Принцип возможных перемещений
Пример 7.1
Рис. 7.1 |
Определить зависимость между модулями сил и в клиновом прессе, если сила приложена к концу рукоятки длины перпендикулярно плоскости, содержащей рукоятку и ось винта (Рис. 7.1). Шаг винта равен . Угол при вершине клина .
Дадим системе возможное перемещение: пусть – угол поворота рукоятки; – перемещение точки ; – горизонтальное перемещение клина; – вертикальное перемещение точки .
При исследовании условий равновесия механизмов в зависимости от конкретной задачи, исходя из соображений удобства, можно использовать как возможные скорости, так и возможные перемещения. Для сравнения в этом первом разбираемом примере рассмотрим и возможные перемещения, и возможные скорости.
Условия равновесия системы можно записать в виде:
Возможные перемещения связаны между собой соотношениями (Рис. 7.2)
или (для возможных скоростей)
Рис. 7.2 |
Отсюда:
Теперь условия равновесия записываются в виде
Отсюда:
Пример 7.2
Рис. 7.3 |
Полиспаст состоит из неподвижного блока и подвижных блоков (Рис. 7.3). Определить в случае равновесия отношение веса поднимаемого груза к величине силы , приложенной к свободному концу троса.
|
|
Условие равновесия имеет вид
Рассмотрим первый из подвижных блоков. Точка – мгновенный центр скоростей блока (Рис. 7.4). Возможная скорость точки численно равна возможной скорости точки . Следовательно, Скорость центра каждого последующего подвижного блока равна половине скорости центра предыдущего подвижного блока. Таким образом,
Рис. 7.4 |
Подставляя полученный результат в условие равновесия, имеем:
Пример 7.3
Составная балка , лежащая на двух опорах и , состоит из трех балок , и , шарнирно соединенных в точках и . Балка в сечении защемлена в стене. К балке приложены три силы , и и момент (Рис.7.5). Определить реакцию опоры , составляющие реакции заделки, а также момент реакции заделки.
|
|
Рис. 7.5 |
1. Определим реакцию опоры . Отбросим подвижный шарнир , заменив его действие реакцией . Зададим возможные скорости системы. Эпюры возможных скоростей приведены на Рис. 7.6. Условие равновесия принимает вид:
Балка вращается вокруг шарнира и, следовательно,
Балка совершает плоскопараллельное движение. Ее мгновенный центр скоростей совпадает с точкой . Возможные скорости связаны соотношениями
Рис. 7.6 |
Выражая возможные скорости через какую-нибудь одну, например , записываем условие равновесия в виде:
Поскольку – любая возможная скорость (не равная нулю), приравниваем скобку к нулю и находим:
2. Найдем горизонтальную составляющую реакции заделки. Заменим жесткое защемление в сечении на скользящую заделку с горизонтальными направляющими (Рис.7.7). При этом необходимо ввести горизонтальную составляющую реакции заделки Составная балка получает возможность перемещаться поступательно в горизонтальном направлении.
|
|
Условие равновесия принимает вид:
Но и, следовательно,
Рис. 7.7 |
3. Определим вертикальную составляющую реакции заделки. Заменим жесткую заделку на скользящую с вертикальными направляющими (Рис. 7.8). Балка получает возможность поступательного перемещения по вертикали. Балка может двигаться плоско–параллельно, имея мгновенный центр скоростей в точке . Мгновенный центр скоростей балки по–прежнему находится в точке . Условие равновесия принимает вид:
Рис. 7.8 |
Возможные скорости связаны между собой соотношениями:
Выражая возможные скорости через какую-нибудь одну, например , получаем:
откуда:
|
|
4. Для определения реактивного момента предоставим балке возможность вращаться, заменив жесткое защемление в сечении неподвижным шарниром (Рис. 7.9).
Условие равновесия принимает вид:
По сравнению с предыдущим случаем изменилось кинематическое состояние только стержня . Теперь
Рис. 7.9 |
Опять вынося за скобку ,
получаем:
Общее уравнение динамики
Пример 7.4
Колесо скатывается без скольжения по наклонной плоскости, образующей угол с горизонтом (Рис. 7.10). К оси колеса привязан трос, переброшенный через неподвижный блок и прикрепленный к грузу , поднимающемуся по наклонной плоскости, образующей угол с горизонтом. В начальный момент система находилась в покое. Колесо и блок представляют собой сплошные однородные диски с массами и и радиусами и соответственно. Масса груза равна . Коэффициент трения между грузом и наклонной плоскостью равен . Определить ускорение оси катка.
При составлении силовой схемы необходимо учесть приложенные к системе активные силы, которые могут совершить работу на возможном перемещении системы, все силы инерции и реакции неидеальных связей (в данном случае силу трения ). Общее уравнение динамики можно записать как через возможные перемещения, так и через возможные скорости. В рассматриваемом случае получаем:
причем,
Рис. 7.10 |
Условия, налагаемые связями, приводят к соотношениям:
Отсюда получаем соотношения между ускорениями:
Полученные результаты подставляем в общее уравнение динамики:
Подставляя значения моментов инерции и силы трения, окончательно получаем:
,
Пример 7.5
Призма (тело 1) массы может скользить по идеально гладкой горизонтальной поверхности. В вершине призмы закреплена ось барабана лебедки (тело 2). Конец троса прикреплен к оси катка (тело 3), который катится без проскальзывания по боковой поверхности призмы (Рис. 7.11). Барабан лебедки и каток — сплошные однородные цилиндры одинаковой массы и одинакового радиуса . К барабану лебедки приложен постоянный вращающий момент .
Получить дифференциальные уравнения движения системы на основе общего уравнения динамики.
Силовая и кинематическая схемы представлены на Рис. 7.11. Общее уравнение динамики в рассматриваемом случае имеет вид:
Система имеет две степени свободы. В качестве независимых координат примем координату призмы и относительную координату оси катка . Кинематические условия, налагаемые связями, имеют вид:
Отсюда: и
Учитывая, что
получаем общее уравнение динамики в виде:
Рис. 7.11 |
Поскольку возможные перемещения и могут принимать любые значения и не зависят друг от друга, общее уравнение динамики распадается на систему двух дифференциальных уравнений относительно координат и :
ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ РАЗБОРА В АУДИТОРИИ И ДЛЯ ЗАДАНИЯ НА ДОМ:
Из сборника задач И.В.Мещерского: 46.1; 46.2; 46.3; 46.8; 46.9; 46.10; 46.11; 46.12; 46.20; 46.21; 46.22; 46.24; 46.26; 46.27; 46.29; 47.5; 47.9; 47.11; 47.12; 47.15.
Из учебника «ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА - теория и практика»: комплекты СР-34; СР-35.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 8
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА 2-го РОДА
Пример 8.1
Каток , представляющий собой сплошной однородный цилиндр массы радиуса , катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности. К оси катка привязан трос, переброшенный через неподвижный блок и растягиваемый грузом , масса которого (Рис. 8.1). Блок представляет собой сплошной однородный цилиндр массы . В начальный момент система находится в покое, пружина не растянута. Определить движение системы, предполагая, что при качении катка возникает постоянный момент сопротивления .
Система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат примем координату оси катка и удлинение пружины . Вычислим кинетическую энергию системы:
Уравнения Лагранжа 2–го рода в рассматриваемом случае имеют вид:
Кинетическая энергия в рассматриваемом случае не зависит явным образом от обобщенных координат, поэтому
Рис.8.1 |
Вычислим частные производные по обобщенным скоростям:
Вычислим обобщенные силы: пусть тогда
пусть тогда ,
где — коэффициент жесткости пружины.
Положим для определенности В этом случае уравнения Лагранжа примут вид:
Интегрируя полученную систему уравнений при нулевых начальных условиях, находим:
где
причём,
Пример 8.2
Каток массы радиуса может перекатываться без скольжения по горизонтальной плоскости. К оси катка привязана нерастяжимая нить длинной , на конце которой закреплен шарик массы (Рис.10.3). Составить дифференциальные уравнения малых колебаний системы. Каток считать сплошным однородным цилиндром. Сопротивлением качения пренебречь.
Система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат примем координату оси катка и угол отклонения нити от вертикали . Вычислим кинетическую энергию системы:
Каток катится без проскальзывания и, следовательно,
Учитывая, что
вычисляем проекции скорости точки на оси координат:
Тогда
Полагая для определенности , получаем кинетическую энергию системы:
Вычислим частные производные по обобщенным скоростям:
Рис.10.3 |
Вычислим частные производные по обобщенным координатам:
Вычислим обобщенные силы: пусть тогда . Отсюда
Пусть тогда
Отсюда:
Уравнения Лагранжа принимают вид:
По условию колебания малые, т.е. и Пренебрегая малыми более высокого порядка получаем:
Пример 8.3
Призма (тело 1) массы может скользить по идеально гладкой горизонтальной поверхности. В вершине призмы закреплена ось барабана лебедки (тело 2). Конец троса прикреплен к оси катка (тело 3), который катится без проскальзывания по боковой поверхности призмы (Рис. 8.3). Барабан лебедки и каток — сплошные однородные цилиндры одинаковой массы и одинакового радиуса . К барабану лебедки приложен постоянный вращающий момент .
Получить дифференциальные уравнения движения системы на основе уравнений Лагранжа 2–го рода.
Система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат примем координату призмы и относительную координату оси катка . Вычислим кинетическую энергию системы:
Учитывая, что
получаем:
Рис. 8.3 |
Вычислим обобщенные силы: пусть тогда отсюда
пусть тогда и
отсюда
Уравнения Лагранжа принимают вид:
ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ РАЗБОРА В АУДИТОРИИ И ДЛЯ ЗАДАНИЯ НА ДОМ:
Из сборника задач И.В.Мещерского: 48.12; 48.19; 48.28; 48.26; 48.27; 48.28; 48.29.
Из учебника «ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА - теория и практика»: комплект СР-36.
ЛИТЕРАТУРА:
- Антонов В.И., Белов В.А., Егорычев О.О., Степанов Р.Н. //Курс теоретической механики (теория и практика) – М.: Архитектура – С, 2011 г.
- Мещерский И.В.// Сборник задач по теоретической механике. – Спб.: Лань, 2010 г.
КОНТРОЛЬНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ:
Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 366; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!