Области устойчивости
Критерии устойчивости дают возможность определить ее устойчивость при конкретных, заданных параметрах системы. Однако исследование устойчивости системы при фиксированных значениях ее параметров не всегда дает удовлетворительные результаты, поскольку параметры объекта управления и устройств управления в процессе реальной работы всегда изменяются в определенных пределах. В этом случае важно выяснить, не приводят ли подобные изменения к нарушению устойчивости работы системы автоматического управления. Кроме того, если параметр системы является настраиваемый, то большое практическое значение имеет определение тех значений параметра, при которых система сохраняет устойчивость.
Таким образом, возникает задача определения совокупности значений параметров, при которых система автоматического управления заданной структуры остается устойчивой. Эта совокупность называется область устойчивости, и может быть изображена в виде области в пространстве, по осям координат которого откладываются значения параметров системы.
Для этих целей наибольшее распространение получил метод D-разбиения. Положительной особенностью данного метода является то, что он позволяет с помощью построения одной лишь кривой определить область значений интересующего нас параметра, при которых система устойчива.
В основе метода D-разбиения лежат следующие соображения. Как показано выше (п. 5.2), если система устойчива, то действительные части всех корней характеристического уравнения отрицательны. При этом все корни характеристического уравнения располагаются в левой части плоскости корней (рис. 5.7). Корни характеристического уравнения определяются его коэффициентами, которые, в свою очередь, являются функция от параметров системы. Поэтому, при изменении параметров системы, соответственно изменяется расположение корней характеристического уравнения. Если система была устойчивой, а затем, в результате изменения ее параметров стала неустойчивой, то хотя бы один вещественный корень или хотя бы одна пара комплексно-сопряженных корней перешла из левой полуплоскости в правую через ось мнимых чисел, то есть вещественная часть корня становиться равной нулю. Данное состояние называется границей устойчивости. Суть метода D-разбиения заключается в том, что определяется пространство параметров, при котором система находится на границе устойчивости.
|
|
|
Рассмотрим метод D-разбиения по одному параметру. Пусть параметр D, устойчивую область значений которого мы хотим определить, входи в коэффициенты характеристического уравнения системы линейно. Тогда характеристическое уравнение системы можно записать в виде
|
|
|
, (5.26)
где N(s) – многочлен, свободный от параметра D; M(s) - многочлен, коэффициенты которого имели до вынесения за скобки параметр D.
Заменив в (5.26) 
, получим уравнение
. (5.27)
Комплексная переменная в (5.27) есть не что иное, как кривая (годограф) Михайлова. Равенство ее нулю является условием нахождения системы на границе устойчивости. Решим уравнение (5.27) относительно D:
. (5.28)
В данном случае параметр D представляется в виде комплексного числа, вещественная часть которого 
в действительности характеризует его реальную величину. Комплексную величину 
для конкретного значения частоты можно изобразить в виде вектора на комплексной плоскости. При изменении частоты в диапазоне от 
до 
конец этого вектора выписывает на комплексной плоскости кривую D-разбиения, представляющую собой границу устойчивости.
Кривая D-разбиения симметрично относительно вещественной оси, поэтому достаточно построить ее часть, соответствующую положительным значениям частоты, а вторую половину получить ее зеркальным отражением относительно вещественной оси (рис. 5.15).
Рисунок 5.19 – Кривая D-разбиения для одного параметра
|
|
|
Каждой точке полученной кривой D-разбиения соответствует некоторая точка на мнимой оси плоскости корней характеристического уравнения. Следовательно, всю кривую D-разбиения можно рассматривать как геометрическое отображение мнимой оси плоскости корней. Левая сторона кривой D-разбиения, если идти в порядке возрастания частоты от до , соответствует левой (устойчивой) полуплоскости корней, правая сторона кривой – неустойчивой правой полуплоскости корней. Таким образом, кривая D-разбиения на рис. 5.19 дает три области распределения корней характеристического уравнения в зависимости от параметра D. При 
(область 1) и 
(область 3) система неустойчива, а при 
- устойчива (область 2).
Рассмотрим пример построения кривой D-разбиения. Пусть замкнутая система автоматического регулирования имеет вид, изображенный на рис. 5.14. Передаточные функции звеньев равны
Передаточная функция разомкнутой системы определяется как
,
где 
- общий коэффициент усиления. Построим кривую D-разбиения для общего коэффициента усиления K.
Поскольку передаточная функция замкнутой системы определяется как
,
то характеристическое уравнение замкнутой системы запишется как 
.
Определим отсюда K: 
.
|
|
|
Выполним подстановку и сгруппируем вещественные и мнимые составляющие. В результате получим:
Для построения кривой D-разбиения воспользуемся программой MathCAD.
Рисунок 5.20 – Текст программы на MathCAD для построения кривой D-разбиения
Поскольку отрицательное значение коэффициента усиления не имеет физического смысла, то будем рассматривать только положительный участок вещественной оси. Из кривой D-разбиения следует, что значения K, лежащие в диапазоне от 0 до 19,8 обеспечивают устойчивую работу системы.
Дата добавления: 2016-01-04; просмотров: 18; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!