Основные операции над матрицами
Сложение матриц. Суммой двух матриц и одной и той же размерности называется матрица той же размерности такая, что .
Итак, можно складывать только матрицы одной и той же размерности. При сложении матриц складываются соответствующие элементы.
Пример 1.6.
Найдите сумму матриц и .
— нуль-матрица размерности .
Из определения суммы следует, что сложение матриц подчинено:
а) коммутативному закону ;
б) ассоциативному закону
;
в) — закон поглощения нуля.
Умножение матрицы на число. Произведением матрицы на число (или на матрицу ) называется матрица , где , т.е. при умножении матрицы на число надо все элементы матрицы умножить на это число.
Пример 1.7.
2 .
Свойства операции умножения матрицы на число:
а) (ассоциативность);
б) (дистрибутивность относительно сложения чисел);
в) (дистрибутивность относительно сложения матриц);
г) .
Пример 1.8. Найдите , где , .
.
Умножение матриц. Произведением матрицы размерности на матрицу размерности называется матрица размерности такая, что , , .
Умножать матрицы и можно лишь в том случае, когда число столбцов первого сомножителя (число элементов в каждой строке матрицы ) совпадает с числом строк второго сомножителя (число элементов в каждом столбце ). В частности для квадратных матриц одинакового порядка определены оба произведения и , и матрицы произведения являются матрицами того же порядка
|
|
Пример 1.9. Пусть , . Найдите произведения и (если это возможно).
.
Произведение не существует, так как число столбцов матрицы не совпадает с числом строк матрицы .
Пример 1.10. Пусть , . Найдите произведения и (если это возможно).
. .
Из приведенных выше примеров ясно, что в общем случае .
Коммутирующими называют матрицы и , если для них выполнено условие .
Свойства операции умножения матриц:
а) ассоциативность: если определено одно из произведений или , то определено также и второе произведение, и имеет место выше приведённое равенство ;
б) дистрибутивность: если — такая матрица, что определено произведение , то определены произведения и и верно равенство ( и — матрицы одинаковых размеров);
в) дистрибутивность: если — такая матрица, что определено произведение , то определены произведения и и верно равенство ( и — матрицы одинаковых размеров);
г) .
Транспонированная матрица
Транспонированием матрицы называется такое её преобразование, при котором строки этой матрицы становятся её столбцами с теми же номерами.
, .
Транспонированная матрица обозначается или .
Если , т.е. , то матрица называется симметрической.
|
|
Пример Транспонируйте матрицу .
.
4) Собственные векторы и значения матриц
Определение. Число называется собственным значением квадратной матрицы А, если найдется вектор такой, что А· = · . Вектор называется собственным вектором матрицы А, соответствующим данному собственному значению.
Теорема 1 . Собственные значения матрицы А являются решениями уравнения
Это уравнение называетсяхарактеристическим уравнениемматрицы А.
Теорема 2 . Число различных собственных значений квадратной матрицы не превосходит ее порядка. Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.
Пример. Пусть дана матрица . Составим и решим характеристическое уравнение.
Вектор (2с,с) будет являться собственным вектором, соответствующим собственному значению 2.
Вектор (с,с) будет являться собственным вектором, соответствующим собственному значению 3.
Векторы (2с,с) и (с,с) линейно независимы. Так как они двухмерные, то они образуют базис пространства Е2.
Дата добавления: 2018-10-26; просмотров: 393; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!