Примеры решения систем уравнений
Пример
Задание. Найти решение СЛАУ при помощи метода Крамера.
Решение. Вычисляем определитель матрицы системы:
Так как , то по теореме Крамера система совместна и имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители. Определитель получим из определителя заменой его первого столбца столбцом свободных коэффициентов. Будем иметь:
Аналогично, определитель получается из определителя матрицы системы заменой второго столбца столбцом свободных коэффициентов:
Тогда получаем, что
Ответ. ,
Пример
Задание. При помощи формул Крамера найти решение системы
Решение. Вычисляем определитель матрицы системы:
Так как определитель матрицы системы неравен нулю, то по теореме Крамера система совместна и имеет единственное решение. Для его нахождения вычислим следующие определители:
Таким образом,
Ответ.
Примеры
Найдите решение системы линейных уравнений методом Крамера .
Решение.
Перепишем систему в виде , чтобы стало видно основную матрицу системы . Найдем ее определитель по формуле
Имеем
Определитель основной матрицы отличен от нуля, следовательно, система линейных уравнений имеет единственное решение. Найдем его методом Крамера. Вычислим определители :
Таким образом,
Ответ:
.
Обозначения неизвестных переменных в уравнениях системы могут отличаться от x1, x2, …, xn. Это не влияет на процесс решения. А вот порядок следования неизвестных переменных в уравнениях системы очень важен при составлении основной матрицы и необходимых определителей метода Крамера. Поясним этот момент на примере.
|
|
Пример.
Используя метод Крамера, найдите решение системы трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными .
Решение.
В данном примере неизвестные переменные имеют другое обозначение (x, y и z вместо x1, x2 и x3). Это не влияет на ход решения, но будьте внимательны с обозначениями переменных. В качестве основной матрицы системы НЕЛЬЗЯ брать . Необходимо сначала упорядочить неизвестные переменные во всех уравнениях системы. Для этого перепишем систему уравнений как . Теперь основную матрицу системы хорошо видно . Вычислим ее определитель:
Определитель основной матрицы отличен от нуля, следовательно, система уравнений имеет единственное решение. Найдем его методом Крамера. Запишем определители (обратите внимание на обозначения) и вычислим их:
Осталось найти неизвестные переменные по формулам :
Выполним проверку. Для этого умножим основную матрицу на полученное решение (при необходимости смотрите раздел операции над матрицами):
В результате получили столбец свободных членов исходной системы уравнений, поэтому решение найдено верно.
|
|
Ответ:
x = 0, y = -2, z = 3.
Пример.
Решите методом Крамера систему линейных уравнений , где a и b – некоторые действительные числа.
Решение.
Вычислим определитель основной матрицы системы:
Определитель отличен от нуля, следовательно, можно применить метод Крамера.
Находим неизвестные переменные
Рекомендуем проверить полученные результаты.
Ответ:
.
Пример.
Найдите решение системы уравнений методом Крамера, - некоторое действительное число.
Решение.
Вычислим определитель основной матрицы системы: . Область значений выражения есть интервал , поэтому при любых действительных значениях . Следовательно, система уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера. Вычисляем и :
Таким образом, .
Выполним проверку:
Уравнения системы обращаются в тождества, следовательно, решение найдено верно.
Ответ:
.
Пример.
Методом Крамера найдите решение СЛАУ .
Решение.
Эта система однородная, так как все свободные члены равны нулю. Определитель основной матрицы отличен от нуля , поэтому ее единственным решением является x1 = 0, x2 = 0. О таких СЛАУ мы уже упоминали выше в замечании.
|
|
Ответ:
x1 = 0, x2 = 0.
Дата добавления: 2018-10-26; просмотров: 451; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!