Логарифмическая форма критерия Найквиста
Если частотные характеристики разомкнутой системы известны и разомкнутая система устойчива, то критерий Найквиста может быть применен в модифицированной форме, основанной не на анализе поведения годографа в комплексной плоскости, а на анализе логарифмических амплитудно-частотной (ЛАЧХ) и фазо-частотной (ФЧХ) характеристик.
Сформулируем критерий Найквиста для данного случая. Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы на всех частотах, где логарифмическая амплитудно-частотная характеристика разомкнутой системы положительная (
), значение фазо-частотной характеристики не достигало 
, или достигало его четное число раз.
Почему рассматривается ЛАЧХ при значении фазы, равном ? Потому что, согласно критерию Найквиста устойчивость оценивается по тому, с какой стороны от точки -1,j0 амплитудно-фазовая характеристика пересекает вещественную ось комплексной плоскости. Ведь при пересечении вещественной оси фазовый угол сдвига этой характеристики равен .
Если модуль амплитудно-фазовой характеристики меньше единицы, то соответствующая ему ЛАЧХ отрицательна, поскольку числа, меньшие единицы, имеют отрицательный логарифм. Отрицательность ЛАЧХ при фазе говорит о том, что амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не охватывает точку -1,j0.
Замкнутая система будет находится на границе устойчивости, если на той же частоте 
, где ЛАЧХ разомкнутой системы обращается в нуль (
), значение фазо-частотной характеристики равно 
.
|
|
|
На рис. 5.17 приведены логарифмические частотные характеристики, соответствующие устойчивой и неустойчивой замкнутым системам.
Рисунок 5.17 – Логарифмические частотные характеристики устойчивой (а) и неустойчивой (б) систем
Поскольку передаточная функция разомкнутой системы обычно является произведением типовых динамических звеньев, асимптотические логарифмические характеристики которых представляют собой ломаные прямые линии, то построение логарифмической частотной характеристики всей разомкнутой системы заключается в графическом суммировании отдельных участков характеристик звеньев. Пример подобной процедуры приведен в п. 4.2 данного пособия.
Запас устойчивости
Анализ устойчивости системы автоматического управления выполняется с помощью ее математической модели. Однако, математическая модель никогда не бывает полностью адекватной исследуемой физической системе. При построении математической модели делается ряд допущений, в результате чего параметры реальной системы несколько отличаются от расчетных (номинальных) параметров. Кроме того, с течением времени параметры системы могут изменяться в некоторых диапазонах. Все это может привести систему к потерям устойчивости. Поэтому система должна обладать определенным запасом устойчивости при изменении ее параметров.
|
|
|
Запас устойчивости – это количественная оценка расстояния значений параметров системы или ее характеристик от зоны, опасной с точки зрения устойчивости.
Опасными, или предельными называются значения параметров системы, при которых она находится на границе устойчивости. Этому соответствует, если годограф Михайлова проходит через начало координат или амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы проходит через точку с координатами {-1, j0}.
На основе критерия Найквиста можно получить частотные оценки запаса устойчивости, которые характеризуют удаление амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы от критической точки {-1, j0}. Различают запас устойчивости по модулю и фазе.
Запас устойчивости по модулю (h) показывает, насколько необходимо увеличить модуль амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы, чтобы замкнутая система оказалась на границе устойчивости. Запас устойчивости по модулю (рис. 5.18, а) равен расстоянию от точки пересечения амплитудно-фазовой характеристикой вещественной оси до точки {-1, j0}.
|
|
|
Запас устойчивости по фазе 
показывает, насколько необходимо увеличить фазу амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы при частоте среза , чтобы соответствующая ей замкнутая система оказалась на границе устойчивости. За частоту среза принимают такую частоту, при которой амплитудно-фазовая характеристика пересекается с окружностью единичного радиуса, то есть 
. Запас устойчивости определяется углом между вектором 
и отрицательной вещественной полуосью (рис. 5.18, а).
Запасы устойчивости также можно определить и по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы (рис. 5.18, б). В этом случае запас устойчивости по модулю будем обозначать как 
и измерять в децибелах. Он показывает, во сколько раз можно увеличить коэффициент усиления системы без потери устойчивости.
Запас устойчивости по фазе будем обозначать 
. Он определяется на частоте среза и характеризует отклонение фазо-частотной характеристики от , то есть 
.
Рисунок 5.18 – Определение запасов устойчивости по АФХ (а) и логарифмическим частотным характеристикам (б)
|
|
|
Опытным путем установлено, что для нормальной работы многих систем управления необходимо обеспечить следующие запасы устойчивости:
. (5.25)
Эти рекомендации носят эмпирический характер. Исходя из технологических требований, для некоторых систем могут потребоваться большие или меньшие запасы устойчивости.
Дата добавления: 2016-01-04; просмотров: 19; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!