Д-зета функция Римана и Формула Эйлера-Маклорена
№1 Ряд 
1) Первым шагом в исследовании данной функции является нахождение её значений от чётных положительных аргументов. Для этого рассмотрим формулу Муавра 
где 
мнимая единица. Раскрывая левую часть по формуле Ньютона и приравнивая коэффициенты при 
получим что 
положим 
тогда 
далее положим что
тогда 
так как
а 
то и 
а значит 
тогда сделав замену 
будем иметь
тогда если положить 
будем иметь 
2) По ранее найденному, имеем 
тогда логарифмируя получим что
далее дифференцируя будем иметь 
используя связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями 
будем иметь 
далее умножим оби части равенства на 
и разложим функцию в ряд 
и переставляя суммы местами будем иметь 
3) Рассмотрим функцию 
положим. что 
тогда поскольку 
будем иметь
и вообще 
или 
то есть 
те самые числа Бернулли, которые появились в
параграфе №2 тогда 
или, перенеся 
влево,
или 
таким образом 
4) Тогда приравняв коэффициенты при одинаковых степенях в двух представлениях функции 
получим, что 
откуда получим, что
5) Рассмотрим ряд 
очевидно что 
а поскольку 
следовательно 
а значит
6) Рассмотрим ряд 
далее 
затем возьмём сумму и вычтем из неё сумму 
окажется, что 
а значит 
то есть
рассмотрим теперь функцию
и а нечётно тогда перепишем в виде
где 
тогда заменяя 
сумма станет равной 
или в итоге получим
7) Примеры сумм:
а) 
б) 
в) г) 
д) 
е) 
ж) 
з) 
и) 
и.т.д.
|
|
|
№2 Суммы через числа Бернулли
1) Ранее было показано, что если имеется последовательность 
где номер элемента тогда 
где числа Бернулли
2) Рассмотрим ряд 
Этот ряд расходится. Попробуем найти его конечную сумму, для этого найдём несколько производных 
… 
а значит 
для определения постоянной 
воспользуемся тем что для больших ряд справа быстро сходится откуда например для 
будем иметь 
таким образом
данный ряд является асимптотическим и при больших 
вычисленная нами постоянная - так называемая постоянная Эйлера.
2) Рассмотрим n! будем иметь 
рассмотрим сумму 
тогда 
а значит
таким образом получим 
далее 
следовательно
это так называемаяформула Стирлинга.
Считая, функцию справа непрерывной найдём что 
для 
3) Вновь вернёмся к Д-зете функции Римана и найдём общую формулу для произвольного аргумента 
. Для этогонайдём производные 
равные 
…
а значит 
Рассмотрим данный ряд при различных значениях
а) Пусть 
тогда 
действительно 
относительная ошибка 
б) Пусть 
тогда
в) Пусть 
тогда
г) Пусть 
тогда
уже при ошибка при сложении 3 членов ряда в 6 знаке после запятой.
д) Пусть 
тогда
4) Очевидно чтоесли в (8) положить 
достаточно будет везде к прибавить 
и тогда снова получится верная формула но с новой константой.
|
|
|
5) Рассмотрим ряд 
тогда 
а значит
или
если положить 
то будем иметь 
6) Рассмотрим ряд 
очевидно что 
а значит
или
где
Литература
Дата добавления: 2015-12-21; просмотров: 19; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!