Стохастические сети. Разомкнутые - Теорема Джексона. Замкнутые – результат Гордона и Ньюэлла.

Ответ.

Стохастическая сеть (СС) представляет собой совокупность СМО, в которой циркулируют заявки, переходящие из одной СМО в другую. Сеть называют стохастической (случайной), потому что маршруты заявок в общем случае носят случайный характер. Структуру СС представляют в виде графа, вершины которого (узлы сети) соответствуют СМО, а дуги – вероятным путям перехода заявок из одной СМО в другую.

Разомкнутые сети. Рассматривается СС, состоящая из M узлов. Пусть i-й узел (i = 1, 2, … M) содержит m_i одинаковых ОА и общую очередь заявок. Время обслуживания в каждом ОА имеет экспоненциальное распределение со средним значением τ_i = 1/μ_i. Имеется M внешних пуассоновских источников заявок с интенсивностями γ_i, (i = 1, 2, … M) поступления заявок в каждый узел. После обслуживания в узле i заявка с вероятностью r_ij поступает в узел j или покидает систему с вероятностью

 r_i0 = 1 –

Состояние сети в момент t описывается вектором ξ(t) = (ξ₁(t), ξ₂(t), …, ξ_M(t))

При сделанных допущениях вектор состояния представляет собой марковский случайный процесс, являющийся многомерным аналогом процесса размножения-гибели. Если интенсивность поступления заявок в каждый узел сети не зависит от числа заявок, то решение системы уравнений для стационарного распределения имеет вид произведения, в котором каждый сомножитель p_i(n_i) определяется характеристиками i-го узла сети (теорема Джексона). Иными словами, СС ведет себя как совокупность независимых СМО с пуассоновскими входными потоками интенсивности λ_i и интенсивностями обслуживания μ_i(n_i). Для расчета стационарных вероятностей состояния каждого узла предварительно надо определить λ_i.

Для нахождения значений λ_i  надо решить систему уравнений баланса интенсивностей

λ_i  = γ_i  + , i = 1, 2, …, M

Замкнутые сети.

В замкнутой СС отсутствуют внешние источники заявок, но в ней постоянно циркулируют N заявок, переходя от узла к узлу. При этом заявки не покидают сеть,

 т.е.

Результат, полученный впервые Гордоном и Ньюэллом, это соотношение, аналогичное теореме Джонсона, в котором стационарная вероятность

P(n₁, n₂, …, n_M) также имеет вид произведения, в котором каждый сомножитель p_i(n_i) определяется характеристиками i-го узла сети. Но при этом дополнительно приходится рассчитывать константу G(N), обеспечивающую равенство единице суммы вероятностей компонент стационарного распределения, поскольку система уравнений баланса интенсивностей для λ_i

λ_i  = , i = 1, 2, …, M

определяет λ_i  с точностью до множителя.

Для получения расчетных соотношений для среднего числа заявок в каждой СМО используется аппарат производящих функций, а для среднего времени ответа – формула Литтла.

 

Вопрос

---

Дата добавления: 2023-02-21; просмотров: 122; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!