Пример метода 1-х интегралов при решении линейного однородного ДУЧП

Квазилинейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка .

Опр.: Квази-линейным ур-ем 1го порядка наз. ур-я , (3) где a_i(x₁,…,x_n,U), i=1,..,n , f(x₁,…,x_n,U), i=1,..,n – функции определённые в некоторой обл. D Є Rⁿ⁺¹.

Система уравнений характеристик для квазилинейного уравнения имеет вид:

. (4)

Те-ма: Если ψ_i(x₁,…,x_n)=с_i, i=1,..,n первые независимые интегралы уравнений характеристик(4) то все решения ур. (3) определяются из равенства Ф(ψ₁,…, ψ_n)=0.

Пример метода 1-х интегралов при решении квазилинейного ДУЧП

Устойчивость по Ляпунову. Функции Ляпунова. Устойчивость по первому приближению .

Определение функции Ляпунова

Определение. Решение , системы (1,1) определённое на и удовлетворяющее начальным условиям , , называется устойчивым по Ляпунову,если для любого существует такое, что любое решение , , системы (1), начальные данные которого удовлетворяют условиям

, (3.1) определено на и выполняются неравенства , (3.2)

для всех . Если кроме выполнения неравенств (3.2) при условии (3.1) выполняется также условие

, , (3.3), то решение , называется асимптотически устойчивым.

Если при сколь угодно малом хотя бы для одного решения неравенства (3.2) не выполняются, то решение , называется неустойчивым.

Отметим, что из выполнения условий (3.3) не следует устойчивость по Ляпунову.Решение , системы (1.1), отвечающее начальным условиям , , называют невозмущённым, а решения , этой же системы при любых других начальных условиях , называют возмущёнными.

Геометрически устойчивость по Ляпунову решения , уравнения , удовлетворяющего начальному условию , означает, что сколь угодно узкая -трубка решения , содержит все решения , уравнения, которые при отличаются от не более чем на (рис. 3.1). Асимптотическая устойчивость решения , уравнения означает не только близость к нему всех решений , уравнения, вытекающая из близости их к при , но и неограниченное сближение их с при . На рис. 3.2 показана асимптотическая устойчивость решения дифференциального уравнения. Исследование устойчивости решения , системы (1.1) может быть сведено к исследованию устойчивости нулевого решения. В системе (1.1) введём новые неизвестные функции , . Очевидно, функции , удовлетворяют системе уравнений , (3.4), где , , . Устойчивость по Ляпунову (или асимптотическая устойчивость) решения , системы (1.1) равносильна устойчивости по Ляпунову (или асимптотической устойчивости) решения , системы уравнений (3.4)

Пример. Исследуем устойчивость решение задачи Коши , ( - постоянная), .

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид ( - произвольная постоянная) и определено для всех . Решение данной задачи Коши есть . (3.5). При решение (3.5) устойчиво по Ляпунову. При всех для любого и если , то . При , т.е. решение (3.5) устойчиво асимптотически. При если , т.е. решение (3.5) устойчиво по Ляпунову, но не асимптотически устойчиво. При и и, следовательно, решение (3.5) неустойчиво.