Определение и свойства частотных характеристик ЛСД

Комплексную функцию можно выразить через её модуль и аргумент:

Комплексной частотной характеристикой линейной дискретной системы называется частотная зависимость отношения реакции к дискретному гармоническому воздействию в установившемсярежиме.

Амплитудно-частотной характеристикой линейной дискретной системы называется частотная зависимость отношения амплитуды реакции к амплитуде дискретного гармонического воздействия в установившемся режиме

. (6)

Фазочастотной характеристикой линейной дискретной системы называется частотная зависимость разности начальных фаз реакции и дискретного гармонического воздействия в установившемся режиме:

. (7)

Свойства частотных характеристик определяются свойствами комплексной экспоненты и тригонометрических функций: sin, cos, tg и arctg.

2. Непрерывность: КЧХ, АЧХ и ФЧХ — непрерывные (или кусочно-непрерывные) функции частоты по определению.

3. Периодичность: ЧХ, АЧХ и ФЧХ — периодические функции частоты с периодом, равным частоте дискретизации , что следует из периодичности аргумента с периодом по частоте , равным :

(9)

Соответственно, период ЧХ, АЧХ и ФЧХ в зависимости от используемой шкалы частот будет равен:

; ; ; .

3. Чётность АЧХ и нечётность ФЧХ.

Если коэффициенты ПФ являются вещественными (а другие случаи мы не рассматриваем), то модуль частотной характеристики (АЧХ) является чётной, а аргумент (ФЧХ) — нечётной функцией частоты:

(10)

(11)

Вычисление частотных характеристик ЛДС

Получить КЧХ путём замены в передаточной функции

(12)

Разложить экспоненты:

; .

Выделить вещественные и мнимые части в числителе (с индексом 'ч') и знаменателе (с индексом 'з') КЧХ (13)

Записать АЧХ и ФЧХ, исходя из их определений:

(15)

19 Классификация цифровых фильтров

По полосе пропускания.

Полоса пропускания - это полоса частот, в которое ослабление мало. В то время как полосой задерживания называется полоса частот, в которой имеется большое ослабление. Переходная область находится между полосой пропускания и полосой задерживания.

ФНЧ-фильтры низких чaстот. данный фильтр подавляет высокие частоты во входном сигнале, низкие частоты пропускает. Полоса пропускания таких фильтров располагается на шкале частот от f=0 до некоторой граничной частоты f=f_д, а полоса непропускания (задерживания) – от f=f_з до бесконечно больших частот.
ФВЧ - фильтр высоких частот. Такой фильтр подавляет низкие частоты, при этом пропуская высокие. Такие фильтры имеют полос пропускания от частоты f=f_п до бесконечно больших частот и полосой непропускания от частоты f=f_з.
ПФ - полосовой фильтр. это такие фильтры которые пропускают или подавляют сигнал в определенной полосе частот. Полоса пропускания располагается между полосами непропускания (задерживания).
РФ - режекторные фильтры, иными словами заграждающие, если говорить о подавлении определенной полосы частот во входном сигнале. Между полосами пропускания находится полоса задерживания.
По типу фильтра.
Фильтр Баттерворта обеспечивает наиболее плоскую характеристику в полосе пропускания, что достигается ценой плавности характеристики в переходной области, т.е. между полосами пропускания и задерживания. У него также плохая фазо-частотная характеристика (ФЧХ). Фильтры этого класса отличаются от других методом проектирования. АЧХ фильтра Баттерворта имеет довольно длинный горизонтальный участок и резко спадает за частотой среза. Переходная характеристика такого фильтра при ступенчатом входном сигнале имеет колебательный характер. С увеличением порядка фильтра колебания усиливаются. При увеличением порядка фильтра увеличивается крутизна спада характеристики.
Фильтр Чебышева - один из типов линейных аналоговых или цифровых фильтров, отличительной особенностью которого является более крутой спад амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) и существенные пульсации амплитудно-частотной характеристики на частотах полос пропускания (фильтр Чебышева I рода) и подавления (фильтр Чебышева II рода), чем у фильтров других типов. Фильтры Чебышева обычно используются там, где требуется с помощью фильтра небольшого порядка обеспечить требуемые характеристики АЧХ, в частности, хорошее подавление частот из полосы подавления, и при этом гладкость АЧХ на частотах полос пропускания и подавления не столь важна. В полосе пропускания такого фильтра видны пульсации, амплитуда которых определяется показателем пульсации. В полосе пропускания многочлены Чебышева принимают значения от 0 до 1.
Характеристика фильтра Золотарева имеет в полосе пропускания колебательный характер, а в полосе задерживания -- немонотонный, с характерными всплесками.

20. Условия неискаженной передачи сигнала линейным четырехполюсником.
Сигнал проходит через линейную цепь без искажений, если форма его на выходе не меняется, но могут измениться только его величина и положение на оси времени. Это возможно только в случае равномерной амплитудно-частотной передаточной характеристики и линейной фазо-частотной характеристики цепи, т.е. если

то спектральная плотность выходного сигнала будет равна

что означает, что модуль спектральной плотности выходного сигнала пропорционален модулю спектральной плотности входного сигнала на всей оси частот, а в фазе входного сигнала появился дополнительный пропорциональный частоте сдвиг на (wt₀), что означает задержку (при t₀>0) сигнала на выходе на время t₀.

Однако получить такую идеальную частотную характеристику цепи во всей области частот от до нереально, да и не всегда нужно. Поэтому, как правило, АЧХ цепи в целом неравномерна , а ФЧХ в целом нелинейна.

Искажения сигнала, вызванные частотной зависимостью частотной передаточной характеристикой цепи, называются линейными (линейная цепь) или частотными искажениями. Реальные четырехполюсники имеют области частот, где Н(w ) равномерна и ФЧХ линейна. Если сигнал обладает S_ВХ (w ) и его полоса частот попадает в эту область, то такой реальный четырехполюсник удовлетворяет условиям неискаженой передачи. Так усилитель звуковых частот должен удовлетворять условиям неискаженной передачи в диапазоне частот 20 Гц - 10 кГц, а усилитель видеосигнала в телевизионном приемнике от 0 до 6,5 МГц.

21.Пример существования КИХ-фильтров с линейной ФЧХ.

Пример 1.Построим структурную схему фильтра при ( ) с симметричной импульсной характеристикой (симметричными коэффициентами)

или

Решение. Таким условиям соответствует фильтр типа 1 (см. табл. 1), передаточная функция которого имеет вид:

Объединим члены передаточной функции, имеющие одинаковые коэффициенты:

Полученную передаточную функцию и соответствующую ей схему будем называть приведёнными.

Рис. 2.2. Приведённая структурная схема КИХ-фильтра типа 1 порядка 8

Приведённая передаточная функция имеет 5 сложений, в то время как в прямой схеме всего одно сложение, и 5 умножений, в то время как в прямой было 9, т. е. число умножителей в структурной схеме (рис. 2.2) сократилось практически в 2 раза.

Для приведённых структур КИХ-фильтров типа 1 число умножителей оказывается равным .

Примечание

Приведенная структура КИХ-фильтра типа 3, имеющего нечетное и антисимметричную ИХ, будет иметь умножителей, поскольку центральный коэффициент .

Пример 2.

Построим приведенную структурную схему фильтра при ( ), с симметричной импульсной характеристикой (симметричными коэффициентами):

или

Решение. Таким условиям соответствует фильтр типа 2 (см. табл. 18.1), передаточная функция которого имеет вид:

Поступим так же, как в предыдущем примере; тогда получим приведенную передаточную функцию:

у которой число умножений ровно в 2 раза меньше по сравнению с обычной прямой структурой; поэтому количество умножителей в приведенной структурной схеме (рис. 2.3) также сократилось вдвое.

Рис. 2.3. Приведенная структурная схема КИХ-фильтра типа 2

Примечание

Приведенные структуры КИХ-фильтров типов 2 и 4, имеющих чётное , всегда будут иметь умножителей, поскольку (знак (+) соответствует типу 2; (–) — типу 4).

22. Утверждение о КИХ-фильтрах с линейной ФЧХ
Цифровой КИХ-фильтр с передаточной функцией

обладает строго линейной ФЧХ с точностью до скачков на рад на тех частотах, где АЧХ равна нулю, если его импульсная характеристика (коэффициенты передаточной функции) симметрична

(2.1)

или антисимметрична

(2.1,а)

причём ФЧХ имеет вид:

(2.2)

где k – номер частоты , на которой АЧХ равна нулю ;

— определяет наличие начальной фазы (при ) в зависимости от типа фильтра.

Следствие 1.Скачки ФЧХ на радиан возможны лишь за пределами полос пропускания, поскольку АЧХ может принимать нулевые значения только в полосах задерживания и переходных.

На рис. 2.1 показаны варианты линейной ФЧХ фильтра нижних частот при (рис. 2.1,а) и полосового фильтра при (рис. 2.1,б). Точками обозначены частоты , на которых , и потому имеется скачок фазы на . На рис. 2.1,б видно, что одна из таких частот принадлежит переходной полосе, а на первой частоте имеются два скачка: на (поскольку ) и на , поэтому общий скачок на составляет .

Следствие 2.Групповое время задержки (замедления, прохождения) фильтра с линейной ФЧХ постоянно и равно

(2.3)

причем в зависимости от значения (нечётное или чётное) выделяются две группы фильтров: одна из них обладает задержкой на целое число периодов дискретизации ( нечётно), другая — на целое число периодов дискретизации плюс полпериода дискретизации (чётно); иначе говоря, при нечётном ГВЗ равно нечётному числу полупериодов дискретизации.

Длина импульсной характеристики (число коэффициентов)	Порядок фильтра	Импульсная характеристика
Длина импульсной характеристики (число коэффициентов)	Порядок фильтра	Симметричная	Антисимметричная
Нечётная	Чётный	Тип 1,	Тип 3,
Чётная	Нечётный	Тип 2,	Тип 4,

Рис. 2.1. Построение линейной ФЧХ КИХ-фильтра при (а) и при (б)

Следствие 3.В зависимости от чётности или нечётности порядка (соответственно нечётности и чётности длины импульсной характеристики), а также от симметричности или антисимметричности коэффициентов передаточной функции (отсчетов импульсной характеристики) существуют четыре типа КИХ-фильтров с линейными ФЧХ, что показано в табл. 1.

Таблица 1. Типы КИХ-фильтров с линейной ФЧХ

Следствие 4.Свойства симметричности коэффициентов передаточной функции (импульсной характеристики) КИХ-фильтров с линейной ФЧХ дают возможность построить структурные схемы, число умножителей в которых практически в 2 раза меньшеумножителей, нежели структурные схемы КИХ-фильтров с произвольной ФЧХ, т. е. практически в 2 раза меньше порядка фильтра: если порядок чётный (длина нечётная), то количество умножителей оказывается строго в два раза меньше порядка

при нечётном порядке (чётной длине) количество умножителей составит

Уменьшение числа умножителей приводит, во-первых, к увеличению быстродействия и, во-вторых, к существенному уменьшению собственного шума фильтра, а потому и к увеличению его динамического диапазона.

23. Типы КИХ-свойства КИХ-фильтров типа 1:

Возможна реализация фильтров произвольной избирательности (низкочастотной, высокочастотной, полосовой, режекторной, многочастотной), а также цифровых амплитудных корректоров.

Задержка сигнала на выходе фильтра относительно сигнала на его входе равна целому числу периодов дискретизации

свойства КИХ-фильтров типа 2:

Возможна реализация только низкочастотных и полосовых фильтров.

Задержка сигнала на выходе фильтра относительно сигнала на его входе равна целому числу с половиной периодов дискретизации .

свойства КИХ-фильтров типа 3:

Возможна реализация только полосовой избирательности. Однако поскольку ФЧХ на всех частотах сохраняет сдвиг на , фильтры типа 3 обычно применяются для синтеза преобразователей Гильберта и дифференциаторов.

свойства КИХ-фильтров типа 4:

Возможна реализация фильтров только высокочастотной и полосовой избирательности. Однако, поскольку ФЧХ на всех частотах сохраняет сдвиг на , фильтры типа 4 обычно применяются для синтеза цифровых дифференциаторов и преобразователей Гильберта.

Задержка сигнала на выходе фильтра относительно сигнала на его входе равна целому числу периодов дискретизации плюс

ОБЪЯСНЕНИЕ К СВОЙСТВАМ:

Прежде чем изучать свойства КИХ-фильтров, отметим, что их комплексные частотные характеристики можно представить в следующем виде:

(2.4)

где — амплитудная функция, которая в полосе пропускания фильтра всегда положительна, а вне полосы пропускания может принимать и отрицательные значения, т. е. на частотах функция проходит через нуль и меняет знак с «+» на «–» или с «–» на «+», что соответствует скачку фазы на или на (рис. 2.4);

— ФЧХ с точностью до скачков фазы на рад.

Замечание: весь дальнейший материал можно излагать на конкретных числовых примерах, приводимых в Приложении к данной лекции, что определяется самим лектором.

КИХ-фильтры типа 1имеют нечётную длину (чётный порядок ), симметричную ИХ (т. е. при симметричными коэффициентами ), , фазочастотную характеристику

и групповое время задержки

равное целому числу периодов дискретизации.

Амплитудно-частотная характеристика:

где , . Проанализируем её значения на частотах и :

на частоте функция , поэтому значение полностью определяется коэффициентами , т. е. коэффициентами фильтра;

на частоте функция , а именно: если — чётное, то ; если — нечётное, то . Это означает, что при значение АЧХ также определятся только коэффициентами или , т. е. отсчётами импульсной характеристики фильтра.

Проанализируем фазочастотную характеристику:

начальная фаза ;

набег фазы (с учетом ее скачков на ) в основной полосе частот составляет целое число и равно

если количество скачков чётное, и

если количество скачков нечётное.

Замечание: Вместо АЧХ можно рассмотреть конкретные примеры, приведённые на прилагаемых рисунках.

Из вышесказанного вытекают свойства КИХ-фильтров типа 1:

КИХ-фильтры типа 2имеют чётную длину (нечётный порядок ), симметричную ИХ (симметричные коэффициенты ), фазочастотную характеристику

и групповое время задержки

равное целому числу периодов дискретизации плюс половина периода; например, при

Обозначив , приходим к выражению для амплитудно-частотной характеристике

Вновь проанализируем АЧХ на частотах и . При , как и для фильтров типа 1, значение полностью определяется коэффициентами , т. е. отсчетами импульсной характеристики фильтра, поскольку . А вот начастоте независимо от коэффициентов .гналов

Действительно, аргумент косинуса содержит разность целого числа и дроби 1/2, поэтому при аргумент приобретает значение , а , что говорит о невозможности конструирования высокочастотных и режекторных фильтровна базе фильтров типа 2.

Из формулы ФЧХ следует:

начальная фаза ;

набег фазы (с точностью до ее скачков на ) в основной полосе частот составляет целое число плюс

если количество скачков чётное, и целое число минус

если количество скачков нечётное.

Из вышесказанного вытекают свойства КИХ-фильтров типа 2:

Возможна реализация только низкочастотных и полосовых фильтров.

КИХ-фильтры типа 3имеют нечётную длину (чётный порядок ), антисимметричную ИХ (антисимметричные коэффициенты ), фазочастотную характеристику

и групповое время задержки

равное целому числу периодов дискретизации.

Амплитудно-частотная характеристика имеет вид:

(где коэффициент ) содержит функцию , аргумент которой представляет собой произведение целого числа на . Это означает, что на частотах и . Следовательно, АЧХ КИХ-фильтров типа 3 на указанных частотах всегда равна нулю независимо от значений , т. е. независимо от значений отсчетов импульсной характеристики

что говорит о невозможности конструирования на базе фильтров типа 3 низкочастотных, высокочастотных и режекторных фильтров.

Поэтому рассматриваемые фильтры могут быть только полосовыми.

Из формулы ФЧХ с учетом скачков фазы на следует:

начальная фаза ; действительно, на частоте , поэтому имеет место скачёк фазы на и

;

набег фазы (относительно начальной фазы) в основной полосе частот составляет целое число и равно

если количество скачков (включая скачки на частотах и ) нечётное, и

,если количество скачков чётное.

Из вышесказанного вытекают свойства КИХ-фильтров типа 3:

КИХ-фильтры типа 4имеют чётную длину (нечётный порядок ), антисимметричную ИХ (антисимметричные коэффициенты ), фазочастотную характеристику, подобную ФЧХ фильтра типа 3 вследствие антисимметричности ИХ,

и групповое время задержки, аналогично ГВЗ фильтра типа 2,

Амплитудно-частотная характеристика

Запишем аргумент синуса в эквивалентной форме:

тогда легко видеть, что

и ,

поэтому независимо от значений коэффициентов , а, следовательно, и от значений отсчётов ИХ. С другой стороны, полностью определяется коэффициентами (отсчётами ИХ), что говорит о невозможности конструирования низкочастотных и режекторных фильтровна базе фильтров типа 4.