Интегрирование тригонометрических функций

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

Интегралы вида в общем случае вычисляются подстановкой (универсальная подстановка).

При этом , ,

и подынтегральная функция становится рациональной функцией от .

Задача 23. Найти .

Решение.

Делая подстановку и используя соответствующие формулы для , интеграл запишем в виде:

Ответ. .

Задача 24. Найти .

Решение. Выполним универсальную подстановку .

Тогда, используя указанные формулы для , получаем:

= = .

Ответ. .

!Интегралы вида , где - целые числа, удобно вычислять подстановкой .

!Интегралы вида , где - числа разной четности, вычисляются подстановкой , если четно и , если четно.

!Интегралы вида ; ; , где , вычисляются с использованием формул тригонометрии, преобразующих произведение тригонометрических функций в их сумму:

Задача 25. Найти .

Решение. В подынтегральную функцию входит четная степень , поэтому вводим новую переменную , тогда . Выполним следующие преобразования:

Ответ. .

Задача 26. Найти .

Решение. Воспользуемся формулой произведения синусов:

Ответ. .

Интегрирование иррациональных выражений

После соответствующей замены переменных многие иррациональные функции можно свести либо к рациональным дробям, либо к тригонометрическим выражениям, интегрирование которых будет рассмотрено ниже.

Для дробно-линейных иррациональностей удобной заменой является выбор в качестве новой переменной подкоренного выражения в степени , где р – наименьший общий знаменатель дробных степеней в подынтегральном выражении.

Задача 27. Найти .

Решение. Сделаем замену переменной: .

Тогда , Подставим полученные результаты в подынтегральное выражение:

Ответ.

При интегрировании квадратичных иррациональностей привести подынтегральное выражение к рациональному виду помогают тригонометрические замены:

, если в подынтегральную функцию входит ,

для ,

, если подынтегральная функция содержит , .

Задача 28. .

Решение. Выделив полный квадрат в квадратном трехчлене, получим:

, где u = x + 1. Теперь сделаем замену переменной: Подынтегральное выражение при этом примет вид:

Ответ.

Иногда от квадратичных иррациональностей можно избавиться с помощью замен другого типа.

Задача 29. .

Решение.

Сделаем так называемую обратную подстановку: , .

Тогда

Ответ.

!Интегралы вида ,

где - целые числа, сводятся к интегралу от рациональных функций заменой переменной , где - наименьшее общее кратное чисел (НОК ). Аналогичная подстановка делается, если вместо содержатся выражения вида или .