Уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору

Пусть прямая проходит через точку перпендикулярно вектору .

Точка лежит на прямой тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны. Векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, то есть . Используя формулу вычисления скалярного произведения векторов, заданных своими координатами, уравнение искомой прямой записываем в виде

(2)

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через середину отрезка АВ перпендикулярно этому отрезку если координаты точек соответственно равны А(1;6), В(5;4).

Будем рассуждать следующим образом. Чтобы найти уравнение прямой мы должны знать точку, через которую эта прямая проходит, и вектор перпендикулярный этой прямой. Вектором, перпендикулярным данной прямой, будет вектор , поскольку, по условию задачи, прямая перпендикулярна отрезку АВ. Точку определим из условия, что прямая проходит через середину АВ. Имеем . Таким образом и уравнение примет вид .

Выясним вопрос, проходит ли эта прямая через точку М(7;3).

Имеем , значит, эта прямая не проходит через указанную точку.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку, параллельно данному вектору

Пусть прямая проходит через точку параллельно вектору .

Точка лежит на прямой тогда и только тогда, когда векторы и колинеарны. Векторы и колинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны, то есть

(3)

Полученное уравнение и является уравнением искомой прямой.

Уравнение (3) представим в виде

, где принимает любые значения .

Следовательно, можем записать

, где (4)

Система уравнений (4) называется параметрическими уравнениями прямой.

Рассмотрим пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки . Мы можем построить уравнение прямой, если знаем точку и параллельный или перпендикулярный ей вектор. Точек в наличии целых две. Но если две точки лежат на прямой, то вектор, их соединяющий будет параллелен этой прямой. Поэтому воспользуемся уравнением (3), взяв в качестве вектора вектор . Получаем

(5)

Уравнение (5) называется уравнением прямой, проходящей через две данные точки.

Общее уравнение прямой

Определение. Общим уравнением линии первого порядка на плоскости называется уравнение вида , где .

Уравнение вида называется общим уравнением прямой на плоскости.

Формула вычисления расстояния от произвольной точки плоскости до прямой, заданной общим уравнением.

Пусть имеется прямая и точка . Требуется определить расстояние от указанной точки до прямой.

Пусть даны две прямые, заданные общими уравнениями

, . Тогда векторы перпендикулярны первой и второй прямой соответственно. Угол между прямыми равен углу между векторами , .

Формула для определения угла между прямыми имеет вид:

Условие перпендикулярности прямых имеет вид:

Прямые параллельны или совпадают тогда и только тогда, когда векторы колинеарны. При этом условие совпадения прямых имеет вид: ,

а условие отсутствия пересечения записывается в виде: .

У равнение называется уравнением прямой в отрезках.

Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона этой прямой к оси . Пусть прямая отсекает на оси отрезок и имеет угловой коэффициент . Пусть точка лежит на данной