Какой дифференциальной функцией распределения случ. величины определяется нормальный закон распределения. Объясните содержание параметров, кот. входят в выражение этой функции.
Определение. Плотностью вероятности (плотностью распределения или просто плотностью)  непрерывной случайной величины Х называется производная ее функции распределения 
|
Про случайную величину Х говорят, что она имеет распределение (распределена) с плотностью 
на определенном участке оси абсцисс. Плотность вероятности 
, как и функция распределения F(x), является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции распределения она существует только для непрерывныхслучайных величин. Плотность вероятности иногда называют дифференциальной функцией или дифференциальным законом распределения. График плотности вероятности 
называется кривой распределения.
Свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины.
1.Плотность вероятности - неотрицательная функция, т.е. 
.
☺ 
как производная монотонно неубывающей функции F(х). ☻
2.Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал [а,b] равна определенному интегралу от ее плотности вероятности в пределах от а до b, т.е. 
.
☺ Согласно свойству 4 функции распределения 
. Так как F(x) - первообразная для плотности вероятности (т.к. 
, то по формуле Ньютона-Лейбница приращение первообразной на отрезке [а,b] – определенный интеграл 
. ☻
Геометрически полученная вероятность равна площади фигуры, ограниченной сверху кривой распределения и опирающейся на отрезок [а,b] (рис. 3.8).
|
|
|
3.Функция распределения непрерывной случайной величины может быть выражена через плотность вероятности по формуле:
.
Геометрически функция распределения равна площади фигуры, ограниченной сверху кривой распределения и лежащей левее точки х (рис. 3.9).
4.Несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности непрерывной случайной величины равен единице: 
.
Геометрически свойства 1 и 4 плотности вероятности означают, что ее график - кривая распределения - лежит не ниже оси абсцисс, и полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.
Как влияют математичекое ожидание и дисперсия на форму нормальной кривой.
График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса.
Нормальная кривая обладает следующими свойствами:
1) Функция определена на всей числовой оси.
2) При всех х ф-я распр принимает только положительные значения.
3) Ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вер-ти, т.к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента х, значение функции стремится к нулю.
4) Найдем экстремум функции:
; 
Т.к. при y’ > 0 при x < m и y’ < 0 при x > m , то в точке х = т функция имеет максимум, равный 
|
|
|
5) Функция является симметричной относительно прямой х = а, т.к. разность (х – а) входит в функцию плотности распределения в квадрате.
6) Для нахождения точек перегиба графика найдем вторую производную функции плотности:
При x = m + s и x = m - s вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки меняет знак, т.е. в этих точках функция имеет перегиб. В этих точках значение функции равно 
Построим график функции плотности распределения.
Построены графики при т =0 и трех возможных значениях среднего квадратичного отклонения s = 1, s = 2 и s = 7. При увеличении знач среднего квадратичного отклонения график становится более пологим, а максимальное значение уменьшается..
Если а > 0, то график сместится в положительном направлении, если а < 0 – в отрицательном. При а = 0 и s = 1 кривая называется нормированной. Уравнение нормированной кривой: 
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 259; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!