Вычисление определённых интегралов методами Excel

Федеральное агенство связи РФ

Федеральное государственное образовательное бюджетное

учреждение высшего профессионального образования

Московский технический университет связи и информатики

М.С. Тверецкий

 

 

Рекомендовано УМО по образованию в области инфокоммуникационных технологий и систем связи в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки 210700 – «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» квалификации (степени) «бакалавр» и квалификации (степени) «магистр».

Протокол №643  от 26.04.2012г.

Многоканальные

Телекоммуникационные системы

( компьютерные упражнения)

Часть 2

Изучение огибающей

Оптического импульса

 

Москва 2012

УДК. 621.395.4

004.021

 

 

Тверецкий М.С. Многоканальные телекоммуникационные системы (компьютерные упражнения). Ч. 2. Изучение огибающей оптического импульса. Учебное пособие / МТУСИ. – М., 2012. – 34 с.: ил.

 

 

Пособие входит в серию сборников компьютерных упражнений по курсу «Многоканальные телекоммуникационные системы», разработанных на базе математического процессора Office Excel. Во второй части серии приводится краткое теоретическое описание импульсов на выходе фотоприёмника ВОСП, огибающая которых имеет гауссовскую форму. Даются методические указания по выполнению компьютерных упражнений, в которых рассматриваются параметры гауссовских импульсов, построение для них глаз-диаграммы и определение межсимвольной помехи с учётом «эпсилон-фактора».

Ил. 22, список лит. 5 назв.

 

Рецензенты:

В.Н.Дмитриев, докт.техн.наук, профессор ((ФГОБУВПО Астраханский государственный технический университет)

 

Н.Н.Васин, докт.техн.наук, профессор (ФГОБУВПО Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики, Самара)

 

 

© Московский технический университет

 связи и информатики, 2012

Введение

В современных оптических многоканальных телекоммуникационных системах передачи (ОМТС) принятый сигнал поступает на фотодетектор, на выходе которого получают огибающую входных оптических импульсов, представляющую собой униполярные импульсы напряжения или тока. Эти импульсы, прежде чем будет раскрываться переносимая ими информация, подвергают определённой обработке: усиливают и некоторые их параметры корректируют. Очевидно, что при изучении ОМТС необходимо знать свойства данных импульсов с тем, чтобы отчётливо представлять себе функции соответствующих узлов оборудования.

Упражнения, входящие в это пособие, предполагают изучение взаимосвязи таких параметров, как амплитуда, ширина на различных уровнях, спектральный состав и взаимное влияние импульсов.

Предлагаемые компьютерные упражнения, помимо чётко сформулированных заданий, позволяют пользователю установить для себя как порядок, так и объем дополнительных экспериментов, не указанных в пособии, но расширяющих представление об изучаемом предмете.

На рисунках в описаниях упражнений изображены таблицы, заполненные примерными данными. Для работы в электронном виде предоставляются таблицы Excel, в которые введены формулы (желтые ячейки), а данные вводятся пользователем (зеленые ячейки) в соответствии с поставленной конкретной задачей. Необходимые сведения о работе с таблицами содержатся в [1].

Внимание! Листы EXCEL не защищены, а потому перед началом работы обязательно создайте резервную копию Книги (Листа) Excel .

По проделанной работе необходимо составить отчёт, содержащий результаты экспериментов и выводы.

Форма отчёта (на электронном или бумажном носителе) устанавливается преподавателем.

Краткая теория

Важнейшими параметрами импульсов являются их форма, амплитуда, длительность и спектральные характеристики.

Считается, что в большинстве случаев форма импульса на выходе фотодетектора приёмного оборудования близка к гауссовской [2]. Считается также, что такие импульсы практически не изменяют своей формы при прохождении по оптическому тракту; уменьшается лишь их площадь из-за потерь энергии и увеличивается среднеквадратическая ширина из-за дисперсии в оптическом волокне (ОВ).

Гауссовский импульс напряжения описывается следующим выражением

где u₀ – амплитуда импульса, t – текущее время, Т – период следования импульсов, σ – среднеквадратическая полуширина и k _зап – коэффициент заполнения. Коэффициент заполнения равен отношению ширины импульса на половине амплитуды (на уровне -3 дБ) к периоду k _зап = 2Δt₃/Т. В дальнейшем будем принимать k _зап = 1 для импульса на передаче (не уширенного из-за дисперсии в линии) для сигнала в коде NRZ. Для сигналов в коде RZ k _зап может принимать значения 1/3, 1/2 и 2/3.

Произведём нормирование мгновенных значений импульса, разделив правую и левую часть выражения (1) на u₀. Кроме этого заменим t/T на x, а σ – произведением σ₀(1+Δ), где σ₀ – среднеквадратическая полуширина исходного импульса, у которого 2Δx₃ = 1, а 1+Δ – относительная ширина данного импульса. Тогда формула (1) приобретает вид

Импульс при σ = σ₀ (Δ = 0) показан на рисунке 1. Найдём величину σ₀, для чего составим уравнение

решая которое, получаем

Для гауссовского импульса характерна обратно пропорциональная зависимость между его амплитудой и среднеквадратической шириной при неизменной площади. Действительно, площадь импульса может быть определена как

Из равенства (5) и выражения (2) следует, что площадь импульса не будет зависеть от его ширины, если амплитуда импульса будет обратно пропорциональна его ширине, то есть функция р(t) будет уменьшена в 1+Δ раз (см. рисунок 2). Таким образом, окончательно выражение для нормированного гауссовского импульса принимает вид

Определим площадь исходного нормированного импульса

Иногда в расчётах используется ширина импульса по основанию, то есть на уровне 0,01 от амплитуды (на уровне -20 дБ). Для определения ширины импульса по основанию составим уравнение

решая которое, с учётом (4), получаем полуширину исходного импульса по основанию равной

Таким образом, величины полуширины импульса по основанию (по уровню -20 дБ), на половине амплитуды (по уровню -3 дБ) и среднеквадратическая ширина оказываются связанными равенством

Заметим, что относительное уширение импульса одинаково для любого уровня определения полуширины. Это следует из условия неизменности гауссовской формы рассматриваемого импульса.

Мгновенные значения импульса не равны нулю за пределами тактового интервала (±0,5x), что приводит к появлению межсимвольной помехи. Межсимвольная помеха действует в тактовых точках соседних импульсов, то есть в моменты, когда x = ±(1, 2,…) . Поскольку на практике не допускается уширение импульса более, чем на 15% (Δ ≤ 0,15), заметное влияние возникает лишь между соседними импульсами. Действительно, исходя из формулы (6) при Δ = 0,15 y(1) ≈ 0,107, а y(2) ≈ 0,0002, то есть влиянием импульсов, отстоящих далее, чем на один период, можно пренебрегать.

Межсимвольную помеху оценивают посредством глаз-диаграммы, которая, как известно, представляет сумму осциллограмм случайных импульсных последовательностей с развёрткой по горизонтали, период которой равен целому числу периодов данных последовательностей. На рисунке 3 представлена глаз- диаграмма для гауссовских импульсов с Δ = 0,1, учитывающая влияние лишь соседних импульсов. На рисунке отмечены комбинации импульсов, которым соответствует та или иная траектория, отмечена также точка решения регенератора (ТРР), которая находится в середине «глаза» диаграммы, то есть обеспечивает максимальную помехозащищённость регенератора. На рисунке видно, что границы «глаза» диаграммы определяют комбинации импульсов 010 и 101. Эти границы соответствуют наихудшему случаю (наименьшей помехозащищённости регенератора). Оценка этого наихудшего случая осуществляется по относительной величине раскрытия «глаза» диаграммы R = y '/ y (см. рисунок 4), причём величина y соответствует нулевому уширению импульса, то есть случаю, когда Δ = 0.

Величина раскрытия определяет снижение помехозащищённости регенератора из-за уширения импульса, будет равно

Величины y и y ' могут быть подсчитаны по формуле (12) (при расчёте у величина Δ принимается равной нулю).

Из рисунка 4 видно, что смещение ТРР на некоторую величину ±Δx может привести к такому же эквивалентному уменьшению раскрытия «глаза» диаграммы. В этом случае зависимость между R _см и Δx может быть найдена из уравнения

Функции у(х), входящие в уравнение (13), рассчитываются по формуле (6), с учётом того, что Δ = 0. Уравнение не учитывает импульсы, отстоящие от исходного на 2х и далее, поскольку их влияние на результаты расчётов для реальных значений Δх и Δ не превышает 1%.

Ввиду громоздкости выражения (13) зависимости R от ±Δх и обратные им находятся численными методами.

Соотношения между R _см и Δх позволяют оценить необходимый запас по помехозащищённости регенератора ΔА_см в зависимости от размаха амплитуды фазового дрожания сигнала (2Δx) или, если имеется запас помехозащищенности регенератора, найти допустимую величину фазового дрожания 2Δx. В некоторых случаях удобно использовать понятие «прикрытия» глаза диаграммы δ.

Обращаясь вновь к формуле (11) запишем

Эти формулы в некоторых случаях могут оказаться удобными.

Допустимая величина относительного уширения импульсов при прохождении их по оптическому тракту определяется допустимой дисперсией, которая прямо пропорциональна «эпсилон-фактору» ε [3, 4]. В свою очередь ε и А_дп, дБ – дополнительные потери оптического тракта, связаны формулами

Дополнительные потери вызываются дисперсией, отражениями, фазовыми дрожаниями и другими подобными факторами. Обычно дополнительные потери регламентируются для конкретного типа оптического интерфейса. Так, для интерфейсов синхронных цифровых телекоммуникационных систем (СЦТС) без волнового уплотнения принимается А_дп = 1дБ для скоростей передачи ниже 10 Гбит/с; а для скоростей передачи 10 Гбит/с и выше А_дп = 2дБ.

Дисперсионное уширение складывается с шириной исходного импульса по квадратичному закону. Следовательно, можно записать

Далее, используя соотношения (12) и (11), можно определить, насколько увеличится затухание тракта из-за дисперсии ΔА_д и, следовательно, какую часть нормируемого дополнительного затухания А_дп можно отвести на другие ухудшающие факторы.

При использовании в оптическом передатчике многомодового лазера имеет место шум из-за перераспределения мощности излучения между модами. В этом случае приходится снижать величину ε, поскольку на запас по этому шуму отводится большая часть дополнительного затухания. В [4] приводится соотношение, связывающее величины ε и ΔА_м, причём полагается, что ΔА_м = А_дп.

В этом соотношении k – коэффициент перераспределения мощности между модами, а Q – фактор, определяемый заданным коэффициентом ошибок по битам К_{ош б}. В [4] рекомендовано принимать k = 0,76 (в [3] – 0,7), а для связи величин Q и К_{ош б} использовать приблизительное соотношение

В заключение заметим, что величины Q и ε по заданным соответственно величинам К_{ош б} и ΔА_м по формулам (18) и (17) достаточно просто находятся с помощью функции Подбор параметра… в приложении Excel [1]. Если величины ΔА_д, ΔА_см и ΔА_м определены, можно записать

где ΔА_дп – доля дополнительных потерь, определяемая, например, отражениями в оптическом тракте.

 

Упражнения

В дальнейшем будет использоваться такое наименование упражнений, входящих в данный сборник.

Цикл 2[1]  Изучение огибающей оптического импульса

    Упражнение 2.1 Изучение гауссовского импульса.

    Упражнение 2.2 Изучение глаз-диаграммы.

    Упражнение 2.3 Изучение «эпсилон-фактора».

Упражнение 2.4 Изучение частотного спектра гауссовского импульса.

Общие указания.

Упражнения по указанию преподавателя могут выполняться или фронтально в компьютерном классе, или индивидуально, как в классе, так и на домашнем компьютере.

Перед выполнением любого упражнения необходимо.

1. Ознакомиться с краткой теорией, описанием и таблицами Excel данного упражнения.

2. Получить допуск к работе в результате собеседования с преподавателем. При собеседовании выясняется, как подготовлен учащийся в области теории данной задачи, так и в особенностях её решения в приложении Excel.

3. Получить задание (исходные данные) к упражнению.

После завершения работы следует получить отметку преподавателя о выполнении работы. По результатам работы составить отчёт, который, помимо результатов работы (по форме, индивидуальной для конкретного упражнения), должен содержать:

– фамилию и.о. студента, номер учебной группы, дату выполнения работы и фамилию преподавателя;

– исходные данные к работе;

– используемые расчётные соотношения;

– развёрнутые выводы по результатам работы.

Отчёт, по согласованию с преподавателем, может быть представлен на бумажном или/и на электронном носителе.

Упражнение 2.1 Изучение огибающей гауссовского импульса.

Задача упражнения.

В задачу упражнения входит наблюдение формы импульсов с различными параметрами, определение их площадей и полуширины на различных уровнях, а также величины межсимвольной помехи.

Описание упражнения.

Упражнение выполняется на листе 2_1_Гаусс_имп книги Excel Упр_ч_2, верхняя левая часть которого показана на рисунке 5.

Поскольку пособие отпечатано в чёрно-белом варианте, цвета заливки ячеек в приложении Excel на рисунке не различаются. Напоминаем, что данные вводить можно только в зелёные ячейки, ячейки другого цвета изменять нельзя.

Таблица Исходные данные заполняется согласно индивидуальному заданию. В этой таблице ячейка D5 (жёлтая) содержит формулу (4), а ячейка D6 (голубая) – копию результата вычисления по этой формуле. Следовательно, ячейку D6 можно копировать для вставки значения σ₀ при расчётах, не предусмотренных стандартным заданием.

Таблица Функции у(х) заполняется вручную (об этом ниже, в разделе Порядок выполнения работы). Таблица рассчитывает мгновенные значения импульсов согласно исходным данным по формуле (6). Результаты вычислений автоматически отображаются на графиках, расположенных на листе справа внизу (см.
рисунок 6). Графики могут потребовать настройки, о которой будет сказано далее.

 Сверху справа на листе располагается несколько небольших таблиц под общим названием Расчёты, показанных на рисунке 7. Предназначение таблиц ясно из заголовков; эти таблицы также требуют коррекции после ввода исходных данных и заполнения таблицы Функции у(х).

В таблице Площадь импульса (ф-ла прямоугольников) определяются площади исследуемых импульсов по формуле (П1.1).

В таблице Определение межсимвольной помехи определяются мгновенные значения исследуемых импульсов на соседних тактовых точках по формуле (6).

В таблицы Относительная полуширина импульса (подбор параметра) вводятся величины Δх_σ, Δх₃ и Δх₂₀. Некоторые из этих величин рассчитаны на предыдущих этапах работы, недостающие же определяются методом подбора параметра (метод рассмотрен в [1]).

Порядок выполнения работы.

1. Ввести в таблицу Исходные данные заданные величины. Убедиться, что все зелёные ячейки этой таблицы заполнены.

2. В таблицу Функции у(х) в ячейку А13 ввести начальное значение х, (из ячейки В5 таблицы Исходные данные). В ячейку А14 ввести начальное значение х, увеличенное на Δх (сложение алгебраическое!). Выделить ячейки А13, А14 и «протаскиванием» их вниз заполнить столбец х до максимального значения х (ячейка В6 в таблице Функции у(х)). Записать номер нижней ячейки в столбце А.

3. Выделить ячейки В13:F13 и «протаскиванием» их вниз до уровня последней ячейки столбца А завершить заполнение таблицы Функции у(х). Произойдёт автоматическое вычисление мгновенных значений импульсов Импульс 1 – Импульс 5. Одновременно данные вычислений отобразятся на графиках диаграмм, помещённых на листе (рисунок 5).

4. При необходимости произвести коррекцию графиков (Имп.1 Имп.2 Имп.3 и Имп.1 Имп.4 Имп.4) диаграмм, расположенных слева. По умолчанию они отображают функции таблицы Функции у(х) в диапазоне с 13 по 73 строку. В конкретном случае пределы диапазона могут отличаться от указанных выше. Для их изменений следует правой кнопкой мыши на области графика открыть подменю, из которого выбрать пункт Исходные данные…. На вкладке Ряд последовательно для рядов Имп. 1, Имп. 2 и Имп. 3, а также для Подписи оси Х, установить пределы диапазона в соответствии с областью, которую следует представить в увеличенном масштабе. Аналогично произвести коррекцию графиков диаграммы (Имп.1 Имп.4 Имп.5).

5. Настроить графики диаграмм, расположенных справа на рисунке 6. Эти графики являются детализацией той или иной части графиков диаграмм, расположенных слева. Для них следует выбрать соответствующий диапазон на оси х (с использованием подпрограммы Исходные данные) и установить необходимые параметры по оси у. На рисунке 8 в подменю Исходные данные овалами отмечены номера ячеек, которые следует корректировать. В данном случае, чтобы от левого верхнего графика перейти к правому, номера строк 13 и 73 следует заменить соответственно номерами 43 и 50. Далее следует на правом графике выделить ось у (ось значений), вызвать правой кнопкой мыши подменю, выбрать пункт Формат оси… и в появившемся окне установить необходимые величины: минимальное и максимальное значения, цену основных и промежуточных делений.)

6. Произвести коррекцию таблиц Расчёты, если номер последней строки в таблице Функции у(х) отличается от 73. Коррекция заключается в следующем.

В таблице Площадь импульса (ф-ла прямоугольников) выделить левую значащую ячейку (I5). При этом в окне формул появится формула (П1.1), которая в синтаксисе Excel выглядит так =СУММ(В13:В72)*(А14-А13). Адрес В72 следует заменить на адрес ячейки, предпоследней в принятом диапазоне таблицы Функции у(х). После чего «протащить» ячейку I5 по строке до конца корректируемой таблицы.

В таблице Определение межсимвольной помехи в левой верхней действующей ячейке (I10) в числителе формулы установить адрес ячейки из столбца В, соответствующей х = 1, а в знаменателе – установить адрес ячейки из столбца В, соответствующей х = 0. Аналогичные действия проделать и для нижней левой ячейки (I11), но в числителе установить адрес ячейки из столбца В, соответствующей х = 2. Затем выделить эти две ячейки и «протащить» их вдоль строки до конца таблицы. Другие таблицы в коррекции не нуждаются.

7. Заполнить графы Δх таблиц Относительная полуширина импульсов (подбор параметров). Следует помнить, что Δх_σ = σ. Для значений х, отсутствующих в таблице Функции у(х), воспользоваться функцией Подбор параметра… которая расположена в меню Сервис [1].

8. На данном этапе следует произвольно изменять исходные данные Δ и k _зап импульсов, наблюдая при этом за изменением графиков диаграмм. Этот этап очень важен, так как позволяет наглядно представить тенденцию зависимости формы импульса от изменения того или иного параметра. При этом следует обращать внимание на изменение чисел в таблицах Площадь импульса (ф-ла прямоугольников) и Определение межсимвольной помехи (рисунок 7). Следует иметь ввиду, что сделанные изменения после наблюдения результатов могут быть отменены нажатиями на кнопку на панели инструментов (кнопка не действует после операции сохранения файла).

9. Сформулировать выводы по работе, обращая внимание на зависимости площади импульса, его ширины, межсимвольной помехи от коэффициента заполнения и величины уширения.

10. Составить отчёт по работе. Если отчёт представляется в электронном виде, он должен содержать заполненный согласно заданию лист 2_1_Гаусс_имп книги Excel, расчётные формулы и выводы по работе. Отчёт на бумажном носителе должен содержать таблицу Исходные данные, таблицы Расчёты, графики (распечатки), выводы по работе.

По указанию преподавателя в отчёт включаются результаты дополнительных заданий, например таблица межсимвольных помех в децибелах и т.п.

Упражнение 2.2 Изучение глаз-диаграммы.

Задача упражнения.

В задачу упражнения входит наблюдение формы глаз-диаграммы для импульсов с различными параметрами, а также исследование эквивалентного прикрытия глаза диаграммы в зависимости от временного смещения точки принятия решения.

Описание упражнения.

Упражнение состоит из двух частей; в первой части изучаются общий вид глаз-диаграммы и определяется величина эквивалентного раскрытия глаза y ' при временном смещении Δx точки решения регенератора (ТРР). Во второй части осуществляется детальное исследование зависимости эквивалентного прикрытия δ глаза диаграммы от смещения ТРР по оси х. Первая часть упражнения выполняется на листе 2_2а_ГД, а вторая – на листе 2_2б_ГД книги Excel Упр_ч_2.

На рисунке 9 представлена верхняя левая часть листа 2_2а_ГД. В таблицу Исходные данные вводятся параметры импульсов, образующих глаз-диаграмму: k _зап и Δ₁. С использованием этих параметров, по формуле (6) рассчитываются мгновенные значения импульсов, вершины которых соответствуют значениям х, равным соответственно 0 и ±1. Названные параметры соответствуют столбцам 010, 001 и 100 таблицы Комбинации импульсов, верхняя часть которой также показана на рисунке 9. Суммированием этих исходных столбцов получены и остальные столбцы этой таблицы (101, 110, 011 и 111), используемые для построения глаз-диаграммы, которая отображается на графике, показанном на рисунке 10. Как было показано в разделе 2, импульсы, максимумы которых отстоят по оси х от середины диаграммы далее, чем на ±1, при построении диаграммы могут не учитываться.

Два правых столбца 010Δх и 101Δх, показанные на рисунке 9, используются для отображения «глаза» диаграммы, смещённого относительно исходного (определяемого столбцами 010 и 101) на величину Δх. Мгновенные значения для этих столбцов рассчитываются с учётом значений Δх и Δ₂, заданных в таблице Исходные данные (см. рисунок 9). «Глаза» исходной и смещённой диаграмм отображаются графиками, расположенными в нижней правой части листа (рисунок 11).

В таблице Исходные данные рассчитано значение σ₀, которое используется для упрощения вводимых в ячейки листа формул.

Наконец, на листе сверху справа находится таблица, используемая для подбора параметров Δх и ΔА, посредством функции Подбор параметра… из меню Сервис. Там же приведен текст инструкции проведения указанной операции.

Как уже говорилось, следующий лист 2_2б_ГД служитдля детального исследования зависимости эквивалентного прикрытия δ глаза диаграммы от смещения ТРР по оси х. На рисунке 12 изображена левая верхняя часть этого листа. В табличке устанавливается только значение коэффициента заполнения k _зап, в правом же столбце, как и на предыдущем листе, рассчитано значение σ₀, которое используется для упрощения вводимых в ячейки листа формул.

В расположенной ниже таблице рассчитаны зависимость раскрытия глаз-диа-граммы от смещения ТРР R _см = f (Δ x ) и семейство зависимостей «прикрытия» глаз-диаграммы δ = f (Δ x ) для разных значений R. Результаты расчётов отображаются на графиках, расположенных ниже таблицы (рисунок 13).

Справа на листе находятся таблицы (рисунок 14) для расчёта отношения 2Δ x /δ при различных значениях δ и k _зап. Над указанными таблицами помещена инструкция по использованию для данных расчётов функции Подбор параметра… из меню Сервис.

Результаты этих расчётов отображаются на графиках диаграммы, расположенной ниже таблиц и показанной на рисунке 15.

 

 

Порядок выполнения работы.

Работа выполняется в два этапа. На первом этапе изучаются общие свойства глаз-диаграммы, на втором этапе – рассчитывается эквивалентное «прикрытие» «глаза» диаграммы при смещении точки принятия решения.

Этап 1

1. Открыть лист 2_2а_ГД и ввести в таблицу Исходные данные значения k _зап = 1 и Δ₁= 0. Внимательно рассмотреть форму глаз-диаграммы для этих параметров.

2. Скрывая и восстанавливая последовательно столбцы таблицы Комбинации импульсов убедиться, что границы «глаза» диаграммы определяются комбинациями 010 и 101.

3. Изменяя величину Δ₁ от 0 до 1 построить зависимости R(Δ₁) и ΔА_см(Δ₁). Величины R и ΔА_см автоматически рассчитываются в верхней строке (Исходный импульс) таблицы Расчёты.

Примечание. Для построения указанных зависимостей удобно создать дополнительный лист с соответствующей таблицей и диаграммой.

4. При Δ₁ = 0 изменять значения k_зап от 1 до 0,3 и наблюдать происходящие при этом изменения глаз-диаграммы.

5. Для заданного преподавателем значения k_зап повторить задание пункта 3. Сравнить полученные результаты с аналогичными результатами для k_зап= 1.

6. Определить эквивалентное раскрытие «глаза» диаграммы для заданной преподавателем величины смещения ТРР. Для этого в таблице Исходные данные установить k_зап= 1, Δ₁= 0 и заданное значение Δx. Затем вручную, изменяя величину Δ₂ и используя нижнюю диаграмму, добиться совпадения максимума смещённого «глаза» с границей исходного «глаза», как это показано на рисунке 11. Для ориентировки удобно вначале отметить искомую точку стрелкой, переместив её с помощью мыши. Записать полученное значение Δ₂.

7. Произвести эту же операцию посредством функции Подбор параметра… из меню Сервис, следуя инструкции Подбор раскрытия для Δ x, которая помещена под таблицей Расчёты. Сравнить результат с результатом, полученным вручную. Записать полученные значения R и ΔA _см.

8. Повторить пункты 6 и 7 для величины k _зап, заданной преподавателем, и прежнего значения Δx. Сравнить величины R и ΔA _см с полученными в предыдущем пункте.

9. Дополнительно. Для заданных преподавателем значений k_зап и ΔA _см найти величину допустимого сдвига Δx, используя функцию Подбор параметра….

Этап 2

1. Открыть лист 2_2б_ГД и ввести в таблицу Исходные данные заданное преподавателем значение k_зап Внимательно рассмотреть форму глаз-диаграммы для этих параметров. Настроить правую диаграмму, показанную на рисунке 13 (увеличить или уменьшить диапазон оси х). Внимательно проанализировать графики диаграмм, показанных на рисунке 13. Повторить указанные действия, если преподавателем будут заданы другие значения k_зап.

2. В соответствии с инструкцией, помещённой на листе, произвести расчёты соотношения 2Δx/δ, используя функцию Подбор параметра… из меню Сервис. Исходные для расчётов величины k _зап и δ задаются преподавателем.

3. Сделать выводы по проделанной работе, с учётом результатов первого этапа выполнения, обращая особое внимание на степень влияния на защищённость сигнала от помех прикрытия «глаза» диаграммы и смещения ТРР.

4. Составить отчёт по работе. Если отчёт представляется в электронном виде, он должен содержать заполненные согласно заданию листы 2_2а_ГД и 2_2б_ГД книги Excel (соответствующие последнему пункту выполнения работы), расчётные формулы и выводы по работе. Отчёт на бумажном носителе должен содержать таблицы Исходные данные, таблицы Расчёты, графики (распечатки), выводы по работе.

По указанию преподавателя в отчёт включаются результаты дополнительных заданий, например, зависимости снижения помехозащищённости сигнала от раскрытия «глаза» диаграммы и смещения ТРР.

 

Упражнение 2.3 Изучение «эпсилон-фактора».

Задача упражнения.

В задачу упражнения входит изучение зависимости «эпсилон-фактора» от дополнительных потерь оптического тракта при использовании одномодовых лазеров и возникающих при этом потерь из-за дисперсии. При использовании многомодовых лазеров «эпсилон-фактор» рассчитывается исходя из заданных коэффициента перераспределения мощности между модами излучения, допустимого коэффициента битовых ошибок и допустимых потерь оптического тракта из-за перераспределения мощности между модами излучения. На основании этого расчёта, определяется допустимая доля потерь, определяемая такими факторами, как отражения, фазовый шум и т. п.

Описание упражнения.

Упражнение выполняется на листе 2_3_Эпсилон книги Excel Упр_ч_2, верхняя левая часть которого показана на рисунке 16. Эта часть содержит ячейку исходных данных, в которую последовательно вводятся значения коэффициента заполнения k _зап, табличку опорных данных, содержащую точное значение σ₀ для импульса с единичной амплитудой и единичной шириной на уровне половины амплитуды, рассчитанное по формуле (4), а также относительную величину раскрытия «глаза» диаграммы y для заданной величины k _зап, рассчитанную по формуле (12) при Δ = 0. Опорные данные служат для упрощении формул, по которым рассчитываются значения, сведённые в таблицу Для одномодовых лазеров ( SLM ). Эти значения рассчитываются соответственно для заданных величин А_дп по формулам: (15), (16), (12) и (11). R _д = y '/ y по определению.

Справа сверху на листе находятся диаграммы (рисунок 17), графики которых отображают результаты расчётов в таблице Для одномодовых лазеров ( SLM ).

В средней части листа находится таблица Для многомодовых лазеров (М LM ) и диаграммы с графиками, соответствующими данным в названной таблице (рисунок 18). Заметим, что график на правой диаграмме соответствует начальному участку графика левой диаграммы. Расчёты в таблице осуществляются по формуле (17), необходимые для этих расчётов значения k и Q устанавливаются в таблице раздела Расчёты, которая находится в нижней части листа 2_3_Эпсилон.

Помимо таблицы в разделе Расчёты содержатся инструкции по расчётам значений Q и ΔА_м (см. рисунок 19).

Примечание. При расчёте значения Q по заданной величине K_ошб посредством функции Подбор параметра… необходимо проверить, что вычисления производятся с погрешностью, по крайней мере, на два порядка меньшей, чем устанавливаемая величина K_ошб. Для этого следует в меню Сервис открыть пункт Параметры… и далее вкладку Вычисления. Далее, убедиться, что в окошке Относительная погрешность установлено соответствующее значение и, если нет, установить его.

В таблице раздела Расчёты использованы формулы (18), (17) и (15).

Порядок выполнения работы.

Работа выполняется в два этапа. На первом этапе изучаются свойства эпсилон-фактора при использовании одномодовых лазеров, а на втором – при использовании многомодовых лазеров.

Этап 1

1. Ввести в таблицу Исходные данные значение коэффициента заполнения k_зап = 1. Заполнить колонку А_дп (см. рисунок 16) значениями через одинаковые интервалы от нуля до величины, заданной преподавателем.

2. Откорректировать при необходимости графики диаграмм, показанных на рисунке 17. Зафиксировать эти диаграммы, например, помещая их копии в созданный для этого документ Word.

3. Установить последовательно в исходных данных значения k_зап, заданные преподавателем. Для каждого значения k_зап, фиксировать диаграммы (рисунок 17).

4. Сделать выводы, сравнивая графики диаграмм для различных значений k_зап. Объяснить, как может быть использовано снижение величины ΔА_д.

Этап 2

1. В таблице Расчёты (рисунок 19) установить значение коэффициента перераспределения мощности между модами излучения k = 0,7 и Q-фактора равным 7. Изменяя эти величины в пределах примерно ±10%, зафиксировать изменения графиков, показанных на рисунке 18 (исходное состояние, предельное изменение Q и предельное изменение k).

Примечание. Название оси абсцисс Потери при MLM на графиках соответствует величине ΔА_м, поскольку формат названия оси исключает использование символов и подстрочного шрифра.

2. В таблице Расчёты (рисунок 19) установить заданные преподавателем значение коэффициента перераспределения мощности между модами излучения k и коэффициента ошибок по битам K_ошб.

3. Как было указано ранее, установить точность вычислений на два-три порядка выше, чем порядок заданного K_ошб и произвести расчёт значения Q-фактора посредством функции Подбор параметра… в соответствии с инструкцией, размещённой над таблицей слева (рисунок 19).

4. В таблицу Расчёты вписать заданные преподавателем значения дополнительных потерь в оптическом тракте А_дп и потерь из-за перераспределения мощности ΔА_м. По графикам (рисунок 18) оценить приблизительно соответствующую заданным параметрам величину эпсилон-фактора ε.

5. Определить точное значение эпсилон-фактора ε посредством функции Подбор параметра… в соответствии с инструкцией, размещённой над таблицей справа (рисунок 19).

Примечание. Относительная погрешность вычислений должна быть на два-три порядка выше заданного значения K_ошб.

6. Проанализировать рассчитанные значенияΔА_м, ΔА_д и А_дп-ΣΔА (А_дп- ΔА_м,-ΔА_д) и сформулировать выводы.

Упражнение 2.4 Изучение частотного спектра гауссовского импульса.

Задача упражнения.

В задачу упражнения входит изучение частотных спектров для гауссовских импульсов с различными параметрами, а также исследование изменения формы импульса при ограничении его частотного спектра.

Описание упражнения..

Упражнение выполняется на листе 2_4_Спектры книги Excel Упр_ч_2, верхняя левая часть которого показана на рисунке 20. Таблица Исходные данные предназначена для ввода заданных параметров k _зап и Δ для первого и второго импульсов. Таблица Расчёты используется, во-первых, для определения интервала между значениями х и величины х в ячейке А12. Во-вторых, в этой таблице для сравнения приведено точное значение площади импульса с единичной амплитудой и полушириной 0,5 на половине высоты (графа Σ). В-третьих, в таблице содержится значение σ₀, позволяющее упростить формулы, вводимые в основную таблицу, которая расположена в нижней части рисунка 20.

Основная таблица содержит столбцы значений нормированного времени х (столбец А) и мгновенных значений 1-го и 2-го импульсов (столбцы В и С). Мгновенные значения рассчитываются по формуле (6) с учётом импульсов, отстоящих от основного на расстоянии ±2х. Эта поправка обеспечивает корректность быстрого преобразования Фурье (БПФ) [1], поскольку исследуемый импульс как бы вырезается из последовательности, представляющей собой чередование единиц и нулей.

В столбец D вводятся результаты БПФ первого импульса а в столбец F результаты БПФ второго. Обнуляя некоторые ячейки в столбце F, можно имитировать фильтрацию спектра второго импульса. Верхняя ячейка столбцов БПФ соответствует постоянной составляющей спектра, средняя – частоте Найквиста (высшей гармоники разложения).В верхней половине столбца располагаются ячейки отрицательных гармоник, а в нижней – положительных. Номера гармоник убывают от середины столбца в обе стороны [1].

В столбцах Е и G располагаются амплитудные спектры первого и второго импульсов (значения модулей спектральных составляющих). Номера гармоник в этих столбцах идут сверху вниз по нарастающей (столбец J).

Наконец, столбцы Н и I заняты результатами обратного быстрого преобразования Фурье (ОБПФ). В верхней части таблицы (строка 9) располагаются значения сумм по соответствующим столбцам, используемые для контроля.

В правой части листа располагаются две диаграммы; на верхней представлены графики, отображающие формы исходных и преобразованных импульсов, а на нижней – гистограммы спектров первого и второго импульсов. На рисунке 21а приведены диаграммы без фильтрации спектров. При этом изображения исходных импульсов и импульсов, полученных посредством ОБПФ, перекрываются (форма преобразованного импульса точно совпадает с формой исходного).

На рисунке 21б представлен случай, когда спектр второго импульса ограничен второй гармоникой разложения. При этом форма второго преобразованного импульса существенно отличается от формы исходного. На рисунках также видно, что уширение импульса приводит к сужению ширины его частотного спектра.

Ниже основной таблицы располагаются две небольших, предназначенные для расчёта параметров огибающей частотного спектра импульсов, одна из которых показана на рисунке 22.

Известно, что огибающая частотного спектра гауссовского импульса также имеет форму гауссовского распределения плотности вероятности. Как показано в приложении 2, для проверки данной гипотезы следует по двум значениям амплитуды гармоник частотного спектра рассчитать параметры огибающей σ и А, а затем, используя эти параметры, рассчитать значение амплитуды другой гармоники и сравнить полученное значение с найденным экспериментально. Очевидно, если эти амплитудные значения – рассчитанное и экспериментальное равны между собой, принятая аппроксимация удовлетворительна. В соответствии со сказанным, в таблицу (см. рисунок 22) вводятся два мгновенных значения, соответствующих номерам гармоник i и j (гармоники следует выбирать на краях анализируемого спектра). Кроме этого, в таблицу вводится мгновенное значение для гармоники k, находящейся между гармониками i и j. Равенство этого мгновенного значения, рассчитанному автоматически k = k (контр), свидетельствует о корректности выбранной аппроксимации.

Порядок выполнения работы.

1. Ввести в таблицу Исходные данные заданные преподавателем величины k _зап и Δ для первого и второго импульсов. Также ввести в ячейку А11 нижний предел заданного диапазона для х. Ввести в ячейку А12 значение, полученное в таблице Расчёты, используя функцию Специальная вставка, Значения.

2. Выделить ячейки А11 и А12 и «протащить» их до конца диапазона х (до ячейки А43). Убедиться, что на диаграмме (рисунок 21а, верхняя диаграмма) отразились формы импульсов. При необходимости подстроить диаграмму.

3. Осуществить БПФ для первого и второго импульсов [1]. Убедиться, что частотные спектры импульсов отобразились на соответствующей диаграмме (рисунок 21а).

4. Используя результаты БПФ осуществить ОБПФ для первого и второго импульсов и убедиться, что форма преобразованных импульсов совпадает с формой импульсов исходных.

5. Воспользовавшись таблицами, одна из которых показана на рисунке 22, произвести расчёты, подтверждающие, что огибающие спектров импульсов соответствуют гауссовскому распределению плотности вероятности. Убедиться также, что ширина амплитудно-частотных спектров (на уровне ½ от амплитуды постоянной составляющей) обратно пропорциональна ширине импульсов.

6. Произвести «фильтрацию» спектра второго импульса. Для этого в столбце F, по согласованию с преподавателем, осуществить «обнуление» тех или иных спектральных составляющих[2]. Следует помнить, что данное действие является лишь приближённой имитацией, поскольку оно не учитывает воздействие на спектр фазовой функции фильтра.

7. Осуществить ОБПФ ограниченного спектра и проанализировать форму восстановленного импульса, обращая внимание на межсимвольную интерференцию.

8. Сформулировать выводы по проделанной работе.

 

 

Приложение 1

Вычисление определённых интегралов методами Excel

Геометрически определённый интеграл функции y = f ( x ) в пределах от х₁ до х _n представляет собой площадь, заключённую между графиком данной функции и осью абсцисс, как это показано на рисунке П1.1. При этом площадь, лежащая под осью абсцисс, считается отрицательной. Общая же площадь является алгебраической суммой площадей, лежащих над и под осью абсцисс.

Существует много способов вычисления определенных интегралов [5]; в приложении Excel наиболее применимыми являются приближённые вычисления по формулам прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона). Наиболее точной является формула парабол, менее точной – формула трапеций и наименее точной – формула прямоугольников.

Формула прямоугольников получена на основе того, что подынтегральная область разбивается на прямоугольники, как это показано на рисунке П1.2. Площадь i-го прямоугольника S_i = Δx_i×y_i, тогда вычисляемый интеграл будет равен

 

 

Если интервалы разбиения одинаковы (Δx_i = Δx_j = Δx), то величина Δx в этой формуле может быть вынесена за знак суммы.

Для получения формулы трапеций подынтегральная область разбивается на трапеции (рисунок П1.3). Очевидно, что при таком разбиении погрешность вычисления уменьшается по сравнению с разбиением на прямоугольники. При равенстве интервалов разбиения формула трапеций будет иметь вид

Заметим, что при вычислении определённого интеграла функции колокольной формы по формуле прямоугольников, погрешности нарастающей части будут

в некоторой мере компенсироваться погрешностями спадающей части (см. рисунок П1.2), то есть для таких функций формула прямоугольников будет приводить к меньшим ошибкам, нежели для функций изменяющихся монотонно.

Погрешность вычислений по любой формуле снижается с увеличением числа разбиений n, однако при этом увеличивается объем вычислительных операций. При использовании приложения Excel разумное увеличение объема подобных вычислений не вызывает затруднений, поэтому обычно используют простейшую формулу прямоугольников, а формулу парабол практически не используют никогда.

На рисунке П1.4 приведены результаты расчётов определённого интеграла функции Sin²(πt) различными способами. Левая часть рисунка соответствует нарастающей части функции (пределы аргумента от 0 до π/2). Результат аналитического расчёта для этих пределов равен 0,25. Расчёт по формуле прямоугольников (на рисунке обозначен как Σ_п, ячейка А14) приводит к результату 0,225, то есть к занижению на 10%. Результат расчёта по формуле трапеций (обозначен как Σ_п, ячейка В14) равен 0,249388, что соответствует погрешности -0,24%.

В правой части рисунка показаны таблицы расчёта определённого интеграла той же функции в пределах аргумента от 0 до π (теоретическое значение 0,5). Поскольку в данном случае функция имеет колокольную форму, погрешность расчёта даже по формуле прямоугольников оказывается практически нулевой, несмотря на четырехкратное увеличение интервала разбиения.

В заключение приведём форму записи формул вышеприведённых расчётов в синтаксисе Excel.

Функция Sin²(πt): =(SIN(ПИ()*А2))^2,

здесь А2 – адрес ячейки с соответствующим значением аргумента t.

Формула прямоугольников (П1.1): =СУММ(В2:В11)*(А3-А2),

представляет собой сумму значений в диапазоне ячеек от В2 до В11. Последнее значение диапазона исключается (ячейка В12). Сумма умножается на интервал разбиения (разность между двумя любыми соседними ячейками со значениями аргумента, поскольку принято, что интервалы разбиения равны между собой). В данном случае взята разность ячеек  А3-А2.

Формула трапеций (П1.2): =(СУММ(В3:В11)+(В2-В12)/2)*(А3-А2).

С учётом вышесказанного запись формулы специальных пояснений не требует.

Приложение 2

---

Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 437; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!