Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду.

Определение 3.4.4.1. Линия, определяемая общим уравнением второго порядка

, (3.41)

называется алгебраической линией второго порядка.

Для квадратичной формы можно задать матрицу

. (3.42)

Для того чтобы перейти к новой системе координат, в которой уравнение линии будет иметь канонический вид, необходимо провести два преобразования:

1) поворот координатных осей на такой угол, чтобы их направление совпало с направлением осей симметрии кривой (если она имеет две оси);

2) параллельный перенос, при котором начало координат совмещается с центром симметрии кривой (если он существует).

Замечание. Для параболы новые оси координат должны располагаться параллельно и перпендикулярно директрисе, а начало координат – совпасть с вершиной параболы.

Параллельный перенос.

Пусть задана система координат (О, е₁, е₂, е₃) и точка О′(a, b, c). Требуется параллельным переносом перенести систему координат в О’. При этом новый базис обозначим , старые координаты точки А - х, y, z, а новые x′, y′, z′ (рис. 3.14).

Рис.3.14. Параллельный перенос

Координаты векторов (a, b, c), вектора (x, y, z), (x′, y′, z′). И = + или Таким образом формулы параллельного переноса

(3.43)

Поворот системы координат (рис 3.15).

Рис. 3.15. Поворот на плоскости

Координаты новых базисных векторов i’(cosj, sinj), j’(–sinj, cosj). По формулам перехода к новому базису от старого раздела 2.9.3 получаем или (3.44)

Упрощение уравнений второго порядка.

Сначала осуществим поворот на угол j для того, чтобы избавиться от смешанного произведения переменных. Подставим в уравнение (3.41) формулы (3.44). После простых преобразований получаем, что коэффициент при x′, y′ равен . Приравниваем его к 0, из чего получаем следующее соотношение, позволяющее определить угол j:

(3.45)

Таким образом, нам удалось определить требуемый угол поворота. Исходное уравнение принимает вид

(3.46)

1) Если , то после выделения полного квадрата по каждой из переменных получаем

Осуществим параллельный перенос:

тогда исходное уравнение принимает вид

(3.47)

2) Если , , , то выделяя полный квадрат по х, получим

Осуществим параллельный перенос:

тогда исходное уравнение принимает вид

(3.48)

3) Если , , , то, выделяя полный квадрат по х, получим

Осуществим параллельный перенос:

тогда исходное уравнение принимает вид:

(3.49)

Классификация кривых второго порядка.

I. Рассмотрим уравнение (3.46)

а) если одного знака, уравнение называется уравнением эллиптического типа;

1) если D имеет другой знак, то при делении на –D получаем

– каноническое уравнение эллипса;

2) если D=0, уравнение имеет единственное решение , определяющее точку на плоскости или пару мнимых пересекающихся прямых;

3) если знак D противоположен знаку , уравнение после деления на D примет вид:

Множество его решений пусто (иногда это пустое множество называют мнимым эллипсом).

б) если разных знаков, то (3.47) называется уравнением гиперболического типа;

1) при оно сводится к одному из двух видов:

или , в зависимости от знака D. Оба этих уравнения определяют гиперболу.

2) при D=0 получаем уравнение эквивалентное двум линейным уравнениям и , задающим пару пересекающихся прямых.

II. Рассмотрим уравнение (3.48), после деления на получим уравнение , определяющее параболу.

III. Рассмотрим уравнение (3.49):

1) если разных знаков, то его можно привести к уравнению или , задающему пару параллельных прямых;

2) если одного знака, то уравнение можно привести к виду, не имеющему решений и, следовательно, не определяющему никакого геометрического образа (иногда это пустое множество называют пара мнимых параллельных прямых);

3) если D = 0, то уравнение преобразуется к уравнению , определяющему одну прямую (или пару слипшихся прямых).

Пример 3.9.

Найти каноническое уравнение линии второго порядка:

5x²+ 12xy – 22x – 12y – 19 = 0.

Решение.

Найдём угол поворота по формуле (3.45)

Осуществим поворот по формулам

тогда уравнение примет вид:

или

После параллельного переноса

получим 9Х²–4У²=36 или .

Это уравнение гиперболы с полуосями, соответственно, 2 и 3 и центром ( ). Координаты центра в исходной системе координат х = 1, y = 1.

Поверхности второго порядка

Определение 3.5.1 Поверхностью второго порядка называется множество точек трехмерного пространства, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению вида:

(3.50)

- уравнению второй степени от трех неизвестных, называемому общим уравнением поверхности второго порядка.

При переходе к ортонормированному базису собственных векторов исчезают все смешанные произведения переменных, и можно получить следующую классификацию поверхностей второго порядка:

I. Если , то уравнение преобразуется к виду

(3.51)

и его можно привести к одному из следующих видов:

1) если – одного знака, то уравнение (3.51) есть уравнение эллиптического типа и приводится к канонической форме

а) если D такого же знака

(3.52)

- каноническое уравнение эллипсоида (рис. 3.16).

Рис. 3.16. Эллипсоид

Замечание. Если хотя бы два коэффициента совпадают, эллипсоид называется эллипсоидом вращения и представляет собой поверхность, полученную в результате вращения эллипса вокруг одной из его осей. Если все коэффициенты равны, уравнение (3.51) становится уравнением сферы.

Пример 3.10.

Нарисуйте сферу .

Решение.

Выделив полные квадраты, получим . Значит, центром сферы является точка М₀(1; –2; 1), радиус сферы равен 2 (рис. 3.16).

Рис. 3.17. Сфера

б) если D = 0, получим следующее уравнение (3.53)

- уравнение задает точку в пространстве или мнимый конус;

в) если D другого знака, уравнение имеет вид (3.54)

- пустое множество или мнимый эллипсоид.

2. Если разных знаков, уравнение (3.51) приводится к виду:

а) - уравнение однополостного гиперболоида (3.55)

Рис. 3.18. Однополостный гиперболоид

б) - уравнение двуполостного гиперболоида (3.56)

Рис. 3.19. Двуполостный гиперболоид

в) - уравнение конуса второго порядка (3.57)

Рис. 3.20. Конус

II. Одно из чисел равно 0. Например, . При этом с помощью преобразований координат можно получить следующие формы уравнения (3.50):

а) - уравнение эллиптического параболоида (3.58)

Рис. 3.21. Эллиптический параболоид

Если a=b, то сечения плоскостями, параллельными плоскости Oxy, являются окружностями. В этом случае поверхность называется параболоидом вращения и может быть образована вращением параболы, лежащей в плоскости Oyz, вокруг оси Oz (рис. 3.22).

Рис. 3.22. Параболоид вращения

б) - уравнение гиперболического параболоида (3.59)

Рис. 3.23. Гиперболический параболоид (седло)

III. Если одно из чисел равно 0. Например, , тогда получаем такую же классификацию, как у кривых второго порядка на плоскости. Рассмотрим реально существующие поверхности: