Определение и свойства дискретного преобразования Фурье
Дискретное преобразование Фурье (в англоязычной литературе DFT, Discrete Fourier Transform) — это одно из преобразований Фурье, широко применяемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов (его модификации применяются в сжатии звука в MP3, сжатии изображений в JPEG и др.), а также в других областях, связанных с анализом частот в дискретном (к примеру, оцифрованном аналоговом) сигнале. Дискретное преобразование Фурье требует в качестве входа дискретную функцию. Такие функции часто создаются путём дискретизации (выборки значений из непрерывных функций). Дискретные преобразования Фурье помогают решать дифференциальные уравнения в частных производных и выполнять такие операции, как свёртки. Дискретные преобразования Фурье также активно используются в статистике, при анализе временных рядов. Существуют многомерные дискретные преобразования Фурье[1].
Линейность. Из определения ДПФ ясно, что если две последовательности имеют опорные области на , то ДПФ их суммы будет суммой их ДПФ. В более общем случае, если и - произвольные последовательности конечной протяженности и если и - произвольные комплексные константы, то
. (2.26)
Справедливо также обратное утверждение: если сложить два ДПФ, обратное ДПФ суммы будет суммой двух отдельных обратных ДПФ. Единственное предостережение по применению этого свойства состоит в том, что все ДПФ должны быть одного размера. Далее, размер должен быть достаточным, чтобы включать всю опорную область последовательности . Это означает, что и должны иметь одну и ту же опорную область, поскольку опорная область любой из последовательностей может быть расширена за счет присоединения отсчетов с нулевым значением.
|
|
|
Например, пусть определена в опорной области и пусть имеет опорную область . Пусть , . Определим две расширенные последовательности следующим образом:
(2.27а)
. (2.27б)
Последовательности и имеют опорную область на , и
. (2.28)
Размер области в данном случае определяет параметры ДПФ.
Отражение. Эти свойства в основном такие же, как аналогичные свойства преобразования Фурье в гл. 1, если принимать во внимание периодичность ДПФ. Легко можно показать, что если
, то
, (2.41а)
, (2.41б)
, (2.41в)
.
Теорема Парсеваля:
. (2.42)
|
|
|
Дуальность. Если - ДПФ , то что такое ДПФ ? В силу подобия прямого и обратного выражений для ДПФ можно ожидать, что результат будет тесно связан с . Умножим обе части равенства (2.14) на и возьмем комплексно- сопряженные величины. Тогда получим
. (2.43)
Равенство (2.43) теперь имеет такой же вид, как и (2.13). Тогда если
, то
. (2.44)
Это свойство известно как свойство дуальности.
Модуляция. Свойство модуляции состоит в том, что если последовательность умножается на комплексную экспоненту, ее ДПФ испытывает циклический сдвиг. Раскрывая обе части равенства (2.34), получим
. (2.45)
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 250; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!