Тригонометрическая форма комплексного числа.
Например. Представить комплексное число в тригонометрической форме.
Решение: здесь , найдем
, точка с координатами находится в 4 четверти координатной плоскости, , следовательно , данное число в тригонометрической форме будет иметь вид:
Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.
Формула Муавра.
Эта формула позволяет возводить в степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:
Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа:
Показательная форма комплексного числа:
Тригонометрическую форму комплексного числа можно заменить показательной:
Пример.
Представить число в тригонометрической и показательной форме.
Решение. , b=-1, r=
,
И следовательно =2 ;
В показательной форме:
Дифференциальные уравнения.
Определение: дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х , искомую функцию у и ее производные или дифференциалы.
Решением (или интегралом) дифференциального уравнения, называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.
Общим решением (или интегралом)дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.
|
|
Частным решениемдифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных условиях.
Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.
Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменным.
Уравнение вида называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные:
Затем интегрируем обе части данного равенства:
Пример.
Найти общее решение уравнения:
Разделим переменные:
Проинтегрируем обе части равенства:
Или
- общее решение дифференциального уравнения.
Линейные уравнения.
Линейные уравнения – это уравнения вида:
Где и - функции от . В частном случае
и могут быть постоянными величинами.
|
|
Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки и - новые функции от . Дифференциала этого равенства по
Пример.
Найти общее решение уравнения
Выполним замену , и продифференцируем
это равенство по , подставив в
yравнение, получим
Т. к. одну из вспомогательных функций или
можно выбрать произвольно, то в качестве возьмем одно из частных решений уравнения
Разделив в этом уравнении переменные и интегрируя получим:
или
(произвольную постоянную С принимаем равной нулю, так как находим одно из частных решений).
Подставив теперь выражение для в уравнение
получим
или разделяя переменные и
интегрируя, будем иметь
Зная и , найдем
Ряды.
Бесконечная последовательность чисел, соединенных знаком сложения, называется числовым рядом.
|
|
Если этот предел существует и конечен , то ряд называют сходящимся.
Если же этот предел бесконечен или вовсе не существует, то ряд называют расходящимся.
Условие называется необходимым условием сходимости ряда.
Признаки сходимости рядов:
1.Признак сравнения.
Пусть даны два ряда с положительными членами
u1+u2+u3+…+un+…
v1+v2+v3+…+v n+…
И пусть для всех значений k =1, 2 … выполняются неравенства
Тогда:
А) если 1 ряд сходится, то и сходится 2 ряд;
Б) если 2 ряд расходится, то и расходится 1 ряд
2. Признаки Даламбера и Коши
Признак Даламбера:
Пусть дан ряд с положительными членами
u1+u2+u3+…+un+…
И пусть существует конечный предел
Тогда:
а) если <1, то ряд сходится;
б) если >1,то ряд расходится;
г) если =1, то вопрос о сходимости ряда остается открытым;
Признак Коши:
Пусть дан ряд с положительными членами
u1+u2+u3+…+un+…
И пусть существует конечный предел
Тогда:
а) если <1, то ряд сходится;
б) если >1,то ряд расходится;
г) если =1, то вопрос о сходимости ряда остается открытым;
Степенные ряды.
Степенным рядом называют ряд вида:
Эти ряды являются частным случаем функциональных рядов. Общий член ряда имеет вид:
|
|
Числа cn называют коэффицентами степенного ряда. Рассматривают также ряды
Называемые степенными рядами в точке х0.
Ряд вида
…
Называется рядом Тейлора.
Если в ряде Тейлора положим , то получим частный случай ряда Тейлора , который называется рядом Маклорена.
… (1)
Пример:
Разложить функцию в ряд Маклорена.
Решение. Найдем производные и значения функции и производных в точке х=0:
подставим полученные значения в формулу (1) , получим:
.
Контрольные задания.
1.
11. Вычислить угол между векторами и , если и
12. Вычислить длину вектора - , если и
13. Вычислить длину вектора + , если ,
14. Вычислите проекцию вектора на ось , если угол между осью и направлением вектора равен , а | |=12
15. Даны векторы и , угол между ними . Построить вектор 2 - и определить его длину , если | |=2 ; | |=3
16. Даны векторы и . Найти длину вектора 3 -2 .
17. Дано векторы | |=5 ; | |=4 и =( ) = .
Найти: а) ; б) .
18. Построить вектор , если A ; B и найти его длину.
19. Найти скалярное произведение векторов и и угол между ними.
20. Найти модуль вектора = 2 -3 , если | |=2 ; | |=1 и ( )= .
2. Дан треугольник ABC с вершинами A , B , C . Вычислите | CA |; | BC |; .
Вычислите длину медианы AE и величину угла C . Сделайте чертёж.
21) A ; B ; C
22) A ; B ; C
23) A ; B ; C
24) A ; B ; C
25) A ; B ; C
26) A ; B ; C
27) A ; B ; C
28) A ; B ; C
29)А(-5,5); В(-5;7); С(5;0)
30)А(6;0); В(6;-3); С(8;2)
3. Найти пределы:
31. а) b)
c)
32. a) b)
c)
33. a) b)
c)
34. a) b)
c)
35. a) b)
c)
36. a) b)
c)
37. a) b)
c)
38. a) b)
c)
39. a) b)
c)
40. a) b)
c)
4.Вычислите определитель:
41) 42) 43)
44) 45) 46)
47) 48) 49)
50) .
Дата добавления: 2020-12-22; просмотров: 99; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!