Применение теоремы об изменении кинетической энергии к составлению дифференциальных уравнений движения механической системы
Используется теорема об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме:
Пример 5.5
Однородный стержень длины и массы вращается вокруг вертикальной оси под действием постоянного вращающего момента . На стержень действует момент сил сопротивления, пропорциональный угловой скорости . Найти зависимость угловой скорости стержня от угла поворота, если в начальный момент он покоился.
При заданных условиях невозможно вычислить работу момента сил сопротивления
,
так как неизвестна зависимость угловой скорости от угла поворота .
Рис. 5.6 |
Применяем теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме:
.
Кинетическая энергия системы равна:
.
Мощность силы тяжести и силы реакции шарнира равна нулю.
Мощность вращающего момента и момента сил сопротивления равна:
.
Теорема об изменении кинетической энергии принимает вид:
.
Учитывая, что , получаем дифференциальное уравнение вращения стержня:
,
интегрируя которое , получаем: .
ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ РАЗБОРА В АУДИТОРИИ И ДЛЯ ЗАДАНИЯ НА ДОМ:
Из сборника задач И.В.Мещерского: 38.3; 38.4; 38.9; 38.20; 38.24; 38.28; 38.30; 38.24; 38.35; 38.38; 38.40; 38.42; 38.41.
Из учебника «ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА - теория и практика»: комплект СР-32.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 6
ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА
|
|
Пример 6.1
Однородный стержень массы и длиной вращается вокруг горизонтальной оси под действием силы тяжести. В данный момент времени стержень имеет угловую скорость и составляет с вертикалью угол (Рис.6.1). Определить статическую и дополнительную динамическую реакции шарнирной опоры .
В рассматриваемом случае система сил инерции Даламбера может быть приведена к паре сил с моментом и силе инерции ,
где
Рис. 6.1 |
Для определения дополнительных динамических реакций составляем уравнения кинетостатики, предполагая, что активных сил нет, т.е. сила тяжести отсутствует. Получаем:
Для определения «статических» реакций составляем уравнения кинетостатики, предполагая, что отсутствуют силы инерции Даламбера:
Динамические реакции шарнирной опоры представляют собой сумму статических и дополнительных динамических реакций:
Для определения углового ускорения составляем второе уравнение кинетостатики. Заметим, что при определении кинематических характеристик следует учитывать все внешние силы и силы инерции Даламбера:
или Отсюда:
|
|
Пример 6.2
Ломаный стержень левым концом защемлен в стене. По наклонной части стержня под действием силы тяжести скатывается без скольжения однородный цилиндр массы радиуса . Пренебрегая весом балки, определить реакцию заделки как функцию расстояния (Рис. 6.2).
Систему сил инерции цилиндра заменяем силой инерции и парой сил инерции с моментом (Рис. 6.3),
Рассмотрим движение цилиндра. Уравнения кинетостатики для цилиндра имеют вид:
Здесь
где – момент инерции цилиндра относительно оси .
Рис. 6.2 | Рис. 6.3 |
По условию колесо катится без скольжения, следовательно: . Тогда и
Исключая из уравнений кинетостатики силу трения, получаем:
Рис. 6.4 |
Теперь можно вычислить момент пары сил инерции:
Для определения искомых составляющих реакции жесткой заделки составим уравнения кинетостатики для всей системы (Рис. 6.4), состоящей из балки и катящегося по ней цилиндра:
|
|
Из этих уравнений определяем составляющие реакции заделки.
ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ РАЗБОРА В АУДИТОРИИ И ДЛЯ ЗАДАНИЯ НА ДОМ:
Из сборника задач И.В.Мещерского: 41.16; 41.17; 41.21; 41.22; 42.5; 42.7; 42.8.
Из учебника «ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА - теория и практика»: комплект СР-33.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 7
ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 292; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!