Марковские модели. Уравнения Колмогорова-Чепмена. Записать уравнения Колмогорова-Чепмена для системы М/М/1.
Ответ.
Уравнения Колмогорова для марковских процессов (процессов, в которых все потоки событий, вызывающих изменения состояний системы, обладают свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия) – это соотношения вида
F(P’(t), P(t), Л) = 0, где Л = (λ1, λ1,… λq) – некоторый набор коэффициентов.
Обычно уравнения Колмогорова записывают формально, исходя из структуры графа переходов марковской системы. Вершины графа соответствуют состояниям системы, стрелки показывают направления переходов, веса над стрелками соответствуют интенсивностям переходов из состояния в состояние.
Для составления уравнений Колмогорова на основе графа переходов используют такое формальное правило. В левой части каждого уравнения стоит производная вероятности состояния, а в правой части находится столько слагаемых, сколько стрелок связано с данным состоянием. Если стрелка направлена из состояния, то соответствующий член имеет знак минус, если в состояние, то знак плюс. Каждый член равен интенсивности перехода, отвечающей данной стрелке, умноженной на вероятность того состояния, из которого выходит стрелка.
В системе М/М/1 входной поток пуассоновский с интенсивностью λ, а обслуживание (один ОА) экспоненциальное с параметром μ. Вершина (i) графа соответствует состоянию, когда в системе i требований. Вершина (0) связана только с одной вершиной (1), соответствующие интенсивности перехода - λ (из (0) в (1)) и μ (из (1) в (0)). Остальные вершины (i) связаны с двумя соседними (i-1) и (i+1). Интенсивности перехода аналогичные – λ (вправо) и μ (влево).
|
|
|
По формальному правилу получаем уравнения Колмогорова:
p’0(t) = -λp0(t) + μp1(t)
p’1(t) = λp0(t) – (μ+λ)p1(t)+ μp2(t)
…
p’n(t) = λpn-1(t) – (μ+λ)pn(t)+ μpn+1(t)
…
Дифференциальные уравнения решаются с учетом условия нормировки
( 
= 1) и начального условия, например, p0(0) = 1.
Для анализа стационарного режима левые части уравнений Колмогорова заменяются нулями, и решается получившаяся система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ.) относительно компонентов стационарного распределения, через которые определяются показатели (среднее число требований в системе, среднее время ожидания/пребывания, средняя производительность)
Вопрос:
Марковский процесс размножения-гибели. Граф переходов. Расчетные соотношения для стационарных вероятностей состояния.
Ответ.
Процесс размножения-гибели (ПРГ) – марковский процесс, у которого каждое состояние связано с двумя соседними, каждое из двух крайних связано с одним соседним.
Граф переходов имеет вид:
Для ПРГ решение уравнений относительно стационарных вероятностей состояния имеет вид:
|
|
|
p0 = (1 + λ0/μ1 + λ0λ1/(μ1μ2) + … + Пi=1N (λi-1/ μi))-1
p1 = p0* λ0/μ1
p2 = p1* λ1/μ2 = p0*λ0λ1/(μ1μ2)
…
pN = pN-1* λN-1/μN = p0* Пi=1N (λi-1/ μi)
Вопрос.
9. Распределение Эрланга. Метод этапов в анализе полумарковских систем. Написать граф переходов для системы М/Е3/1.
Ответ.
Распределение Эрланга порядка k – это распределение суммы k случайных величин, распределенных экспоненциально. Его характеристики (моменты) определяются через ПЛС, которое является k-й степенью ПЛС экспоненциального распределения.
Если обработка сообщения в системе осуществляется последовательностью k подпрограмм, длительность которых имеет экспоненциальное распределение, то длительность обработки сообщения имеет распределение Эрланга порядка k.
В этом случае в описание состояния системы, кроме числа сообщений в системе, вводится дополнительная переменная – номер этапа обслуживания (длительность этапа имеет экспоненциальное распределение, число этапов – это параметр k в распределении Эрланга). Это позволяет строить граф переходов и записывать уравнения Колмогорова относительно вероятностей состояния.
Граф переходов для системы М/Е3/1 имеет вид:
|
|
|
Вопрос.
Дата добавления: 2023-02-21; просмотров: 225; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!