РАЗДЕЛ 4. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Матрицы и действия над ними
Определители матрицы.
Обратная матрица.
Системы линейных алгебраических уравнений
Транспортная задача
Задания для самостоятельной работы
Матрицы и действия над матрицами
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел 
В этой матрице k строк и n столбцов. (Матрица (kxn) – размер). Двойной индекс принято писать без разделителей, читается: 
- « a один, два». Матрицы мы будем обозначать большими латинскими буквами.
Примеры матриц:
1) А= 
3) С= 
- столбец, т.е. матрица (3x1)
2) B= 
4) D= 
- строка (1x4)
Матрица – квадратная, если число строк равно числу столбцов.
Линейные операции над матрицами.
Линейные операции – это сложение, вычитание, умножение на число.
Сложение и вычитание матриц.
Складывать можно только матрицы одинакового размера. Эта операция выполняется поэлементно, т.е. складывают элементы с одинаковыми индексами. Аналогично происходит операция вычитания матриц.
А= 
, B= 
Пример: 
+ 
= 
Умножение на число.
При умножении матриц на число все её элементы умножаются на это число.
Пример: 
Линейные операции над матрицами обладают очевидными свойствами, легко следующими из соответствующих свойств арифметических операций над действительными числами:
|
|
|
1) A+B= B+A
2) (A+B) +C=A+(B+C)
3) 
4) 
5) 
(свойства выполнимы для любых матриц А, В, С и любых действительных чисел 
для которых определён результат написанных операций).
Замечание. Как видно, в линейных операциях прямоугольная двухмерная структура матриц не имеет роли, здесь используются только то, что в матрицах каждый элемент имеет однозначно определённое место.
Транспонирование матриц.
Операция транспонирования меняет местами строки и столбцы, превращая матрицы размера (kxn) в матрицы (nxk).
Примеры:
1) 
2) 
3) 
Очевидно, что для любой матрицы А выполнено равенство 
Умножение матриц.
Определим сначала умножение строки на столбец.
Пусть 
, тогда 
- число ( или матрица (1x1)).
Перейдём к общему случаю.
Перемножать можно только матрицы согласованного размера и в определённом порядке.
Произведение матриц АВ определено только в случае когда длина строки матрицы А равна длине столбца матрицы В, т.е. А- матрица (kxn), B- матрица (nxl).
|
|
|
Матрицу А будем писать, как набор строк, а матрицу В, как набор столбцов.
Тогда матрица АВ будет иметь размер (kxl)
Примеры:
1)
(2x2), (2x2).
В этом случае определены оба произведения АВ и ВА.
Как видим АВ 
ВА – порядок умножения существенен даже для квадратных матриц одинакового размера.
Замечание. Бывает, что для квадратных матриц АВ=ВА, тогда говорят, что матрицы А и В коммутируют.
2)
Пример умножения квадратной матрицы на столбец:
3) 
здесь умножение в обратном порядке неосуществимо, как и в следующем примере умножения строки на квадратную матрицу:
4) 
Операция умножения матриц обладает следующими свойствами:
1) (АВ)С=А(ВС) (ассоциативность)
2) (А 
3) 
4) 
Свойства имеют место для любых матриц А,В,С и чисел 
, для которых выполняются все записанные операции.
Единичная матрица.
Среди квадратных матриц размера nxn, есть матрица, которая ведёт себя по отношению к операции умножения как единица среди действительных чисел. Т.е. умножение на такую матрицу не меняет умножаемую матрицу.
|
|
|
Такая матрица называется единичной и обозначается буквой I (размер матрицы обычно виден из контекста).
Пример:
1) 
2) 
и т.д.
Имеет место следующее утверждение:
Утверждение. Для любых (не обязательно квадратных) матриц А и В, для которых определены АI и IB, будут выполнены равенства: AI=A и IB=B.
Таким образом, единичная матрица ведёт себя как единица, при умножении её на любую матрицу, на которую её можно умножить справа или слева.
Замечание. Среди матриц (nxn) существуют только одна матрица, удовлетворяющая свойствам приведённого утверждения, а именно указанная матрица I.
Действительно, если бы их было две 
и 
, следовательно 
.
Определители матрицы.
Определитель (или детерминант) – это число, связанное с квадратной матрицей А, обозначение: 
или det A.
1. Определители 1-го порядка для матрицы А= 
(1x1): det A= 
2. Определитель 2-го порядка: 
, det A= 
3. Определитель 3-го порядка: А= 
,
det A= 
Если матрица записана в прямых чертах, то это обозначает определитель матрицы.
|
|
|
Пример:
Говоря о строках или столбцах определителя, имеют в виду строки или столбцы соответствующей матрицы.
Свойства определителей.
1. При перемене местами любых двух строк определитель меняет знак на противоположный.
2. При умножении всех элементов любой строки на некоторое число, определитель умножается на это число.
3. Если любую строку определителя разбить в сумму двух строк, то определитель можно представить как сумму соответствующих определителей:
4. Определитель, имеющий две одинаковые строки равен нулю. (Это свойство следует из свойства 1.).
5. Определитель, содержащий строку из нулей, равен нулю. (Это свойство следует из свойства 2.).
6. К любой строке определителя можно прибавить любую другую строку, умноженную на любое число. Определитель при этом не меняется. (Это свойство следует из свойств 2., 3., 4.).
7. Транспонирование не меняет определителя:
Ввиду свойства 7., т.к. транспонирование меняет строки со столбцами, все свойства 1.-6. выполнены и для столбцов определителя.
Указанные свойства легко проверяют для определителей 2-го порядка, но имеют место для определителей любого порядка.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 188; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!