Противоречивость экспериментальных данных, или
Теорема о сумме углов треугольника
В самом «нежном» возрасте ребёнку можно предложить следующий эксперимент: вырезать из бумаги треугольник, оторвать от него уголки (пунктир – линии отрыва), а затем уложить их так, как показано на рис. 19, то есть совместить вершины, совместить стороны, а к двум свободным приложить линейку. Всё получится без
Рис. 19. Простой эксперимент с углами треугольника
больших усилий, так что естественным образом возникнет гипотеза: сумма углов треугольника равна развёрнутому углу.
Конечно, эта гипотеза не очень надёжна, потому что нарисованные стороны треугольника имеют некоторую толщину, потому что трудно гарантировать прямолинейность разрезов, потому что трудновато точно совместить вершины и стороны… Тем не менее, гипотеза возникла, так что естественно попытаться увеличить её правдоподобие с помощью более точного инструмента. Вот здесь экспериментатора подстерегает неожиданность.
Если в интерактивной математической среде GeoGebra нарисовать треугольник и померить его углы, то мы получим результаты
двух типов. У одних треугольников сумма углов окажется равной в точности 
, а у других она будет отличаться от , как это показано на рис. 20. Интересно, что если в строке ввода вычислить сумму 
, то в обоих случаях на панели объектов получим результат 
. Все выглядит так, как если бы GeoGebra складывала не те числа, которые появились на её полотне, а какие-то другие числа, дающие заранее предписанную сумму.
|
|
|
Рис. 20. Сумма углов треугольника равна…?
Итак, школьник видит, что один и тот же эксперимент даёт два результата, противоречащие друг другу. Как обычно, противоречие между двумя разными результатами снимается с помощью дедуктивных рассуждений.
Идея доказательства заложена в простом эксперименте (рис. 19), в котором три угла треугольника прилежат к одной прямой. Если на рис. 20 мы проведём произвольную прямую через вершину 
, то угол 
будет прилежать к ней «так, как надо», хотя два других угла не будут связаны с углами 
и 
. Если теперь проведенную прямую «пошевелить» и сделать параллельной прямой 
, то в силу критерия параллельности все три угла треугольника окажутся приложенными к построенной прямой так, что в сумме дадут развернутый угол.
Очевидно, что в предыдущем абзаце описана структура канонического доказательства из школьного учебника [1, с. 69–70]. Мы надеемся, что проведение двух экспериментов и апелляция к одному из них позволят школьнику не просто следить за рассуждениями учебника, а стать «соавтором» доказательства.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 159; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!