Методика определение параметров наилучшей прямой аналитическим методом
Параметры наилучшей прямой можно определить не только графически, но и аналитически. Приведем соответствующие формулы. Пусть при значениях х i одной физической величины получены значения у i для другой величины (i=1, 2, ..., п). Наилучшая прямая (15) определяется по правилу «наименьших квадратов», т. е. параметрам а и b приписываются такие значения, при которых величина
(20)
имеет минимум. При этом получаются следующие формулы для нахождения наилучших значений а и b по измеренным: значениям х i, у i (i = 1, 2,..., п):
, 
, (21)
где
, 
, 
,
, 
(22)
При расчетах следует помнить, что в числителе первой формулы обычно вычитаются близкие по величине члены, что вызывает необходимость удерживать при вычислениях много значащих цифр.
Приведем формулу для определения параметра k: прямой (18), проходящей через начало координат:
. (23)
Укажем, наконец, формулы для оценки погрешностей параметров а, b и k:
, 
, 
, (24)
Входящая в формулы (24) дисперсия D(x) определяется по формуле (22). Аналогичным образом вычисляется и D(y), 
.
(25)
Вычисления удобно проводить, используя таблицы Exel.
2. Практическая часть:
1. Не нагружая нижней платформы, проверьте, пригодна ли установка для измерений, т. е. можно ли возбудить крутильные колебания, не возникают ли при этом паразитные маятникообразные движения платформы и т. д.
|
|
|
2. Возбудив в системе крутильные колебания, проверьте, достаточно ли хорошо выполняется неравенство (10). Добиваться большой точности при выполнении этого упражнения не имеет смысла. Это измерение рекомендуется выполнять при ненагруженной платформе.
3. Как видно из формулы (7), период колебаний платформы 
для достаточно малых значений 
, не должен зависеть от амплитуды , поэтому необходимо установить рабочий диапазон амплитуд. Возбудив в ненагруженной системе крутильные колебания, измерьте время 
в течении которого происходят 
полных колебаний. Найдите период 
, соответствующий некоторому начальному значению амплитуды 
. Затем, уменьшив амплитуду приблизительно вдвое, таким же способом, найдите соответствующий ей период 
. Если в пределах точности эксперимента окажется, что 
, то для дальнейших измерений можно выбрать любое значение 
. Если же окажется, что T 2 отличается от T 1, то начальное значение амплитуды φ1 необходимо уменьшать до тех пор, пока указанное равенство не будет выполнено.
4. Измерьте высоту 
и радиусы 
и 
. Рассчитайте константу прибора 
. Найдите величину погрешности 
.
|
|
|
5. Определите момент инерции ненагруженной платформы.
5.1. Измерение периода колебаний 
в этом и следующих упражнениях проводите с точностью не хуже чем 1%. Погрешность измерения времени определяется не секундомером, а временем реакции экспериментатора 
. Измерьте свое время реакции, как можно быстро включив и выключив секундомер.
5.2. Возбудите крутильные колебания в ненагруженной платформе, в соответствии с данными о начальной амплитуде из п. 3.
5.3. Измерьте время 
для 
колебаний.
5.4. Вычислите 
период колебаний ненагруженной платформы.
5.5. Определите момент инерции ненагруженной платформы 
по формуле (9), используя значения 
, вычисленное в п. 4.
6. Измерьте моменты инерции всех тел из имеющегося набора.
6.1. Помещать образцы надо так, чтобы центр масс каждого из них лежал на оси вращения системы, т. е. чтобы не было перекоса платформы. Для удобства размещения грузов на платформе имеется штифт, а на образцах – углубления.
6.2. Измерьте штангенциркулем длину и ширину нижней грани образца 1, данные занесите в таблицу 1.
6.3. Поместите образец нижней гранью на платформу, сохраняя его ориентацию, проведите измерение времени 
для колебаний как и в пункте 5.2 и 5.3, данные занесите в таблицу 1.
|
|
|
6.4. Поверните образец другой гранью вниз и повторите измерения п. 6.2 и п. 6.3 при новой 2 ориентации. Данные занесите в таблицу 1.
6.5. Еще раз поверните образец, третьей гранью вниз, повторите измерения п. 6.2 и п. 6.3 при новой 3 ориентации. Данные занесите в таблицу 1.
6.6. Запишите в таблицу массу образца. (Массы образцов приведены в таблице.2).
6.7. Проведите измерения аналогичные п.6.2 – п.6.6 для других 5 образцов из комплекта.
Таблица. 1
| № опыта | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
| № образца | ||||||||||||||||||
| Длина образца a, м | ||||||||||||||||||
| Ширина образца b, м | ||||||||||||||||||
| Масса образца m, кг | ||||||||||||||||||
| Число колебаний | ||||||||||||||||||
| Время измерения t, с | ||||||||||||||||||
| Период колебаний T, с | ||||||||||||||||||
Момент инерции нагруженной платформ.  р, кг∙м2
| ||||||||||||||||||
Момент инерции образца  , кг∙м2
| ||||||||||||||||||
 , м2
| ||||||||||||||||||
 , м2
|
6.8. По формуле (9) вычислите момент инерции 
нагруженной платформы с образцом для каждого из проведенных измерений. При вычислениях не забудьте учесть массу платформы 
. Данные занесите в таблицу 1.
|
|
|
6.9. Вычислите момент инерции образца 
, учитывая, что момент инерции нагруженной платформы равен сумме моментов инерции образца и ненагруженной платформы
Данные занесите в таблицу 1.
7. Постройте график, по оси ординат которого отложите отношение 
, а по оси абсцисс – . Найдите тангенс угла наклона графика и его погрешность.
7.1. Вычислите квадрат диагонали основания образцов 
для каждой из ориентаций. Данные занесите в таблицу 1.
7.2. Вычислите и занесите в таблицу 1 отношение 
7.3. На миллиметровой бумаге начертите оси координат, выберите масштаб по осям координат. Нанесите точки на график, в соответствии с полученными данными (см. таблицу 1).
7.4. В соответствии с методическими указаниями по обработке результатов измерений по графику (п. 1.2 теоретической части) проведите через точки на графике наилучшую прямую. Найдите тангенс угла наклона этой прямой 
, а также его погрешность 
. Запишите полученный результат.
7.5. В соответствии с методическими указаниями по определению параметров наилучшей прямой аналитическими методами (п. 1.3 теоретической части). Найдите тангенс угла наклона этой прямой 
, а также его погрешность 
. Запишите полученный результат.
8. Получите теоретическую зависимость между и для параллелепипеда. Запишите коэффициент пропорциональности 
.
9. Сравните экспериментальные значения коэффициентов пропорциональности 
и 
с теоретическим значением 
, с какой точностью ( 
или 
) они совпадают? Сделайте вывод.
Массы грузов, г Таблица.2
| № | 1 | 2 | 3 | текстолит |
| 1 | 87.3 | 126.5 | 154.3 | 17.2 |
| 2 | 136.3 | 192.6 | 234.3 | 33.2 |
| 3 | 188.5 | 255.0 | 313.0 | 43.0 |
| 4 | 235.1 | 321.6 | 389.6 | 51.3 |
| 5 | 281.4 | 383.9 | 468.4 | 61.9 |
| 6 | 328.5 | 448.9 | 545.3 | 71.6 |
| 7 | 79,5 |
3. Контрольные вопросы:
1. Какое уравнение называется основным уравнением динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси? Запишите его, поясните, какие величины входят в формулу.
2. Что характеризует момент инерции?
3. Запишите выражение определяющее момент инерции материальной точки относительно некоторой оси, дайте определение величинам, входящим в формулу.
4. Запишите выражение определяющее момент инерции системы материальных точек относительно некоторой оси, дайте определение величинам, входящим в формулу.
5. Запишите выражение определяющее момент инерции твердого тела относительно некоторой оси, дайте определение величинам, входящим в формулу.
6. Запишите выражение определяющее момент инерции однородного прямоугольника относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости прямоугольника, дайте определение величинам, входящим в формулу.
7. От чего зависит момент инерции тел?
8. Какая функция является решением дифференциального уравнения 
?
9. Какая функция описывает период колебания платформы?
10. Какие паразитные движения платформы могут возникнуть при проведении опыта?
11. От чего зависит период колебания платформы?
12. Запишите расчетную формулу, дайте определение каждой величине, входящей в неё.
13.Какую формулу можно использовать для оценки погрешности измерения константы прибора ?
14. Как изменится погрешность измерения углового коэффициента наклона прямой 
на экспериментальном графике зависимости от 
, если провести измерения для набора не из 6, а из 12 образцов?
15. Какие параметры образцов должны изменяться, а какие оставаться постоянными, чтобы в данной лабораторной работе получить зависимость момента инерции образца 
от его длины 
?
16. Выберите из предложенных вариантов, какой является полученная зависимость образца от его линейных размеров 
: a) линейной; b) нелинейной; c) параболической;
d) гиперболической; e) экспоненциальной.
17. Можно ли пользоваться предложенным методом для определения моментов инерции тел в том случае, если ось вращения платформы не проходит через их центр масс?
18. Как надо устанавливать грузы на платформу, чтобы период колебаний маятника слабо зависел от массы груза (для грузов из одного набора)?
Литература
1. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. I. Механика.- М.: Наука, 1979у §§ 35, 36, 42.
2. Стрелков С. П. Механика.- М.: Наука, 1975, §§ 52, 55, 59.
3. Хайкин С. Э. Физические основы механики.-М.: Наука, 1971, §§67, 68;. 89.
4. Лабораторные занятия по физике: Учебное пособие/ Гольдин Л.Л., Игошин Ф.Ф., Козел С.М. и др.; Под ред. Гольдина Л.Л. – Наука, 1983. – 704 с.
Составители:
Бокатая Е.Л. – ст. преподаватель кафедры физики и высшей математики;
Борботко Е.П. - ст. преподаватель кафедры физики и высшей математики;
Федоренчик Е.В. - ст. преподаватель кафедры физики и высшей математики.
Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 565; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!