Билет 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия.
Система линейных уравнений — это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Записывается это так:
Решение системы уравнений — это последовательность чисел (k1, k2, ..., k n), которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке в это уравнение вместо переменных x1, x2, ..., x n дает верное числовое равенство.
Соответственно, решить систему уравнений — значит найти множество всех ее решений или доказать, что это множество пусто. Поскольку число уравнений и число неизвестных может не совпадать, возможны три случая:
1. Система несовместна, т.е. множество всех решений пусто. Достаточно редкий случай, который легко обнаруживается независимо от того, каким методом решать систему.
2. Система совместна и определена, т.е. имеет ровно одно решение. Классический вариант, хорошо известный еще со школьной скамьи.
3. Система совместна и не определена, т.е. имеет бесконечно много решений. Это самый жесткий вариант. Недостаточно указать, что «система имеет бесконечное множество решений» — надо описать, как устроено это множество.
Переменная x i называется разрешенной, если она входит только в одно уравнение системы, причем с коэффициентом 1. Другими словами, в остальных уравнениях коэффициент при переменной x iдолжен быть равен нулю.
Если в каждом уравнении выбрать по одной разрешенной переменной, получим набор разрешенных переменных для всей системы уравнений. Сама система, записанная в таком виде, тоже будет называться разрешенной. Вообще говоря, одну и ту же исходную систему можно свести к разным разрешенным, однако сейчас нас это не волнует. Вот примеры разрешенных систем:
|
|
|
Обе системы являются разрешенными относительно переменных x1, x3 и x4. Впрочем, с тем же успехом можно утверждать, что вторая система — разрешенная относительно x1, x3 и x5. Достаточно переписать самое последнее уравнение в виде x5 = x4.
Теперь рассмотрим более общий случай. Пусть всего у нас k переменных, из которых r являются разрешенными. Тогда возможны два случая:
1. Число разрешенных переменных r равно общему числу переменных k: r = k. Получаем систему из k уравнений, в которых r = kразрешенных переменных. Такая система является совместной и определенной, т.к. x1 = b1, x2 = b2, ..., x k = b k;
2. Число разрешенных переменных r меньше общего числа переменных k: r < k. Остальные (k − r) переменных называются свободными — они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.
Так, в приведенных выше системах переменные x2, x5, x6 (для первой системы) и x2, x5 (для второй) являются свободными. Случай, когда есть свободные переменные, лучше сформулировать в виде теоремы:
|
|
|
Обратите внимание: это очень важный момент! В зависимости от того, как вы запишете итоговую систему, одна и та же переменная может быть как разрешенной, так и свободной. Большинство репетиторов по высшей математике рекомендуют выписывать переменные в лексикографическом порядке, т.е. по возрастанию индекса. Однако вы совершенно не обязаны следовать этому совету.
Теорема. Если в системе из n уравнений переменные x1, x2, ..., x r — разрешенные, а x r + 1, x r + 2, ..., x k — свободные, то:
1. Если задать значения свободным переменным (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k), а затем найти значения x1, x2, ..., x r, получим одно из решений.
2. Если в двух решениях значения свободных переменных совпадают, то значения разрешенных переменных тоже совпадают, т.е. решения равны.
В чем смысл этой теоремы? Чтобы получить все решения разрешенной системы уравнений, достаточно выделить свободные переменные. Затем, присваивая свободным переменным разные значения, будем получать готовые решения. Вот и все — таким образом можно получить все решения системы. Других решений не существует.
Вывод: разрешенная система уравнений всегда совместна. Если число уравнений в разрешенной системе равно числу переменных, система будет определенной, если меньше — неопределенной.
|
|
|
И все бы хорошо, но возникает вопрос: как из исходной системы уравнений получить разрешенную? Для этого существует метод Гаусса.
Определение СЛАУ
Определение
Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида:
Упорядоченный набор значений 
называется решением системы, если при подстановке в уравнения все уравнения превращаются в тождество.
Задание. Проверить, является ли набор 
решением системы 
Решение. Подставляем в каждое из уравнений системы 
и 
:
Так как в результате подстановки получили верные равенства, то делаем вывод, что заданный набор является решением указанной СЛАУ.
Ответ. Набор является решением системы
Виды систем
Определение
СЛАУ называется совместной, если она имеет, хотя бы одно решение. В противном случае система называется несовместной.
Пример
Система является совместной, так как она имеет, по крайней мере, одно решение ,
Пример
Система 
является несовместной, так как выражения, стоящие в левых частях уравнений системы равны, но правые части не равны друг другу. Ни для каких наборов 
это не выполняется.
|
|
|
Определение
Система называется определённой, если она совместна и имеет единственное решение.
В противном случае (т.е. если система совместна и имеет более одного решения) система называется неопределённой.
Определение
Система называется однородной, если все правые части уравнений, входящих в нее, равны нулю одновременно.
Пример
Определение
Система называется квадратной, если количество уравнений равно количеству неизвестных.
Пример
Система квадратная, так как неизвестных две и это число равно количеству уравнений системы.
Матричная запись систем уравнений
Исходную СЛАУ можно записать в матричном виде:
,
где матрица 
называется матрицей системы, это матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных; 
- вектором-столбцом неизвестных, 
- вектором-столбцом правых частей или свободных коэффициентов.
Пример
Задание. Систему 
записать в матричной форме и выписать все матрицы, которые ей соответствуют.
Решение. Заданную СЛАУ записываем в матричной форме , где матрица системы:
вектор-столбец неизвестных:
вектор-столбец свободных коэффициентов:
то есть, запись СЛАУ в матричной форме:
Расширенная матрица системы
Определение
Расширенной матрицей системы 
называется матрица, полученная из матрицы системы 
, дописыванием справа после вертикальной черты столбца свободных членов.
Пример
Задание. Записать матрицу и расширенную матрицу системы 
Решение. Матрица системы 
, тогда расширенная матрица 
Дата добавления: 2018-10-26; просмотров: 5330; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!