Методика обработки результата измерений по графику
Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Международный государственный экологический университет им. А.Д. Сахарова Факультет мониторинга окружающей среды Кафедра физики и высшей математики
Лабораторная работа № 4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Минск
2014
Лабораторная работа № 4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Цель работы: овладеть методом измерения моментов инерции твердых тел с помощью трифилярного подвеса, измерить моменты инерции набора параллелепипедов, сравнить полученные экспериментальные значения коэффициента пропорциональности с теоретическим значением.
Приборы и оборудование: трифилярный подвес; секундомер; линейка; штангенциркуль; набор тел, подлежащих измерению.
1. Теоретическая часть:
Основные теоретические сведения
Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси формулируется так: произведение момента инерции твердого тела относительно неподвижной оси вращения на угловое ускорение тела равно результирующему моменту сил, действующих на тело относительно этой оси:
,
где 
– суммарный момент внешних сил, действующих на тело, относительно неподвижной оси, 
– момент инерции тела, относительно неподвижной оси, 
– его угловая скорость, 
- угловое ускорение, первая производная угловой скорости по времени.
|
|
|
Это уравнение аналогично уравнению Ньютона для движения материальной точки: роль силы играет ее момент, роль скорости – угловая скорость, роль массы – момент инерции.
Момент инерции характеризует инерционные свойства твердого тела при вращательном движении. Чем больше момент инерции, тем труднее изменить скорость вращения тела.
Момент инерции материальной точки относительно некоторой оси
,
где 
– масса точки, 
– расстояние до оси вращения.
Для системы материальных точек момент инерции относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции каждой из точек, относительно этой оси.
где 
- масса 
-той материальной точки системы, 
- расстояние -той материальной точки до оси вращения.
Момент инерции J сплошного тела относительно некоторой оси определяется выражением
где 
– расстояние от элемента массы 
до оси вращения.
В простых случаях значение момента инерции можно определять расчетом.
Например:
момент инерции полого цилиндра (а также тонкого кольца, как частный случай полого цилиндра с малой высотой) относительно продольной оси, проходящий через центр масс, 
, где – масса кольца, 
– его радиус.
|
|
|
момент инерции однородного цилиндра (а также диска) относительно продольной оси, проходящий через центр масс, 
, где – масса цилиндра, – его радиус;
момент инерции однородной сферы относительно оси, проходящей через центр масс, 
, где – масса сферы, – ее радиус;
момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной стержню,
, где – масса стержня, 
– его длина;
момент инерции однородного прямоугольника относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости прямоугольника, 
, где – масса прямоугольника, 
и 
– его длина и ширина;
Из вышеприведенных примеров видно, что момент инерции зависит не только от массы тела, расстояния до оси вращения, но также и от его геометрической формы. Например, момент инерции полого цилиндра отличается от момента инерции однородного цилиндра. В полом цилиндре каждая точка вносит одинаковый вклад в момент инерции, поскольку все точки находятся на одинаковом расстоянии от оси. В однородном цилиндре точки, расположенные ближе к оси, вносят меньший вклад в момент инерции. Поэтому при одинаковых массах момент инерции полого цилиндра больше момента инерции сплошного однородного цилиндра.
|
|
|
В тех случаях, когда распределение массы заранее неизвестно, момент инерции приходится находить экспериментальным путем. Одним из удобных методов измерения моментов инерции твердых тел является метод трифилярного подвеса.
 |
Устройство такого подвеса показано на рис. 1. Подвижная платформа Р' подвешена к платформе Р на трех симметрично расположенных нитях AA’, ВВ’ и СС’. Платформа Р укреплена на вертикальной оси, вокруг которой она может вращаться с достаточно большим трением. Если платформу резко повернуть, то в системе возникнут крутильные колебания. Если повернуть нижнюю платформу Р’ вокруг вертикальной оси на некоторый угол φ0 относительно верхней, то возникает момент сил, стремящийся вернуть платформу в положение равновесия. В результате этого платформа начинает совершать крутильные колебания.
Рис. 1. Трифилярный подвес.
Рассмотрим теорию трифилярного подвеса. Если пренебречь трением, то на основании закона сохранения энергии для колеблющейся платформы можно написать следующее уравнение:
(1)
где 
- момент инерции платформы вместе с исследуемым телом, 
- масса платформы с телом, 
- полная энергия системы,. 
- начальная координата точки 
при 
, 
- координата точки при текущем значении 
. Точкой 
обозначено дифференцирование по времени.
|
|
|
Как следует из рис. 1, координаты точки 
равны 
,а точка 
имеет координаты 
.
Расстояние между точками и равно длине нити 
. Поэтому по теореме Пифагора
,
или с учетом того, что для малых углов 
получим:
. (2)
Откуда
(3)
Подставив это значение 
в уравнение (1), получим:
(4)
Продифференцировав последнее выражение по времени и сократив на 
, получим уравнение движения системы:
(5)
Нетрудно убедиться непосредственной подстановкой, что решение этого уравнения имеет вид
(6)
где амплитуда 
и фаза Θ определяются начальными условиями.
Следовательно, период колебаний системы Т:
(7)
Откуда момент инерции:
. (8)
Учитывая, что параметры установки 
во время опыта не меняются, формулу (8) удобно записать в виде
, где 
; (9)
- для данного прибора постоянно. Формула (9) позволяет вычислить момент инерции платформы с телом и без него по измеренной величине периода 
крутильных колебаний.
Как следует из вывода, формула (8) справедлива при отсутствии потерь энергии на трение. Учет таких потерь весьма затруднителен. Однако поправки оказываются небольшими, если потери энергии за период малы по сравнению с энергией колебаний системы. Таким образом, формулы (8) и (9), справедливы, если
(10)
где 
- время, в течение которого амплитуда колебаний платформы существенно уменьшается (в 2 - 3 раза).
В данной работе значения рекомендуется измерять с точностью не хуже чем 1%. Этим условием определяется время и полное число колебаний платформы, которое необходимо отсчитать в процессе измерений.
Методика обработки результата измерений по графику
Результаты экспериментов обычно представляют не только в виде таблиц, но и в графической форме. Для графиков следует использовать специальную бумагу (миллиметровую, логарифмическую или полулогарифмическую). При построении графиков следует разумно выбирать масштабы, чтобы измеренные точки располагались на всей площади, листа. Графическое представление результатов позволяет быстро понять основные характерные черты наблюдаемой зависимости и обнаружить ошибочные результаты.
Точки, наносимые на графики, должны изображаться четко и ясно. Их следует отмечать карандашом, так как иначе ошибочно нанесенную точку нельзя удалить с графика, не испортив его. Способ изображения на графике экспериментальных результатов зависит от того, известна ли их погрешность. Если она неизвестна (что чаще всего и бывает), то результаты изображаются точками, а если известна, то лучше изображать их не точками, а крестами. Полуразмер креста по горизонтали должен быть равен стандартной погрешности по оси абсцисс, а его вертикальный полуразмер – погрешности по оси ординат. Оси графика должны иметь ясные, четкие обозначения. Рядом сделениями – на удобных расстояниях – должны быть нанесены цифры, позволяющие установить значения, соответствующие делениям шкалы. Цифры принято располагать по краям сетки.
Через экспериментальные точки всегда следует проводить самую, простую кривую, совместимую с этими точками, т. е. кривую, от которой экспериментальные данные отступают, как правило (в 2/3 случаев), не более чем на стандартную ошибку. При проведении кривой нужно следить за тем, чтобы на каждом достаточно большом ее участке экспериментальные точки располагались как выше, так и ниже кривой. При графической обработке результатов следует помнить, что на глаз можно точно провести через экспериментальные точки только прямую линию. Поэтому при построении графика следует стремиться к тому, чтобы ожидаемая зависимость имела вид прямой линии.
Задача о проведении наилучшей прямой сводится в этом случае к подбору параметра в формуле
(15)
Приведем правила для определения погрешностей, которые следует приписывать графически найденным параметрам прямой линии. Пусть прямая описывается формулой (15).
Чтобы найти погрешность в определении параметра а, нужно смещать прямую вниз параллельно самой себе, пока выше нее не окажется вдвое больше точек, чем снизу.(Нижняя пунктирная линия на рисунке 6) Затем следует сместить ее вверх, пока снизу не окажется вдвое больше точек, чем сверху. (Верхняя пунктирная линия на рис.6)
Наилучшей прямой будет средняя прямая, между проведенными прямыми по правилам.
Пусть смещение между этими прямыми равно 
(см. рис. 6). Погрешность в определении параметра а равна
(16)
где п – полное число точек на графике.
Погрешность в определении параметра b находится аналогичным образом (рис. 7). «Рабочий участок» оси абсцисс (участок, на котором расположены экспериментальные точки) делится на три равные части. Средний участок в дальнейшей работе не участвует. Для определения σb прямая поворачивается так, чтобы на левом участке выше нее оказалось вдвое больше точек, чем под ней, а на правом участке – наоборот. Затем кривая поворачивается так, чтобы на левом участке 2/3 точек лежали ниже прямой, а на правом – выше нее. Обозначим разницу в угловых коэффициентах этих прямых через Δb. Тогда
, (17)
где п – полное число точек на графике.
В качестве наилучшей прямой будет средняя прямая (проведенная как биссектриса).
Если экспериментальная прямая точно проходит через начало координат и может быть задана формулой
(18)
«Рабочим» участком в этом случае является весь диапазон по оси X от нуля до последней точки.Его следует разбить на три части и самую левую – ближнюю к началу координат – часть во внимание не принимать. Затем нужно провести через начало координат две прямые так, чтобы выше одной из них лежало 2/3 точек, а выше другой – 1/3. Различие между этими прямыми определяет Δk. Стандартная погрешность находится по формуле
, (19)
где п – полное число точек на графике.
Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 206; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!