Координатный способ задания движения точки.

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 6Следующая ⇒

При этом способе задается 3 функции (при движении в пространстве), определяющие три координаты точки в каждый момент времени. Системы координат могут быть разными, например: прямоугольная декартова, цилиндрическая или сферическая система координат. В первом случае задается: х=х( t ); y =у( t ); z = z ( t ) - это и есть уравнения движения точки (рис.2). в цилиндрической системе координат (рис.3) задаются: ρ= ρ( t ); φ= φ ( t ); z = z ( t ). В сферической (рис.4): φ = φ( t ); θ= θ( t ); r = r ( t ) . если движение задано в какой - то из этих систем координат, то всегда можно перейти к заданию движения в любой из двух других.

Естественный способ задания движения точки.

Он заключается в задании (рис.5):

1) траектории точки: у = f (х),

2) начала отсчета (точка О),

3) положительного направления отсчета,

4) закона движения s = s(t), где s - дуговая

координата.

Естественные оси координат.

Естественные оси двигаются вместе с точкой и изменяют свое положение в пространстве. Этих осей три (рис.6):

касательная, главная нормаль, бинормаль.

Единичный вектор касательной - (тау) направлен по касательной к траектории в сторону положительного отсчета дуги.

Соприкасающаяся плоскость - предельное положение плоскости, проходящей через т. М₁, лежащую на кривой и касательную в

т. М, при стремлении т. М₁ к т. М. Единичный вектор главной нормали - перпендикулярен , лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости траектории. Плоскость перпендикулярная касательной называется нормальной. Единичный вектор бинормали - перпендикулярен соприкасающейся плоскости и направлен в ту сторону, откуда вращение от к , по кратчайшему пути, видно происходящим против часовой стрелки. Плоскость ( , ) называется спрямляющей.

Скорость при векторном способе задания движения.

Пусть за время Δt точка переместилась из М в М (рис.7) , вектор Δ - вектор перемещения. Средней скоростью точки за время Δt называется вектор _ср = Δ /Δt. Скоростью точки в данный момент времени называется предел, к которому стремится отношение вектора перемещения к промежутку времени, за которое оно произошло, при стремлении последнего к нулю :

= lim Δ /Δt

Δt

Из рис. 7 видно, что: ( t ) + Δ = ( t +Δ t ) тогда: Δ = ( t +Δ t ) - ( t ), и

= lim Δ /Δt = lim( (t+Δt) - (t)) / Δt = d / dt.

Δt Δt

то есть, скорость точки в данный момент времени равна первой производной от радиуса вектора по времени. Из рисунка видно, что вектор скорости в данный момент времени занимает положение касательной. Скорость измеряется в м/с.

6 . Ускорение при векторном способе задания движения.

Средним ускорением называется отношение вектора изменения скорости к промежутку времени, за которое оно произошло: _ср=Δ /Δt.

Ускорением точки в данный момент называется предел этого отношения при стремлении промежутка времени к нулю.

= lim Δ / Δ t = lim( (t+ Δ t) - (t))/ Δ t.

Δ t Δ t

Ускорение равно первой производной от скорости или второй производной от радиуса вектора по времени:

= d / dt = d / dt .

Ускорение _ср, а значит и ускорение в данный момент времени - направлено в сторону вогнутости траектории (рис.8). Ускорение измеряется в м/с².

7 . Скорость при координатном способе задания движения.

Известно, что: = d / dt,но = x · + y · + z · , тогда (т.к. , , - const):

= dx / dt · + dy / dt · + dz / dt · , (1)

С другой стороны: = v · + v · + v · . (2)

сравнивая (1) и (2) получим: v _х = dx / dt ; v _у = dy / dt ; v = dz / dt, т.е. проекция скорости на ось равна первой производной от соответствующей координаты по времени. Зная проекции можно найти модуль скорости:

= , а так же направляющие косинусы:

8. Ускорение при координатном способе задания движения.

Известно, что: = d / dt, но = v_x · + v _y · + v_z · , тогда:

= dv_x /d t · +dv_y/d t · +dv_z /dz · , (1)

с другой стороны : = а_х · + а_у· + а _z · . (2)

сравнивая (1) и (2) получим:

а _x = dv _x / dt = d x / dt ; а _y = dv_y / dt = d y / dt ; а = dv_z / dt = d z / dt . то есть: проекция ускорения на ось равна первой производной от проекции скорости на ту же ось, или второй производной от соответствующей координаты по времени.

Модуль ускорения : | | = , направляющие косинусы:

Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 301; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!