КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ
Комплексні числа
Комплексним числом називається вираз виду , де - дійсні числа (тобто ), а - уявна одиниця (число, квадрат якого дорівнює мінус одиниці: ). Числа і при цьому називаються відповідно дійсною і уявною частиною комплексного числа і позначаються , . Вираз ‑ це алгебраічна форма запису комплексного числа. Множина всіх комплексних чисел позначається . Дійсні числа можна розглядати як частинний випадок комплексних, тобто , а саме при матимемо - дійсне число. Число називається суто уявним . Число називається спряженим до числа .
Приклад 7.1.1. Записати дійсну, уявну частини чисел , , , та спряжені до них числа.
Розв’язання. Матимемо за означенням: , , ; , , ; , , ; , , .
Сума двох комплексних чисел та ‑ це число .
Приклад 7.1.2. Знайти , ; , , якщо , , .
Розв’язання. Матимемо: , ; , .
Комплексні числа перемножуються, як двучлени, при цьому враховується, що . До речі, і т.д.
Приклад 7.1.3. Знайти добуток чисел та .
Розв’язання. .
Частка двох комплексних чисел і обчислюється за формулою:
. (7.1.1)
Приклад 7.1.4. Знайти , якщо , .
Розв’язання. За формулою (7.1.1) матимемо:
.
Комплексне число зображується на площині точкою або вектором, початок якого розташований в точці (0; 0), а кінець - у точці . Модулем комплексного числа називається невід’ємне число
|
|
. (7.1.2)
Кут , який утворює вектор з додатним напрямом осі , називається аргументом комплексного числа і позначається . При (для аргумент не визначається) аргумент числа визначається з точністю до доданка, кратною . Одне і тільки одне значення аргумента задовольняє умову ; воно називається головним значенням аргумента і позначається . Отже, і
. (7.1.3)
Щоб знайти аргумент, зручно користуватися схемою 7.1.1:
II координатна чверть : | I координатна чверть : |
III координатна чверть : | IV координатна чверть : |
Рис. 7.1.1 – Схема визначення
Крім того, якщо і , то , а якщо , то (при ) і (при ).
(Нагадаємо, що , , ,
, , , , , , , ).
Числа і можна розглядати як полярні координати точки , а тому , і комплексне число у тригонометричній формі матиме вигляд:
. (7.1.4)
Враховуючи формулу Ейлера
, (7.1.5)
комплексне число можна представити у формі:
. (7.1.6)
|
|
, яка називається показниковою.
Приклад 7.1.5. Знайти модулі та аргументи комплексних чисел: , , .
Розв’язання. За формулою (7.1.2) та схемою 7.1.1: , ; , ; , .
Приклад 7.1.6. Записати у тригонометричній формі число .
Розв’язання. За формулою (7.1.2) та схемою 7.1.1: , . Отже, згідно (7.1.4): .
Якщо , , то
, (7.1.7)
. (7.1.8)
Для натурального і комплексного має місце формула Муавра:
. (7.1.9)
При існує рівно різних значень кореня :
, (7.1.10)
де - арифметичний корінь. Ці значень зображуються вершинами правильного - кутника, вписаного в коло з центром у початку координат і радіусом .
Рис. 7.1.2 – Корені комплексного числа
Множина комплексних чисел вводиться (як розширення множини дійсних чисел ) таким чином, щоб на ній завжди була здійсненною операція добування кореня.
Наприклад, , , і т.д., ‑ два значення кореня квадратного ( ‑ арифметичне значення кореня).
Приклад 7.1.7. Розв’язати рівняння .
Розв’язання. Квадратне рівняння має два комплексно спряжених кореня , які не є дійсними числами, якщо дискримінант . Наприклад, рівняння ( ) має корені , а рівняння ‑ корені .
|
|
Приклад 7.1.8. Розв’язати рівняння .
Розв’язання. Ця задача рівносильна відшуканню значень кореня кубічного . Визначимо модуль и аргумент числа : , . Тоді за формулою маємо три різних значення кореня кубічного (при ):
.
Виписуємо їх, беручі по черзі : , , .
Для геометричного представлення знайдених значень кореня достатньо зобразити одне значення, наприклад (при ) ‑ це точка кола радіусу , що лежить на промені . Після цього будуємо правильний трикутник, вписаний у коло:
Рис. 7.1.1 – Значення .
Приклад 7.1.9. Знайти дійсну і уявну частини комплексного числа , якщо .
Розв’язання. Якщо , то ,
і за формулою (7.1.1):
‑ алгебраічна форма. Таким чином, , .
Зауважимо, що приклад 7.1.9 є аналогічним до завдання 7.1 контрольної роботи.
Література: [1, с. 274 ‑ 278], [3, с. 292 – 299], [16].
Дата добавления: 2018-09-22; просмотров: 220; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!