Рекурсивные и нерекурсивные систем

Линейная дискретная система называется рекурсивной, если хотя бы один из коэффициентов , , разностного уравнения (6) не равен нулю.Порядок рекурсивной ЛДС равен: Согласно (6) реакция рекурсивной ЛДС в каждый момент времени  определяется:текущим отсчетом воздействия ;предысторией воздействия ;предысторией реакции .Приведём примеры разностных уравнений простейших рекурсивных ЛДС:первого порядка (8 ) второго порядка Линейная дискретная система называется нерекурсивной, если все коэффициенты  разностног уравнения (6) равны нулю , .            (10)Для нерекурсивной ЛДС разностное уравнение (6) имеет вид: , (11)а порядок нерекурсивной ЛДС равен .Согласно (11) реакция нерекурсивной ЛДС в каждый момент времени  определяется:текущим отсчетом воздействия предысторией воздействия .Приведём пример разностного уравнения нерекурсивной ЛДС второго порядка: .                  (12)

Определение импульсной характеристики h(nT)

Это реакция линейной дискретной системы на цифровой единичный импульс u₀(nT) при нулевых начальных условиях.

2.1. Свойства импульсной характеристики нерекурсивных систем

ИХ нерекурсивной системы 3-го порядка:

при воздействии цифрового единичного импульса

и при нулевых начальных условиях получаем:

Следствия:

1) длительность ИХ конечна и равна (N – 1)T; число отсчётов импульсной характеристики равно N; такие системы называются КИХ-системами (КИХ-фильтрами);

2) отсчёты ИХ КИХ-системы равны коэффициентам разностного уравнения, т. е. коэффициентам передаточной функции:

это свойство является основным свойством импульсной характеристики КИХ-систем.

2.2. Свойства импульсной характеристики рекурсивных систем

ИХ рекурсивной системы 1-го порядка

при воздействии цифрового единичного импульс и при нулевых начальных условиях: .

Пример 2.   Решим уравнение методом прямой подстановки:

;

;

;

;

Вычисление ИХ можно продолжать бесконечно по формуле:

импульсная характеристика рекурсивной ЛДС имеет бесконечную длительность. Поэтому их называют системами с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-системами).

Устойчивость ЛДС, критерий устойчивости во временной области

ЛДС называется устойчивой, если при ограниченном воздействии

и произвольных, но ограниченных начальных условиях реакция будет также ограниченной: .

Критерий устойчивости формулируется следующим образом: для того чтобы линейная дискретная система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие абсолютной сходимости ряда:

КИХ-системы устойчивы абсолютно в силу конечности их импульсных характеристик.

С БИХ-системами дело обстоит сложнее: пусть импульсная характеристика БИХ-системы имеет вид дискретной экспоненты:

Рассмотрим три варианта:

выводы:

рекурсивные ЛДС (БИХ-системы) требуют проверки на устойчивость;

импульсная характеристика устойчивой рекурсивной ЛДС имеет характер затухающей функции времени.

Определение Z-преобразовани

Z-преобразованием последовательности  при условии, что , называется ряд ,                 (1)где:

— Z-изображение; — оригинал.

Z-преобразование получается на основе преобразования Лапласа (1) в результате действий, приводящих к замене переменных: ,            (2)где:T – период частоты дискретизации, – оператор Лапласа.Основные свойства Z-преобразовани

Линейность:Если последовательность  равна линейной комбинации последовательностей ,то ее z-изображение равно линейной комбинации z-изображений данных последовательностей:

Z-изображение задержанной последовательности (теорема о задержке).Z-изображение последовательности , задержанной на отсчетов, равно z-изображению исходной последовательности , умноженному на : ; .

Z-преобразование свертки последовательностей (теорема о свертке).Сверткой последовательностей  и  называется последовательность , определяемая соотношением .Z-изображение свертки равно произведению z-изображений свертываемых последовательностей .Z-изображения функций типовых дискретных сигналов:Z-изображение цифрового единичного импульса : Z-изображение задержанного цифрового единичного импульса

На основании теоремы о задержке имеем .

Z-изображение цифрового единичного скачка

Z-изображение задержанного цифрового единичного скачка на основании теоремы о задержке: .Z-изображение убывающей дискретной экспоненты Z-изображение взвешенной задержанной убывающей дискретной экспоненты

Z-изображение последовательности представляет собой

 

---

Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 572; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!