Взаимное пересечение поверхностей

СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СЕКУЩИХ ПЛОСКОСТЕЙ

Задача Построить линию пересечения конуса с треугольной призмой.

Алгоритм решения задачи Сущность способа вспомогательных секущих плоскостей заключается в том, что для построения точек принадлежащих линии пересечения, вводится ряд вспомогательных секущих плоскостей, которые пересекали бы обе поверхности по графически простым линиям (окружностям и прямым). В пересечении контуров полученных сечений находят общие для двух поверхностей точки. Этот способ применяется как при взаимном пересечении кривых поверхностей, так и при пересечении кривых поверхностей с многогранниками.

Проводим вспомогательные секущие горизонтальные плоскости уровня (P, Q и S), пересекающие конус по окружностям, а призму по прямым. Следует найти точки пересечения этих прямых с соответствующими окружностями. Определить видимость геометрических фигур (рисунок 12).

Рисунок 12 – Пересечение конуса с треугольной призмой

Задача Построить линию пересечения конуса вращения с полусферой

Алгоритм решения задачи Для решения задачи могут быть использованы вспомогательные горизонтальные плоскости уровня, пересекающие обе поверхности по окружностям. С помощью таких плоскостей можно построить любое число произвольных точек. Данные точки соединяют плавной линией с учетом видимости точек (рисунок 13).

Рисунок 13 – Пересечение конуса вращения с полусферой

СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР

Задача Построить линию пересечения двух цилиндров, оси которых пересекаются и параллельны плоскости V

Алгоритм решения задачи Способ вспомогательных концентрических сфер применяется, если:

- обе поверхности – поверхности вращения;

- оси поверхностей пересекаются;

- общая плоскость симметрии тел параллельна какой-либо плоскости проекций.

Точку пересечения осей вращения принимают за центр концентрических сферических поверхностей и проводят ряд сфер, пересекающих обе поверхности.

В пересечении контуров получаемых окружностей находят общие для двух поверхностей точки. Наименьшей вспомогательной сферической будет поверхность, вписанная в большее тело.

Сфера наибольшего радиуса не должна выходить за наиболее удаленную точку пересечения тел.

Промежуточные сферы строятся произвольными радиусами и должны располагаться между наименьшей и наибольшей вспомогательными сферами.

При решении данной задачи:

1 Находим опорные точки – точки пересечения крайних образующих цилиндра с наклонной осью с крайней правой образующей вертикального цилиндра. Это будут высшая и низшая точки линии пересечения (А_v и В_v).

2 Для построения промежуточных точек проводится ряд концентрических сфер, центры которых, будут лежать в точке пересечения осей заданных цилиндров (О_v).

3 Наименьшей сферической поверхностью здесь будет поверхность, вписанная в вертикальный цилиндр. Эта сфера касается вертикального цилиндра по окружности, которая проецируется в прямую 1v=2v, а наклонный цилиндр пересекает по окружности, проецирующуюся в прямую 3v=4v. Точка пересечения этих прямых (проекций окружностей) С_v и будет общей для обоих цилиндров.

4 Для построения случайных (промежуточных) точек проведем ряд концентрических сфер. Рассмотрим построение этих точек на примере построения точки D _v.

5 Проводим сферу, радиус которой больше радиуса окружности основания вертикального цилиндра. Эта сфера пересекает цилиндры по окружностям, проецирующим в прямые 5_v-6_v и 7_v-8_v. Точка пересечения этих прямых (D _v) и будет точкой, принадлежащей линии пересечения двух цилиндров.

6 Остальные точки строятся аналогично.