СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Существуют два способа определения вероятности события.

1. Теоретический способ основан на непосредственном (без проведения специального эксперимента) определении вероятности события по формуле:

P(A)=m/n,

где m - число случаев, благоприятствующих наступлению события А; n - число всех равновозможных случаев из полной группы несовместных событий.

Например, априори известно, что при одном выстреле в мишень равновероятно можно получить 0, 1, 2...10 очков. Какова вероятность того, что в результате одного выстрела будет получено 7 очков?

P(A) = m/n = 1/11= 0,091.

2. Статистический способ основан на предварительном проведении большого числа испытаний. При этом подсчитывают вероятность по формуле:

h (A) = k / L,

где k - число появления события А, называемое частостью А; L - общее число событий, наступивших в некоторой серии испытаний при определенном неизменном комплексе условий; h (A) - статистическая вероятность события.

При большом числе испытаний значение частоты h (A) стабилизируется и приближается к величине вероятности Р(A). Следует подчеркнуть, что статистическую вероятность события можно использовать в качестве значения вероятности только при большом числе испытаний.

В теории вероятностей существует большое количество математических соотношений, используемых на практике. Основные из них описывают сложение или умножение вероятностей.

Вероятность наступления ряда из m событий, принадлежащих к множеству несовместных N событий (N>m), равна сумме вероятностей этих событий:

P(A1+A2+...+Am) = P(A1)+P(A2)+...+P(Am).

Отсюда, в частности, следует, что сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1; сумма вероятностей двух противоположных событий равна 0.

Например, известно, что экзаменационные оценки, полученные слушателями, распределились следующим образом: 4% слушателей получили "2", 6 - "3", 60 - "4" и остальные 30% слушателей - "5". Какова вероятность, что указанный наугад слушатель этой группы получил отрицательную оценку?

P(2) = 4%/100% = 0,04.

Какова вероятность, что указанный наугад слушатель получил положительную оценку?

P(З,4,5) = P(3) + P(4) + P(5) =6%/100% + 60%/100% + 30%/100% = 0,06 + 0,6 + 0,3 = 0,96.

Два единственно возможных и несовместных события образуют полную группу событий. Такие события называются противоположными. Например, событие А - попадание стрелка в цель; событие А - промах. Комбинируя вышеуказанные простые события (т.е. события, не разлагаемые далее на элементы) определенным образом, можно получать так называемые сложные события, имеющие важные практические приложения.

Если одно из двух противоположных событий обозначено через A, то другое принято обозначать

Теорема.Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Вероятность одновременного наступления нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

P(C) = P(A1*A2*...*Ak) = P(A1)*P(A2)*...*P(Ak).

Два стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка (Р1) = 0,8, а для второго (Р2) = 0,6. Как найти вероятность того, что оба стрелка попадут в мишень?

Р = Р1* Р2 = 0,8 * 0,6 = 0,48.

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности появления их совместного события:

P(C) = P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A) * P(B)

Две поисковые группы участвуют в обнаружении преступника в лесном массиве. Вероятность обнаружения преступника первой группой (Р1) = 0,8; второй группой (Р2) = 0,4. Какова вероятность того, что преступника обнаружит хотя бы одна группа?

Р = Р1 + Р2 - Р1 * Р2 = 0,8 + 0,4 - 0,32 = 0,88.

Математические соотношения теории вероятностей позволяют по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных с ними. Например, вероятность какого-либо события В, вычисленная в предположении, что перед этим наступило связанное с ним событие А, называется практические приложения соотношения условной вероятности можно проиллюстрировать следующими примерами.

При медицинском освидетельствовании лиц, претендующих на получение разрешения на вождение автомобиля, оказалось, что из N (общего числа претендентов) Na страдают дальтонизмом, Nb- женщины. Пусть А и В означают события, состоящие соответственно в том, что случайно выбранное лицо страдает дальтонизмом или является женщиной. В частности, может оказаться необходимым найти вероятность того, что случайно выбранная женщина страдает дальтонизмом, т.е. найти:

Р(А/В) = Р(АВ)/Р(В),

где: Р(А/В) - вероятность события А (дальтонизм) при условии, что произошло событие В (выбрана женщина); Р(AВ) - вероятность того, что женщина страдает дальтонизмом; Р(В) - вероятность того, что случайно выбранное лицо из N - женщина.

Так, при N = 240 и Nb = 30; Р(В) = Nb/N = 0,125. По данным генетических исследований известно, что для женщин Р(АВ) = 0,0001. Таким образом, Р(А/В) = 0,0001/0,125 = 0,0008.

Следует отметить, что если Р(В/А) = Р(В) и Р(А/В) = Р(А), то события В и А взаимонезависимы.

Наряду со случайными событиями в теории вероятностей и ее применениях рассматриваются случайные величины. Представим себе, что при каждом наблюдении некоторая величина принимает какое-то значение в зависимости от случая. Например, количество звонков в дежурную часть по линии «02» за 1 час.

Случайные величины различаются как теми значениями, которые они способны принимать, так и вероятностями, с которыми эти значения принимаются. Например, вероятность того, что за промежуток времени t число вызовов патрульного наряда окажется равным k. Как показывают многочисленные наблюдения такая вероятность согласуется с формулой:

где l - некоторая положительная постоянная.

,а k! – факториал, причем n!= n(n - 1)(n - 2)...×3×2×1, пример:

Эта формула получила название формулы Пуассона. Скорость молекулы газа также случайна и может принимать любые значения. Этих значений столько же, сколько положительных чисел. Как в этом случае задавать вероятности этих значений? Математики пошли по такому пути: стали определять не вероятность каждого из возможных значений, а вероятность того, что случайная величина x примет значение меньшее, чем заданное значение.

x :P { x<x } = F (x)

Функция F (x) наименование функции распределения случайной величины x. Из теоремы сложения легко вывести следующее равенство:

P{ a£x<b } = F(b) - F(a),

позволяющее по функции распределения определять вероятность выполнения указанного неравенства.

К более сложным соотношениям теории вероятностей относятся формулы Бернулли и Пуассона.

Формула Бернулли, описывающая вероятность того, что в N независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события p (0 £ p £ 1), событие наступит k раз (безразлично - в какой последовательности), равна:

Например, состязаются два равносильных самбиста. Какова вероятность для одного из них выиграть две схватки из четырех?

Вероятность выигрыша p = 0,5, так как соревнуются два равных самбиста, и вероятность проигрыша 1-p = 0,5, тогда

Формула полной вероятности

Пусть событие А может произойти в результате осуществления одного события из некоторой полной группы событий H1, H2, …Hn.

События этой группы обычно называют гипотезами. Тогда

P(A) = P(H1)P_H1(A) + P(H2) P_H2 +…+ P(Hn)P_Hn(A)

(формула полной вероятности), причем P(H1) +P(H2) +…+ P(Hn) = 1.

Пусть в результате испытания произошло событие А, которое могло наступить только вместе с одним из событий H1, H2,…Hn, образующих полную группу событий (они называются гипотезами). Требуется найти вероятность событий H1, H2,… Hn после испытания, когда событие А имело место, т.е. PA(Hi), i = 1,2,…n.

Для нахождения этих вероятностей используют формулы Байеса (формулы гипотез):

При этом надо учитывать:

1) Вероятности PA(H1) называются послеопытными (апостериорными) вероятностями гипотез Hi, а вероятности P(Hi) - доопытными (априорными) вероятностями гипотез Hi. Эти вероятности различаются.

2) Знаменатель в правой части формулы (2) совпадает с правой частью формулы (1) и равен P(A).

Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 692; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 234 5 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!