Моменты инерции некоторых геометрических тел



Тело

J

Тело

J
Цилиндр с тонкими стенками радиусом R mR2

Сплошной

однородный 

стержень

длиной L

1 / 12 mL2
Сплошной однородный диск или цилиндр радиусом R ½mR2 1 / 3 mL2
Сфера сплошная однородная  радиусом R 2/5 mR2 Прямоугольная призма со сторонами основания  c и  b   1 / 12 m *(c2 +b2}

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

 

КРУЧЕНИЕ

 

Деформация кручения возникает, если стержень (рассмотрим круглый стержень) закрепить одним концом неподвижно, а к другому концу приложить вращательный момент , имеющий направление вдоль стержня, то стержень получит деформацию, при которой его верхнее основание отклонится по отношению к нижнему на некоторой угол φ (см. рис. 3).

 

Закон Гука для деформации кручения имеет вид:

M = fφ ,                         (6)

где f - модуль кручения, который является характеристикой материала стержня.

Выберем мысленно из стержня кольцо с радиусом r , толщиной dr и высотой dl (см. рис. 4). Если кольцо разбить на кубики (прямоугольные призмы), то каждый из них будет иметь одинаковую деформацию сдвига, угол сдвига при этом будет dγ .

 

 


Рис.4

 

 

Верхнее основание кольца смещается относительно нижнего на угол dφ .  Тогда смещение ds  верхней поверхности кольца относительно нижней поверхности будет

ds = rdφ = dl dγ ,

отсюда найдем угол сдвига:          .

Тангенциальное напряжение при деформации сдвига определяется формулой ,        где F - касательная сила,    S - площадь сдвигаемого слоя,

Закон  Гука  для деформации сдвига τ = G γ , здесь G - модуль сдвига, зависящий от материала деформируемого тела., а γ - угол сдвига.

 

Тангенциальное напряжение для нашего случая запишется:

 Можно найти тангенциальное усилие dF на поверхности кольца площадью dS =2 πrdr .  Это будет

Момент этого усилия          

Общий момент усилия по всей поверхности поперечного сечения стержня

,          где R = r + dr

Угол закручивания φ торцевых сечений, находящегося на расстоянии L друг от друга равен , в то же время имеем

Тогда ,   но поскольку M = fφ ,      то     (7)

 


Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 44; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ