Общие замечания о выборе метода решения

Систем линейных уравнений

Выбор в каждом конкретном случае метода решения системы линейных уравнений определяется многими факторами, в частности порядком системы, особенностями матрицы её коэффициентов, быстродействием, объемом памяти ЭВМ и т.п.

Метод Гаусса является одним из наиболее универсальных и эффективных методов. Применение его особенно целесообразно для линейных систем с плотно заполненной матрицей коэффициентов. Однако реализация метода на ЭВМ требует около n² ячеек оперативной памяти, что ограничивает порядок решаемой методом Гаусса системы уравнений (n < 10³).

При решении систем уравнений высокого порядка n ≈10³ – 10⁶ более эффективны итерационные методы. Если итерационный процесс сходится достаточно быстро, т.е. требуется, например, менее n итераций для получения решения с заданной точностью, то имеет место выигрыш во времени по сравнению с методом Гаусса, так как число арифметических действий в методе итераций составляет около n², а в методе Гаусса - 2/3 n³. Кроме того, в итерационных методах погрешность округления сказывается на окончательном результате решения значительно меньше, чем в прямых методах.

Весьма важным достоинством итерационных методов является их самоисправляемость, отмеченная ранее. Метод итерации и метод Зейделя особенно удобны при решении систем с разреженной матрицей коэффициентов, имеющей большинство элементов, равных нулю. В этом случае в памяти ЭВМ хранятся только ненулевые элементы таких матриц либо эти элементы вычисляются по мере необходимости по определенным выражениям.

Литература.

1. Данилина Н.И. и др. Вычислительная математика: Учеб. пособие для техникумов. – М.: Высш. шк., 1985, с. 97-146.

2. Демидович Б.П. Основы вычислительной математики: Учеб. пособие для высш. техн. учеб. заведений. М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960, с. 268-305, 474-477.

3. Копченова Н.Н., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. Учеб. пособие. – СПб.: Изд-во «Лань», 2008, с. 43-60, 77-86.

4. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов: Учеб. пособие. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005, с. 107-120,124-131.

Контрольные вопросы и упражнения для приобретения

Умений и навыков по теме 5

1. В общем случае систему m линейных уравнений с n неизвестными записывают в виде

. (1)

Как называются используемые в записи системы уравнений (1) обозначения a_ij, b_j, x_j? Как кратко записывается эта система уравнений?

Что является решением системы линейных уравнений? В каком случае система линейных уравнений имеет единственное решение?

2. Что называют матрицей системы (1) и что ее расширенной матрицей? При каком условии система линейных уравнений является совместной? Как устанавливают, совместна система или нет?

3. При каких условиях две системы линейных уравнений с одним и тем же числом неизвестных являются эквивалентными? Какие элементарные преобразования можно выполнять над заданной системой линейных уравнений с получением эквивалентной ей системы?

4. При каких условиях система линейных уравнений имеет единственное решение и бесконечное множество решений? Приведите теорему Крамера, определяющей совместность и единственность решения системы n линейных уравнений с n неизвестными.

5. Какие методы решения систем уравнений являются прямыми и, какие итерационными?

6. Поясните сущность метода Крамера решения системы линейных алгебраических уравнений. Методом Крамера решите систему уравнений

7. Какая идея составляет основу метода Гаусса? Какой элемент выбирается в качестве ведущего? Какому требованию должен удовлетворять ведущий элемент и почему?

8. Какие действия составляют прямой ход метода Гаусса? Как осуществляется контроль правильности выполненных действий в ходе преобразования системы?

9. Что составляет основу приближенных методов поиска решения системы линейных уравнений? В чем заключается сходимость итерационного метода?

10. Какова последовательность действий при решении системы линейных уравнений методом итерации? Выполнение каких условий обеспечивает сходимость итерационного процесса? При выполнении какого условия прекращают итерарационный процесс уточнения корней системы уравнений методом итерации?

11. Приведите систему уравнений

к нормальному виду и выполните методом итерации первые три итерации. Определите погрешность найденного приближенного решения системы.

12. В чем отличие метода Зейделя от метода итерации? Когда прекращают выполнение итерационного процесса вычисления решения системы уравнений методом Зейделя?

13. Найдите методом Зейделя решение системы уравнений вопроса 7, также выполнив три итерации, и определите погрешность найденного приближенного решения системы. Сделайте вывод об эффективности методов итерации и Зейделя с точки зрения погрешности получаемого решения при выполнении одинакового числа итераций.

14. Если исходная система линейных уравнений не удовлетворяет условию сходимости итерационного процесса, каким образом ее можно привести к эквивалентной ей системе, удовлетворяющей условию сходимости итерационного процесса? Выполните ваши преобразования для системы уравнений

15. Что понимается под свойством самоисправляемости итерационного метода?

Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 327; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 23

Мы поможем в написании ваших работ!