Преобразование рядов

№1 Преобразование рядов по Эйлеру

1) Очень часто бывает трудно или вовсе невозможно получить формулу суммы ряда поэтому особую роль играет преобразование рядов по которое во многих случаях позволяет найти или точную формулу суммы ряда или заменяет его быстросходящимся рядом с той же суммой. Пусть дан сходящийся ряд S(x)= тогда, произведём следующую замену, полжем или

Тогда так как , тогда далее подставляя вместо xⁿ его представление в виде ряда, и соберём коэффициенты при одинаковых степенях y получим:

таким образом замечая что коэффициенты при степенях есть первые, вторые … разности получим

(8)

или для знакочередующего ряда

(9)

Это преобразование носит имя Эйлера и позволяет найти сумму любой последовательности с конечными разностями. То есть по сути формула (8) является полным аналогом формулы (3) и на неё распространяются те же свойства.

2) Используя результат (№3,§1,?1) получим что

3) С помощью преобразования Эйлера можно находить и конечные суммы действительно возьмём ряд S(x)= далее посчитаем сумму этого ряда и вычтем из неё сумму умноженную на в итоге получим

или для знакочередующего ряда

№2 Двойные ряды(Сумма по Эйлеру)

1) Теперь произведём обобщение преобразования Эйлера на функции отличные от Пусть имеется ряд тогда образуем ряд далее предположим что его сумма равна

тогда поскольку

сравнивая коэффициенты в двух суммах получим, что;

откуда … а значит

2) Очевидно, что преобразование Эйлера получается при S(x)=

§ 3 Вычисление числовых рядов с переходом к функциональным

№1 Ряды, сводящиеся к элементарным функциям

Как было сказано ранее многие числовые ряды могут быть сведены к функциональным переходом , а сумму соответствующих функциональных рядов можно получить используя операции дифференциального исчисления.