начало и конец распределённой нагрузки, сечения, в которых изменяется площадь (рис. 1).
Пользуясь методом сечений, определяем внутренние силовые факторы. Для этого проводим сечение через каждый участок нагружения (см. рис. 1), отбрасываем левую часть, заменяем действие отброшенной части на оставшуюся внутренними силами упругости, составляем уравнение равновесия статики:
∑ Pix = 0 ; N1 - P1 = 0; N1= P1 .
Внутренний силовой фактор в поперечном сечении бруса равен алгебраической сумме всех внешних сил или моментов сил, взятых по одну сторону от сечения в соответствии с принятым правилом знаков.
При растяжении (сжатии) продольная сила N = ∑ Pix; при кручении крутящий момент T = ∑ Mi , при изгибе поперечная силаQ = ∑ Piy, изгибающий моментMизг = ∑ M0 (Pi). Эпюры штрихуются линиями, строго перпендикулярными оси бруса.
|
|
|
І. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
Программа
Понятие о деформации растяжения и сжатия. Продольные силы и нормальные напряжения в поперечных сечениях бруса. Эпюры продольных сил и нормальных напряжений. Продольные и поперечные деформации. Закон Гука. Модуль продольной упругости. Коэффициент поперечной деформации. Перемещение поперечных сечений бруса. Работа внешних сил. Потенциальная энергия деформации.
Экспериментальное изучение механических свойств материалов. Виды механических испытаний. Диаграммы растяжения и сжатия пластичных и хрупких материалов. Механические характеристики материалов. Условная и истинная диаграммы растяжения. Краткие сведения о влиянии химического состава, температуры, времени и скорости нагружения, предварительного пластического деформирования (наклёпа) и термической обработки на механические свойства материалов. Местные напряжения. Коэффициент концентрации напряжений.
Допускаемые напряжения. Коэффициент запаса прочности. Основные факторы, влияющие на величину коэффициента запаса прочности. Расчёт на прочность при растяжении и сжатии. Виды расчётов на прочность. Примеры расчётов на прочность простейших деталей машин, работающих на растяжение и сжатие. Статически неопределимые задачи при растяжении и сжатии.
|
|
|
Основные типы задач и методы их решения
Расчёт бруса на растяжение и сжатие – первый тип задач в курсе "Сопротивление материалов". Здесь студенты впервые знакомятся с расчётами элементов конструкции на прочность, жёсткость и построением эпюр. Так как решение других типов задач аналогично этой, целесообразно рассмотреть последовательность расчёта на растяжение (сжатие) и построение эпюр более подробно.
Пример 1
Для заданного бруса из стали Ст.3: построить эпюру продольных сил, эпюру нормальных напряжений; определить коэффициент запаса прочности, нормальное и касательное напряжения на наклонной площадке опасного сечения, изменение длины бруса; построить эпюру перемещений поперечных сечений; закрепив свободный конец бруса неподвижно, определить реакции в опорах при заданной температуре и температурные напряжения, если: σт = 240 Н /мм2– предел текучести, Е = 2∙105 Н/мм2 – модуль продольной упругости, a = 30° – угол наклона площадки к опасному сечению.
Алгоритм решения
1. Заданный брус имеет три участка нагружения. Границами участков нагружения являются места приложения внешних сил и изменения размеров поперечного сечения. Пользуясь методом сечений, проведём произвольные сечения 1 – 1, 2 – 2, 3 – 3 (рис. 2), определим продольные силы упругости:
ΣР ix = 0
– N1 + P1 = 0 N1 = P1 = 30 кH;
– N2 – P2 + P1 = 0 ; N2 = – P2 + P1 = – 94 + 30 = – 64 кН;
– N3 + P3 – P2 + P1 = 0 ;
 |
– N3 = P3 – P2 + P1 = 24 – 94 + 30 = – 40 кH .
Строим эпюру продольных сил (эпюру N). Для этого, проведя ось абсцисс параллельно оси бруса, отложим в произвольно выбранном масштабе значения N по оси ординат: положительные (растяжение) – вверх, а отрицательные (сжатие) – вниз по оси (рис. 2, а).
2. Определим нормальные напряжения в поперечных сечениях бруса:
; 
;
;
.
Строим эпюру σ (рис. 2, б). Сечение 2-2 является опасным, так как в нем расчётное напряжение максимальное σ2 = σmax = – 160 МПа.
3. Определим коэффициент запаса прочности:
.
4. Нормальное напряжение на наклонной площадке определим по формуле
σa = σmax∙cos2a = –160∙cos2 30° = –160∙0,866 2 = –120 МПа .
Касательное напряжение τa = 0,5σmax sin2a = 0,5(–160)0,866 = –69,3 MПa.
Покажем направления напряжений σa , τa на наклонной площадке МL опасного сечения (рис. 3). При положительном значении σ (растяжение), вектор σα направлен от площадки ML. Для определения направления τa внешнюю нормаль n - n необходимо повернуть по часовой стрелке до совмещения ее с плоскостью площадки ML.
При отрицательном значении σ (сжатие), вектор σa направлен к площадке ML, а для определения направления τa – внешнюю нормаль n - n нужно повернуть по часовой стрелки до совмещения ее с плоскостью площадки ML.
5. Построение эпюры перемещений (эпюры λ) следует начинать от заделки А. Перемещение сечения А равно нулю (оно закреплено). Перемещение сечения В равно удлинению части АВ бруса.
.
Перемещение сечения С равно алгебраической сумме изменений длин участков АВ и ВС бруса.
Строим эпюру λ (рис. 2, в). Очевидно, λD – полное изменение длины бруса (в данном случае укорочение, так как λD – величина отрицательная).
6. Определим реакции в опорах при изменении температуры D t = 40°. Для этого закрепим оба конца стержня и составим уравнение равновесия статики:
∑ Piy = – RA – P3 + P2 + RD – P1= 0 .
Так как неизвестных два(RA и RD), а уравнение равновесия одно – система один раз статически неопределима. Отбросим нижнюю заделку и заменим её действие на брус реакцией RD (рис. 4). Получим статически определимый брус, для которого перемещение сечения D равно 0. Составим уравнение перемещений:
;
;
;
Увеличение длины при нагреве составит:
∆ lt = a ∆t l,
где a = 125×10-7 град-1 - температурный коэффициент линейного расширения для стали Ст.3.
∆ l t = 125×10-7× 40 × 0,9 = 0,00045 м .
Из уравнения перемещений получим ∆ lRD :
;
Следовательно,
RA = – P3 + P2 + PD – P3 = – 24 + 94 + 11,136 – 30 = 51,136 кH .
7. Определим температурные напряжения:
σt = E a ∆t = 2·105·125·10-7·30 = 100,00 Н/мм2
и сравним их с допускаемым: σt ≤ [σ], 100 Н/мм2 ≤ 160 Н/мм2. Для Ст.3 [σ] = = 160 Н/мм2.
Считаем прочность бруса достаточной для безопасной работы.
Контрольные задания даны в прил. 1.
Контрольные вопросы
1. Какой внутренний силовой фактор возникает в брусе при растяжении (сжатии)?
2. В чём заключается метод сечений? Для чего строят эпюры?
3. Перечислите основные правила построения и оформления эпюр и виды эпюр при растяжении (сжатии).
4. Какие напряжения возникают в поперечных и наклонных сечениях бруса при растяжении (сжатии)? Как они определяются?
5. Сформулируйте условие прочности и условие жёсткости при растяжении (сжатии).
6. Как определить направление напряжений на наклонной площадке бруса?
7. Как определить изменение длины бруса?
8. Для чего вводится коэффициент запаса прочности?
ІІ. СДВИГ. РАСЧЁТЫ НА СРЕЗ И СМЯТИЕ
Программа
Понятие о деформации чистого сдвига. Поперечная сила. Деформации и напряжения при сдвиге. Расчёт на прочность. Виды расчётов на прочность. Закон Гука при сдвиге. Связь между тремя постоянными упругости (без вывода). Примеры расчётов на прочность простейших деталей машин, работающих на сдвиг (срез) и смятие.
2. Основные типы задач и методы их решения
К расчётам на срез и смятие можно приступать после изучения тем "Растяжение и сжатие", "Сдвиг". В курсе сопротивления материалов на срез и смятие рассчитываются заклёпочные и болтовые соединения. Для студентов очень важно усвоить эту тему, так как она используется в курсе "Детали машин" при расчётах шпоночных, шлицевых, клиновых соединений и т. д.
Пример 2
Проверить прочность заклёпочного соединения (рис. 5), если допускаемые напряжения на срез [τср] = 100 Н/мм2 , на смятие [σсм] = 240 Н/мм2, на растяжение [σ] = 140 Н/мм2.
Алгоритм решения
Расчёт включает в себя проверку прочности заклёпок на срез, стенок отверстий в листах и накладках на смятие, листов и накладок на растяжение.
1. Проверка прочности заклёпок на срез выполняется по формуле
,
где Q – внутренний силовой фактор; τср – напряжение среза в плоскости рассчитываемого сечения; F – сила, передаваемая соединением; i - количество срезов (число соединяемых листов и накладок минус единица); n – количество соединительных деталей (при соединении внахлёстку учитываются все заклёпки, при соединении встык с накладками берётся число заклёпок по одну сторону стыка; принимается, что все соединительные элементы нагружены одинаково); Sср – площадь среза одного соединительного элемента.
Для заданной схемы i = 2 (двухсрезные заклёпки), n = 4 (число заклёпок по одну сторону от стыка). Подставляя числовые значения, получим:
;
2. Проверка на смятие выполняется по формуле
,
где σсм – расчётное напряжение смятия; tmin – минимальная толщина (при соединении двух листов разной толщины внахлёстку за t принимается наименьшая толщина; при соединении нескольких листов встык с накладками сравнивается суммарная толщина накладок и суммарная толщина листов и для расчёта выбирается наименьшая суммарная толщина листов или накладок).
В заданном соединении tл = 14 мм, tн = 8 мм. Так как накладок две, то суммарная толщина накладок равна 2tн = 2∙8 = 16 мм. Следовательно, tл < 2tн и напряжение смятия для листов больше, чем для накладок. Подставляя числовые данные, получим:
.
3. Проверка прочности листов на растяжение выполняется по формуле
,
где Sнетто л - площадь нетто, т. е. площадь поперечного сечения листа за вычетом площади отверстий для заклёпок опасного сечения. Так как заклёпки расположены по обе стороны стыка в два ряда, т. е. одинаково, то площадь опасного сечения листа (рис. 6) Sнетто л = 14 (160 - 2∙20) = 1680 мм2. Для определения продольной силы N воспользуемся методом сечений и построим эпюру продольных сил для листов (рис. 5, а).
Подставляя числовые данные, получим:
.
Прочность накладок будет достаточной, так как суммарная толщина накладок больше толщины листов, следовательно,
Sнетто н > Sнетто л ; σmax н < σmax л .
Контрольные задания даны в прил. 2.
Контрольные вопросы и задания
1. Какой внутренний силовой фактор возникает в заклёпочных и болтовых соединениях при сдвиге?
2. Какие напряжения возникают в элементах конструкций при чистом сдвиге? Запишите формулы для их определения.
3. Какие допущения принимаются при расчётах заклёпочных соединений?
4. Назовите виды заклёпочных соединений. Как определить количество срезов соединительных деталей?
5. Как проверить прочность листов и накладок на растяжение в заклёпочном соединении?
6. Определите количество заклёпок n, количество срезов i, диаметр заклёпки d, допускаемую силу [P] в заклёпочном соединении, исходя из условий прочности на срез: τср ≤ [τср] и смятие σсм ≤ [σсм].
ІІІ. КРУЧЕНИЕ
Программа
Понятие о деформации кручения. Крутящие моменты в поперечных сечениях вала. Эпюры крутящих моментов. Связь крутящего момента с передаваемой валом мощностью и частотой вращения вала. Деформации и напряжения при кручении прямых валов круглого поперечного сечения. Характер распределения касательных напряжений по поперечному сечению. Главные напряжения и главные площадки.
Угол закручивания. Относительный угол закручивания. Расчёты на прочность и жёсткость валов круглого поперечного сечения. Виды расчётов на прочность и жёсткость. Полярный момент инерции и полярный момент сопротивления круглого и кольцевого поперечного сечения вала. Расчёт цилиндрических винтовых пружин с малым шагом. Примеры расчётов на прочность и жёсткость простейших деталей машин, работающих на кручение.
Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 192; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!