Скорость и ускорение точек тела при вращательном движении.
Формула Эйлера.
Пусть за время Δ t тело повернулось на угол Δφ, тогда т. М опишет дугу окружности длиной Δ s (рис.11а). Найдем скорость т.М:
vM = lim Δ s / Δ t = lim ( R ∙ Δφ)/ Δ t = R ∙ω .
Δt 
Δt 
Ускорение касательное :
a τ = d vM / dt = d ( R ∙ ω)/ dt = R ∙ d ω/ dt = R ∙ ε.
Ускорение нормальное :
an = vM 
/ρ = ω2 R 2 / R = ω2 R .
тогда полное ускорение:
аМ = 
= R 
.
Угол наклона полного ускорения к радиусу не зависит от R : tgα = a τ / an = ε / ω2.
Скорость т.М можно найти и с помощью векторного произведения: 
, это и есть формула Эйлера. Здесь 
- радиус вектор точки М (рис 11б). Взяв производную от этой формулы, получим:
= d 
/ dt = d 
/ dt × 
+ × d / dt = 
× 
+ ×( 
× ).
Можно проверить, что первое слагаемое есть - a τ, а второе - an .
Уравнение равнопеременного вращения.
Равнопеременным вращением называется такое вращение, при котором угловое ускорение постоянно ( ε = соnst ).
Но ε = d ω/ dt, разделив переменные и проинтегрировав: 
, получим закон изменения угловой скорости при равнопеременном движении:
ω – ω0 = ε t , или ω = ω0 + ε t. (1)
Учитывая, что ω = dφ / dt , разделяя переменные и интегрируя еще один раз, получим закон равнопеременного вращения: φ = φ0+ ω0 t +1/2 ε t 
(2)
|
|
|
Из уравнения (1) видно, что если ε и ω0 имеют одинаковый знак, то ω по модулю возрастает с течением времени. В этом случае вращение называется равноускоренным. В формуле (2) обычно полагают φ0 = 0, т.к. начальный угол поворота : φ0 зависит от выбора начала отсчета. Если ε = 0, то вращение называется равномерным. φ = φ 
+ ω t - закон равномерного вращения.
Плоско - параллельное движение.
Плоско-параллельным движением называется такое движение, при котором имеется сечение тела, движущееся параллельно некоторой неподвижной плоскости (рис. 12). Очевидно, что точки лежащие на перпендикуляре А1А2 к сечению S, двигаются также, как точка А. Следовательно для изучения движения всего тела достаточно изучить движение сечения S. Положение сечения S определяется положением отрезка АВ (рис.13). Для задания положения отрезка АВ достаточно задать координаты х и у, точки А, а также угол φ между АВ и осью x. Для задания движения сечения S надо задать три функции определяющие х,у и φ в каждый момент времени. Таким образом, уравнения плоско-параллельного движения имеют вид:
Зная эти уравнения можно написать уравнение движения любой точки тела. Если φ = соnst, то тело будет совершать поступательное движение. следовательно, первые два уравнения его и описывают. Если xA и yA= соnst, то тело будет совершать вращательное движение, следовательно его описывает последнее уравнение. Плоское движение можно представить как сумму двух движений: поступательного, вместе с полюсом А и вращательного вокруг точки А.
|
|
|
Теорема о сложении скоростей при плоском движении.
Теорема: Скорость любой точки тела, совершающего плоскопараллельное движение, геометрически складывается из скорости полюса (т.А) и скорости вращения этой точки вокруг полюса.
Из рис.14 видно, что 
. Возьмем производную. Из кинематики точки известно, что d 
/dt = 
; d 
/dt = 
. Обозначим d 
/dt = 
, тогда получим:
- это и есть теорема о сложении скоростей при плоском движении. Очевидно 
- это скорость движения точки В, когда точка А неподвижна, то есть когда тело вращается вокруг полюса А. - это скорость вращения точки В вокруг полюса А. Тогда | АВ. По формуле Эйлера: 
, тогда теорема примет вид: 
.
Данная теорема имеет два следствия:
1. Проекции скоростей двух точек тела, совершающего плоское движение, на линию соединяющую их равны.
2. Конец вектора скорости т.С, лежащей на отрезке АВ(рис 15), делит отрезок, соединяющий концы векторов 
и 
в том же отношении, в каком точка С делит отрезок АВ, то есть АВ/АС=а b / ac
Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 188; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!