Определение числового ряда. Сходимость ряда.

Бесконечным числовым рядом называется выражение

u1+u2+...+un+...,

(1)

содержащее неограниченное число членов, где

u₁, u₂, u₃,..., u_n,...

- бесконечная числовая последовательность; u_n называется общим членом ряда.
Для составления ряда нужно знать закон образования общего члена.
Например, если u_n = 2*n+1, то ряд имеет вид:

3, 5, 7, 9,..., 501, 503,..., n*2+1

Если u_n = (-1)ⁿ, то ряд имеет вид:

-1, +1, -1, +1,..., -1, +1,..., (-1)ⁿ

Сумма первых n членов ряда обозначается символом S_n и называется частичной суммой этого ряда. Таким образом,

S_n = u₁ + u₂ +... + u _n

или, короче,

Определение: Ряд называется сходящимся, если сумма первых его n членов при n ®¥ стремится к конечному пределу S, называемому суммой ряда.
Если ряд (1) сходится, т.е. имеет сумму S, то пишут

S = u₁ + u₂ +... + u _n +...

Если же при n ®¥ сумма S_n не имеет предела или

 

 

Необходимый признак сходимости ряда

Теорема. Если ряд сходится, то un= 0. Доказательство. Пусть ряд u1+u2+…+un… сходится, то есть существует конечный предел = S. Тогда имеет место также равенство = S, так как при n и (n-1) . Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем - = = un =0, что и требовалось доказать. Следствие. Если un ≠0, то ряд u1+u2+…+un… расходится. Пример. Ряд расходится, так как un = . Подчеркнём, что рассмотренный признак является только необходимым, но не достаточным, то есть из того, что un =0 не следует, что ряд сходится. Позже докажем, что так называемый гармонический ряд (6) расходится, хотя un = Этот ряд часто будет использоваться в дальнейшем.

 

 

---

Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 15; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!