Числовые характеристики случайной величины

⇐ ПредыдущаяСтр 13 из 13

Наиболее исчерпывающей характеристикой случайной величины является ее закон распределения вероятностей. Однако не всегда обязательно знать весь закон распределения. Иногда можно обойтись одним или несколькими числами, отражающими наиболее важные особенности закона распределения, например, числом, имеющим смысл, «среднего значения» случайной величины, или же числом, показывающим средний размер отклонения случайной величины от своего среднего значения. Такого рода числа называются числовыми характеристиками случайной величины.

Одна из самых важных числовых характеристик случайной величины есть математическое ожидание.

Если известна дискретная случайная величина Х, закон распределения которой имеет вид

Значения x_i	x₁	x₂	…	x_n
Вероятности p_i	p₁	p₂	…	p_n

то математическим ожиданием (или средним значением) дискретной величины Х называется число

М(Х) = x₁p₁+ x₂p₂+ … + x_np_n

Таким образом, математическое ожидание дискретной случайной величины Х равно сумме произведений возможных значений этой величины на их вероятности.

Пример. Найти математическое ожидание числа очков, выпадающих при бросании игральной кости.

Решение. Случайная величина Х числа очков принимает значения 1, 2, 3, 4, 5, 6. Составим закон ее распределения:

Значения x_i	1	2	3	4	5	6
Вероятности p_i

Тогда математическое ожидание есть

М(Х) =

Ответ: 3,5.

Различные случайные величины могут иметь одно и то же математическое ожидание. Поэтому необходимо ввести еще одну числовую характеристику для измерения степени рассеивания, разброса значений, принимаемых случайной величиной Х, около ее математического ожидания.

Рассмотрим разность х – m, где m – математическое ожидание величины Х.

Случайную величину х – m называют отклонением величины от ее математического ожидания.

Дисперсия характеризует рассеяние (отклонение) случайной величины относительно математического ожидания.

или

Пример. Пусть Х – число очков, выпадающих при одном бросании игральной кости. Найти дисперсию случайной величины Х.

Решение. Закон распределения случайной величины Х и ее математическое ожидание М(Х) = 3,5 были найдены в предыдущем примере. Вычислим дисперсию:

Ответ: .

Задание.

Случайная величина Х задана законом распределения:

Значения x_i	2	1	3
Вероятности p_i	0,6	0,1	0,3

Найти математическое ожидание, дисперсию случайной величины.

Решение.

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Ответ: М(Х) = 2,2, D(X) = 0,36.

Вопросы для самоконтроля

1. Какая величина называется случайной?

2. Какая случайная величина называется дискретной?

3. Что называется законом распределения случайной величины?

4. Что называется математическим ожиданием дискретной случайной величины?

5. Что называется дисперсией случайной величины?

Контрольное задание

1. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения

Значения x_i	0,1	0,2	0,3	0,4
Вероятности p_i	0,2	0,3	0,4	p₄

Чему равна вероятность p₄?

_____________________________________________________________________________

2. Случайная величина Х задана законом распределения:

Значения x_i	2	10	20
Вероятности p_i	0,6	0,15	0,25

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

3. Разыгрываются одна вещь стоимостью 200 руб. и две вещи стоимостью 300 руб. Составить закон распределения выигрышей для человека, купившего один билет из 40.

Литература

1. Богомолов Н.В. Математика: учебник для ссузов – М., Дрофа, 2006.

2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике – М., Высшая школа, 2002.

3. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике – М., Росткнига, 2001.

4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2001.

5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа. 2001.

6. Пехлецкий И.Д. Математика – М., Мастерство, 2001.

7. Шипачев В.С. Основы высшей математики – М., Высшая школа, 2001.

Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 240; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 1213

Мы поможем в написании ваших работ!