Формула для вычисления вер-ти того, что случайная величина кот. подлежит норм. закону распред., принимает значения из интервала (a, b)

Вероятность попадания случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, в интервал , равна ,

Где , ; ( Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф(х) по формуле: ).

□ Учитывая, что вероятность есть приращение функции распределения на отрезке и учитывая формулу получим:

Сформулируйте првило трех сигм.

При рассм нормального закона распределения выделяется важный частный случай, известный как правило трех сигм. Запишем в-ть того что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания меньше заданной величины D:

Если принять D = 3s, то получаем с использованием таблиц значений функции Лапласа:

Т.е. в-ть того что случайная величинаотклонится от своего мат\ожидания на величину, большую чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю. Это правило называется правилом трех сигм.На практике считается, что если для какой – либо сл\величины выполняется правило трех сигм, то эта сл\величина имеет нормальное распределение.

СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Определение понятия системы случайных величин.

Очень часто результат испытания характеризуется не одной Случ.Велич. а некоторой системой случайных величин , которую называют также многомерной (n-мерной) случайной величиной или случайным вектором Х = ( ). Приведем примеры многомерных случайных величин.

1.Успеваемость выпускника вуза характеризуется системой n случайных величин - оценками по различным дисциплинам, проставленными в приложении к диплому.

2.Погода в данном месте в определенное время суток может быть охарактеризована системой случайных величин: - температура; - влажность; - давление; - скорость ветра и т.п.

Любая СВ (i = 1,2,...,n) есть функция элементарных событий ω, входящих в пространство элементарных событий Ω ( ). Поэтому и многомерная случайная величина есть функция элементарных событий ω:

т.е. каждому элементарному событию ω ставится в соответствие несколько действительных чисел , которые приняли случайные величины в результате испытания. В этом случае вектор х = ( ) называется реализацией случайного вектора Х = ( ).

Случайные величины , входящие в систему, могут быть как дискретными (см. выше пример 1), так и непрерывными (пример 2).

Закон распределения и функция распределения двух случ величин.

Наиболее полным описанием многомерной СВ является закон ее распределения. При конечном множестве возможных значений многомерной СВ такой закон может быть задан в форме таблицы (матрицы), содержащей всевозможные сочетания значений каждой из одномерных случайных величин, входящих в систему, и соответствующие им вероятности. Так, если рассматривается двумерная дискретная случайная величина (X,Y), то ее двумерное распределение можно представить в виде таблицы (матрицы) распределения (табл. 5.1), в каждой клетке (i,j) которой располагаются вероятности произведения событий .

Так как события (i = 1,2,...,n; j = 1,2,...,m), состоящие в том, что СВ Х примет значение , а СВ Y - значение , несовместны и единственно возможны, т.е. образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице, т.е.:

Функцией распределения системы двух сл\в наз ф-я двух аргументов F(x, y), равная в-ти совместного выполнения двух неравенств X<x, Y<y.

Свойства функции распределения системы двух сл\в:

1) Если один из аргументов стремится к плюс бесконечности, то ф-я распр системы стремится к ф-ии распр одной сл\в, соответствующей другому аргументу.

2) Если оба аргумента стремятся к бесконечности, то ф-я распр системы стремится к 1.

3) При стремлении одного или обоих аргументов к минус бесконечности ф-я распр стремится к 0.

4) Ф-я распр является неубывающей функцией по каждому аргументу.

5) В-ть попадания случайной точки (X, Y) в произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, вычисляется по формуле:

52.П лотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случ. величины.

Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины ( , ) – это вторая смешанная частная производная от функции распределения :

Геометрически эту функцию можно истолковать как поверхность, которую называют поверхностью распределения.

Зная плотность совместного распределения , можно найти функцию распределения по формуле:

что непосредственно следует из определения плотности распределения двумерной непрерывной случайной величины ( , ).

Плотность совместного распределения вероятностей можно рассматривать как предел отношения вероятности попадания случайной точки в прямоугольник (с вершиной в точке и сторонами и ) к площади этого прямоугольника, когда обе стороны этого прямоугольника стремятся к нулю.