Некоторые оценки и методы определения эффективных характеристик. Сравнительный анализ
4.3.1. Макроскопически изотропная гетерогенная среда. В приближении, предложенном Фойгтом (Voight W., 1910), предполагается, что гетерогенная среда находится в однородном деформированном состоянии, что приводит к осреднению тензора упругих модулей:
(4.3.1)
В подходе Рейсса (Reuss A., 1929) предполагается, что гетерогенная среда находится в однородном напряженном состоянии и осредняется тензор упругих податливостей:
(4.3.2)
Исходя из энергетических соображений, Р. Хилл (Hill R., 1952) показал, что подход Фойгта дает верхнюю оценку упругих модулей композита, а подход Рейсса – нижнюю оценку:
(4.3.3)
Неравенства (4.3.3) носят название “вилки” Фойгта – Рейсса. Для двухкомпонентного упругого композита с изотропными матрицей 
и включениями 
оценки Фойгта – Рейсса имеют вид:
(4.3.4)
, (4.3 5)
где 
– модуль объемного сжатия, 
– модуль сдвига.
Принимая во внимание соотношение 
, легко убедиться, что для модуля Юнга имеют место неравенства:
(4.3.6)
В 1962 году З. Хашином и С. Штрикманом [37] был предложен вариационный метод определения эффективных характеристик, целью которого являлось сужение вилки Фойгта – Рейсса, которая оказывалась весьма “широкой” для многих упругих композитов. Для двухкомпонентного упругого композита с изотропными компонентами результаты Хашина – Штрикмана имеют вид:
(4.3.7)
(4.3.8)
(4.3.9)
4.3.10)
(4.3.11)
(4.3.12)
В формулах (4.3.9)–(4.3.12) предполагается, что включения являются более жесткими, чем матрица 
.
|
|
|
4.3.2. Макроскопически трансверсально-изотропная гетерогенная среда. Простейший способ расчета эффективных характеристик волокнистых композитов предложен В.В. Болотиным[27, 12]. Этот способ основывается на допущениях:
– в матрице и волокнах напряженно-деформированное состояние однородное;
– продольные деформации в матрице и волокнах одинаковые;
– поперечные компоненты тензора напряжений в матрице и волокнах равны.
Принимая эти допущения, можно получить следующие формулы для эффективных характеристик (некоторые члены, имеющие порядок квадрата от коэффициентов Пуассона по сравнению с единицей, отброшены):
(4.3.13)
– ось 3 (L) направлена вдоль волокон, оси 1,2 (Т) расположены в плоскости, перпендикулярной к оси 3.
Эффективные упругие модули, полученные на основе упрощенного анализа механического поведения волокнистых композитов, приводятся также в работах Д.С. Аболиньша [28], B.Л. Бидepмaнa [29], A.M. Cкyдpы c сoaвтopaми [30, 31] и других.
Эффективные характеристики волокнистых композитов можно определить исходя из точного решения краевой задачи теории упругости о деформации упругого тела с регулярными упругими включениями. Систематическое исследование волокнистых композитов с применением двоякопериодических функций (эллиптических функций Вейерштрасса) можно найти в работах Г.А. Ван Фо Фы (Ванина) [8, 38, 39, 40]. Преимущество данного подхода состоит в том, что он позволяет не только определить эффективные модули, но и выяснить характер напряженного состояния в микроне однородной среде. Но есть и существенное ограничение – точные решения удается получать сравнительно редко, лишь для простых в геометрическом отношении гетерогенных сред.
|
|
|
Вариационные оценки эффективных характеристик для волокнистых композиционных материалов были получены Р. Хиллом [41] и 3. Хашином и В. Розеном [15]. Эти оценки являются наилучшими возможными при произвольной геометрии фаз:
;
(4.3.14)
,
где k – модуль объемного сжатия при плоском деформированном состоянии (для изотропного материала: 
).
(4.3.15)
(4.3.16)
(4.3.17)
(4.3.18)
4.3.2. Сравнительный анализ. Весьма интересно сравнить эффективные упругие характеристики, полученные в результате конечно-элементного анализа, с эффективными упругими характеристиками, полученными ранее другими авторами [4–8, 12–15, 27–31, 37–41]. Сравнение проведем для макроскопически трансверсально-изотропной гетерогенной среды, описанной в параграфе 4.2 (представительный элемент объема изображен на рис.4.2, свойства компонентов представлены в таблице 4.1, объемные концентрации компонентов: 
).
|
|
|
В таблице 4.6 приведены эффективные модули Юнга 
. Наряду с результатами, полученными для макроскопически трансверсально-изотропной среды, представлены оценки Фойгта – Рейсса (4.3.1)–(4.3.6) и Хашина – Штрикмана (4.3.7)–(4.3.12), справедливые для макроскопически изотропной гетерогенной среды. Таблица 4.7 содержит эффективные коэффициенты Пуассона, таблица 4.8 – эффективные модули сдвига.
Отметим, что все конечно-элементные эффективные упругие характеристики находятся между нижним и верхним значениями “вилки” Хилла – Хашина – Розена (4.3.14)–(4.3.18) (значения 
, определенные по формулам Болотина – Бидермана (4.3.13), не попадают в указанную вилку).
Таблица 4.6
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 51; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!