Примеры динамического исследования сложных систем

⇐ ПредыдущаяСтр 23 из 26Следующая ⇒

При изучении движения механической системы, как правило, необходимо использовать несколько теорем. Если система состоит из нескольких твердых тел, то в большинстве случаев оказывается удобным (а иногда необходимым) разделить систему на части, рассматривая движение каждого тела, входящего в систему, в отдельности.

Пример 4.15

Призма (тело 1) массы может скользить по идеально гладкой горизонтальной поверхности. В вершине призмы закреплена ось барабана лебедки (тело 2). Конец троса прикреплен к оси катка (тело 3), который катится без проскальзывания по боковой поверхности призмы (Рис. 4.15). Барабан лебедки и каток — сплошные однородные цилиндры одинаковой массы и одинакового радиуса . К барабану лебедки приложен постоянный вращающий момент . Определить движение системы, если в начальный момент времени она находилась в покое.

Система имеет две степени свободы. В качестве параметров, определяющих положение системы примем координату призмы и угол поворота барабана лебедки.

Рис. 4.15

Заметим, что внешние силы, приложенные к системе в целом, не имеют проекций на направление движения призмы (Рис. 4.15). Записывая теорему об изменении количества движения механической системы в проекциях на координатную ось ,

получаем:

где – скорость призмы, а – относительная скорость оси катка. Учитывая, что в начальный момент система находилась в покое, получаем:



Рис. 4.16		Рис. 4.17

Дифференциальное уравнение вращательного движения для барабана лебедки имеет вид (Рис. 4.16):

или, учитывая, что и

Для катка запишем теорему о движении центра масс в проекциях на направление оси (вдоль наклонной плоскости) и дифференциальное уравнение вращения (Рис. 4.17):

Точка является мгновенным центром скоростей катка в его относительном движении. Учитывая, что и , получаем:

Исключая из системы уравнений , силы получаем:

Это уравнение после интегрирования при нулевых начальных условиях принимает вид:

Задача свелась к решению системы уравнений и . Получаем:

Пример 4.16

Каток массы радиуса катится без скольжения по горизонтальной поверхности под действием приложенного к нему постоянного вращающего момента . Трос, намотанный на боковую поверхность катка, сходит с него горизонтально и попадает на неподвижный блок массы и радиуса (Рис.4.18). К свободному концу троса привязан груз массы . Считая каток и блок сплошными однородными цилиндрами определить скорость оси катка . если в начальный момент времени система находилась в покое.

Рассматривая движение каждого из тел системы в отдельности, записываем: теорему о движении центра масс катка в проекциях на горизонтальное направление:

дифференциальное уравнение вращательного движения катка:

дифференциальное уравнение вращательного движения блока:

Рис. 4.18

и теорему о движении центра масс груза в проекциях на вертикальное направление:

Учитывая очевидные кинематические соотношения:

а также тот факт, что

получаем дифференциальное уравнение:

интегрируя которое при нулевых начальных условиях, находим:

Пример 4.17

Колесо скатывается без скольжения по наклонной плоскости, образующей угол с горизонтом (Рис. 4.19). К оси колеса привязан трос, переброшенный через неподвижный блок и прикрепленный к грузу , поднимающемуся по наклонной плоскости, образующей угол с горизонтом. В начальный момент система находилась в покое. Колесо и блок представляют собой сплошные однородные диски с массами и и радиусами и соответственно. Масса груза равна . Коэффициент трения между грузом и наклонной плоскостью равен . Определить скорость оси колеса, натяжение троса на участках и , реакцию оси блока .

Рассмотрим движение каждого из трех тел в отдельности. Силовые схемы представлены на Рис. 4.19.

Колесо совершает плоско-параллельное движение. Одну из осей координат направим вниз по наклонной плоскости (в сторону движения центра колеса). Дифференциальные уравнения движения имеют вид:

Груз движется поступательно:

Тело вращается вокруг неподвижной оси:

Рис. 4.19

Приведенную систему уравнений необходимо дополнить кинематическими соотношениями:

Поскольку масса троса не учитывается, то

Сила трения скольжения между грузом и опорной поверхностью определяется по формуле:

Для определения реакции оси блока используем теорему о движении центра масс (применительно к блоку ):

При решении полученной системы уравнений, прежде всего, необходимо определить скорость оси колеса. Используя уравнения и первое из уравнений , получаем: