Ядро или нуль пространство матрицы
Вопросы к зачету
по дисциплине «Математика»
Курс, 1 семестр
1. Понятие матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами. Собственные значения.
2. Определитель квадратной матрицы. Теорема Лапласа. Свойства определителей.
3. Обратная матрица. Алгоритм вычисления обратной матрицы. Собственные значения матрицы.
4. Системы линейных уравнений. Основные понятия.
5. Системы линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Теорема Крамера.
6. Системы линейных уравнений. Элементарные преобразования. Метод Гаусса. Понятие ранга матрицы. Теорема Кронекера-Капелли.
7. Второй метод вычисления обратной матрицы. Упрощённый метод вычисления определителя.
8. Различные виды уравнений прямой на плоскости.
9. Основные задачи с прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
10. Различные виды уравнения плоскости в пространстве.
11. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости.
12. Уравнения прямой в пространстве.
13. Кривые второго порядка, канонические уравнения окружности и эллипса.
14. Кривые второго порядка, канонические уравнения гиперболы и параболы.
15. Векторы. Основные понятия. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Свойства.
16. Основные задачи в координатах. Скалярное произведение векторов и его свойства.
17. Выпуклые множества, свойства.
18. Понятие функции. График. Основные свойства функции. Обратная функция.
|
|
|
19. Основные элементарные функции. Суперпозиция функций. Виды преобразований графиков функций.
20. Последовательность. Предел числовой последовательности. Свойства.
21. Предел функции в точке и на бесконечности. Свойства.
22. Признак существования предела последовательности. Односторонние пределы.
23. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Связь между ними. Эквивалентные бесконечно малые функции.
Билет 1. Понятие матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами. Собственные значения.
1) Матрицами называются массивы элементов, представленные в виде прямоугольных таблиц, для которых определены правила математических действий. Элементами матрицы могут являться числа, алгебраические символы или математические функции.
Матричная алгебра имеет обширные применения в различных отраслях знания – в математике, физике, информатике, экономике. Например, матрицы используется для решения систем алгебраических и дифференциальных уравнений, нахождения значений физических величин в квантовой теории, шифрования сообщений в Интернете.
Матрица обозначается одной из заглавных букв латинского алфавита, а набор ее элементов помещается в круглые скобки: (1)
|
|
|
Матрицей размера 
называется прямоугольная таблица, содержащая 
чисел, состоящая из 
строк и 
столбцов.
Обознчение
Таблица берется либо в круглые скобки, либо окружается двумя параллельными вертикальными прямыми.
Пример
Если матрица содержит строк и столбцов, то матрица называется матрицей размера или -матрицей. Размер матрицы указывается справа внизу возле ее имени, либо таблицы с обозначением элементов.
Пример
Элементы матрицы
Элементы матрицы 
обозначаются 
, где 
- номер строки, в которой находится элемент, а 
- номер столбца.
Пример
Задание. Чему равен элемент 
матрицы 
?
Решение. Находим элемент, который стоит на пересечении второй строки и третьего столбца:
Таким образом, 
.
Ответ.
Определение
Строка матрицы называется нулевой, если все ее элементы равны нулю. Если хотя бы один из элементов строки не равен нулю, то строка называется ненулевой.
Замечание. Аналогичное определение и для нулевого и ненулевого столбцов матрицы.
Пример
В матрице 
первая строка является нулевой (любой элемент этой строки равен нулю); вторая строка ненулевая, так как элемент 
.
Диагонали
Определение
Главной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний.
|
|
|
Побочной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого нижнего угла матрицы в правый верхний.
Пример
: 1 и 6 - элементы главной диагонали.
: 3 и 4 - элементы побочной диагонали.
Для матрицы 
элементы 1, 2, -1 образуют главную диагональ; а элементы 3, 2, 2 - побочную.
2) Виды
Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел с некоторым количеством m строк и с некоторым количеством n столбцов. Числа m и n называются порядками или размерами матрицы.
Матрица порядка m × n записывается в форме:
или 
(i=1,2,...m; j=1,2,...n).
Числа aij входящие в состав данной матрицы называются ее элементами. В записи aij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j- номер столбца.
Матрица строка
Матрица размером 1×n, т.е. состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой. Например: 
Матрица столбец
Матрица размером m×1, т.е. состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом.
Например 
Нулевая матрица
Если все элементы матрицы равны нулю,то матрица называется нулевой матрицей
Например 
Квадратная матрица
Матрица A порядка m×n называется квадратной матрицей, если количество строк и столбцов совпадают: m=n. Число m=n называется порядком квадратной матрицы. Например: 
|
|
|
Главный диагональ матрицы
Элементы расположенные на местах a11, a22 ,..., ann образуют главный диагональ матрицы.
Например:
В случае m×n -матриц элементы aii ( i=1,2,...,min(m,n)) также образуют главный диагональ.
Например:
Элементы расположенные на главной диагонали называются главными диагональными элементами или просто диагональными элементами .
Побочный диагональ матрицы
Элементы расположенные на местах a1n, a2n-1 ,..., an1 образуют побочный диагональ матрицы.
Например: 
Диагональная матрица
Квадратная матрица называется диагональной, если элементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю. Пример диагональной матрицы: 
Единичная матрица
Квадратную матрицу n-го порядка, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей и обозначается через E или E^n, где n - порядок матрицы. Единичная матрица порядка 3 имеет следующий вид: 
След матрицы
Сумма главных диагональных элементов матрицы A называется следом матрицы и обозначается Sp A или Tr A. Например:
Верхняя треугольная матрица
Квадратная матрица ||aij|| порядка n×n называется верхней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные под главной диагональю, т.е. aij=0, при всех i>j .
Например:
Нижняя треугольная матрица
Квадратная матрица ||aij|| порядка n×n называется нижней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные над главной диагональю, т.е. aij=0, при всех i<j.
Например:
Cтроки матрицы A образуют пространство строк матрицы и обозначаются через R(AT).
Cтолбцы матрицы A образуют пространство столбцов матрицы и обозначаются через R(A).
Ядро или нуль пространство матрицы
Множесто всех решений уравнения Ax=0, где A- mxn-матрица, x- вектор длины n - образует нуль пространство или ядро матрицы A и обозначается через Ker(A) или N(A).
Противоположная матрица
Для любой матрицы A сущеcтвует противоположная матрица -A такая, что A+(-A)=0. Очевидно, что в качестве матрицы -A следует взять матрицу (-1)A, элементы которой отличаются от элементов A знаком. Кососимметрическая матрица
Кососимметрической называется квадратная матрица, которая отличается от своей транспонированной матрицы множителем −1: AT=−A.
В кососимметрической матрице любые два элемента, расположенные симметрично относительно главной диагонали отличаются друг от друга множителем −1, а диагональные элементы равны нулю.
Пример кососимметрической матрицы:
Разность матриц
Разностью C двух матриц A и B одинакового размера определяется равенством
C=A+(-1)B.
Для обозначения разности двух матриц используется запись:
C=A-B.
Степень матрицы
Пусть 
квадратная матрица размера n×n. Тогда степень матрицы определяется следующим образом:
A0=E, где E-единичная матрица.
Из сочетательного свойства умножения следует:
где p,q- произвольные целые неотрицательные числа.
Симметрическая матрица
Матрица, удовлетворяющая условию A=AT называется симметрической матрицей.
Для симметрических матриц 
имеет место равенство: aij=aji ; i=1,2,...n, j=1,2,...n.
Дата добавления: 2018-10-26; просмотров: 1000; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!