Розкриття невизначеностей, І і ІІ визначні границі
Обчислення границь базується на таких основних теоремах:
· Якщо існують 
і 
, то: 
, (2.1.1)
, (2.1.2)
, (2.1.3)
. (2.1.4)
· Перша визначна границя:
. (2.1.5)
· Друга визначна границя:
. (2.1.6)
· 
; 
, ( 
‑ стала величина). (2.1.7)
· Для всіх неперервних функцій
. (2.1.8)
· Слід пам'ятати, що (для 
): 
, якщо 
; 
, якщо 
.
Щодо техніки обчислення границь, слід відзначити, що в найпростіших випадках знаходження границі зводиться до підстановки у вираз під знаком границі граничного значення аргументу. Але часто така підстановка призводить до невизначених виразів виду 
Знаходження границь у цих випадках називається розкриттям невизначеності.
Наприлад, якщо невизначеність 
з’явиться, коли в чисельнику (знаменнику) є ірраціональний вираз, тоді треба позбутися ірраціональність у чисельнику (знаменнику) шляхом помноження на "спряжений" вираз.
Невизначеність виду при наявності тригонометричних функцій розкривається за допомогою першої визначної границі та часто вимагає попередніх тотожних перетворень (наприклад, за допомогою формул: 
, 
, 
, 
).
Друга визначна границя розкриває невизначеність 
. Наслідками (2.1.6) є вирази:
, 
. (2.1.9)
Приклад 2.1. 1. Знайти границі: 1) 
, 2) 
, 3) 
.
|
|
|
Розв’язання. 1) Маємо невизначеність 
. Винесемо в чисельнику і знаменнику старший ступінь змінної і скоротимо:
(тому, що 
, 
).
Аналогічно,
2) 
;
3) 
.
Приклад 2.1. 2 . Обчислити 
.
Розв’язання. В даному випадку користуватися формулою (2.1.3) не можна, тому що границя знаменника дорівнює нулеві. Безпосередня же підстановка у вираз під знаком границі граничного значення аргументу 
приводить до невизначеності 
.
Розкладемо на множники чисельник і знаменник. (Зауважимо, що 
, якщо 
‑ корені). Коренями квадратного рівняння 
є 
, 
, значить 
.
Отже, за рахунок розкладання на множники і скорочення, позбавляємось невизначеності, після чого в результаті підстановки в отриманий вираз 
маємо
.
Приклад 2.1.3 . Обчислити 1) 
, 2) 
.
Розв’язання. 1) Підстановка у вираз (під знаком границі) 
значення 
приводить до невизначеності 
. Для її розкриття помножимо чисельник і знаменник на вираз, що "спряжений" з чисельником (користуючись формулою скороченного множення 
). Після цього скоротимо на 
і одержимо:
.
2) У випадку 
маємо невизначеність 
. Помноження і ділення виразу під знаком границі на "спряжений" з ним вираз 
з урахуванням (2.1.7)) дає:
|
|
|
.
Приклад 2.1.4 . Знайти границі: 1) 
, 2) 
, 3) 
.
Розв’язання. Враховуючи, що 
, 
, за допомогою формул тригонометрії, властивості (2.1.2) та першої визначної (2.1.5) маємо:
1) 
,
2) 
,
3) 
.
Приклад 2.1.5 . Знайти границі: 1) 
, 2) 
.
Розв’язання. Маємо невизначеність 
, яка розкривається за допомогою другої визначної границі (2.1.6).
1) 
(відповідь у данному випадку можна було отримати безпосередньо за (2.1.9)).
2) 
Зауважимо, що приклади 2.1.1 – 2.1.5 відповідають завданню 2.1 контрольної роботи.
Література: [1, с. 93 ‑ 125], [2, с. 101 ‑ 134], [3, с. 172 – 208, 247 ‑ 264], [7].
Дата добавления: 2018-09-22; просмотров: 278; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!