Закон Ома в комплексной форме. Треугольник сопротивлений и треугольник проводимостей
Если к цепи, состоящей из последовательно соединенных элементов R , L и C (рисунок3.11),приложено синусоидальное напряжение
u = U m sin(ω t +ψ u ),
то согласно результатам, представленным в разделе 3.5, ток в ней также будет синусоидальным:
i = I m sin(ω t +ψ i ).
Рисунок 3.11 – Одноконтурная электрическая цепь с последовательным соединением сопротивления, индуктивности и ёмкости
На основании 2-го закона Кирхгофа для мгновенных значений тока и напряжений в рассматриваемой цепи можно составить следующее уравнение:
u R + u L +u C = u
| или | 1 t | ||||||
| Ri + L | di | + u C (0)+ | idt = u , | (3.54) | |||
| dt | C ∫ | ||||||
| 0 | |||||||
| где u C (0 ) — начальное напряжение на конденсаторе. | |||||||
Поскольку напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с стоком, на индуктивности опережает, а на ёмкости отстает от тока по фазе на π 
2 , то соотношение (3.54) можно преобразовать к виду
| sin(ω t +ψ | )+ ω LI | π | 1 | π | |||||||||||||||||||||||||||||
| RI | sin | ω t +ψ | + |
| + | I | sin | ω t +ψ | − |
| +
| ||||||||||||||||||||||
| ω C | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| m | i |
| 1 | m | i | 2 | m | i | |||||||||||||||||||||||||
| + | I | m | + u | C | (0 ) = U | m | sin(ω t +ψ | u | ). | (3.55) | |||||||||||||||||||||||
| ω C | |||||||||||||||||||||||||||||||||
и уравнении (3.55) все слагаемые, кроме двух последних в его левой части, не содержат постоянных составляющих, следовательно,
ω1C I m + u C (0)=0.
Уравнение (3.55) должно быть справедливо для любого момента времени t . Рассмотрим далее момент времени t , для которого ω t = 0 . Выражение (3.55) тогда преобразуется в равенство
64
|
|
| X = X L − X C . |
| π | 1 | π | |||||||||||||||||||||||||||||
| RI | m | sin ψ | i | + ω LI | m | sin ψ | i | + |
|
| + | I | m | sin ψ | i | − |
|
| = U | m | sin ψ | u | . | (3.56) | |||||||
| ω C | |||||||||||||||||||||||||||||||
| 2 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||
Используя комплексное представление синусоидальных величин (3.21), уравнение (3.56) представим относительно комплексных амплитуд тока и напряжения:
I m e j ψ i R + ω Le j π2+ ω1C e− j π2= U m e j ψ u ,
откуда, разделив полученное соотношение на 
2 , перейдем к аналогичному равенству для комплексов величин:
| I&{R + j(X L − X C )}= U&. | (3.57) | |||||||
| Из (3.57) окончательно получаем: | ||||||||
| I&= | U& | , I& = U& Y . | (3.58) | |||||
| Z |
| |||||||
Соотношения (3.58) являются законами Ома в комплексной форме, а величины Z
о Y в них определяют соответственно комплексное сопротивление и комплекснуюпроводимость ветви или цепи. Учитывая определение (3.23) для комплексного сопротивления Z согласно (3.57) можем записать:
| & | |||||
| Z | = | U | = Ze j ϕ = R + j( X L − X C )= R + jX . | (3.59) | |
| I& | |||||
Действительная часть R комплексного сопротивления называется активной составляющей сопротивления (активным сопротивлением),коэффициент X в мнимойчасти — реактивной составляющей сопротивления (реактивным сопротивлением):
|
|
|
(3.60)
Полное сопротивление Z ,равное модулю комплексного сопротивления(3.59),определяется выражением
| Z = R2+(X L − X C )2= | R2+ X 2. | (3.61) | |||||||||
| Для величин R , X и Z справедливы следующие соотношения: | |||||||||||
| X | X | L | − X | C | |||||||
| R = Z cos ϕ , X = Z sin ϕ , ϕ = arctg |
| = arctg | , | (3.62) | |||||||
| R | |||||||||||
| R |
| ||||||||||
где ϕ — угол сдвига фаз между напряжением и током.
Формулы (3.61) и (3.62) в теоретической электротехнике интерпретируют символически, как геометрические соотношения между сторонами треугольника сопротивлений —прямоугольного треугольника с катетами R , X и гипотенузой
с (рисунок 3.12, а).
рамках указанной интерпретации формула (3.61), очевидно, есть теорема Пифагора для треугольника сопротивлений,а формулы(3.62) —соотношения междуего катетами и гипотенузой.
|
|
|
Учитывая (3.25) и (3.59), можно получить выражение для комплексной проводимости ветви:
| 1 | 1 | R − jX | R | X | R | X | L | X | C | |||||||||||||||
| Y = | = | = | = | − j | = | − j | − | , | ||||||||||||||||
| Z | R + | jX | R2+ X 2 | Z 2 | Z 2 | Z 2 | Z | 2 | Z 2 | |||||||||||||||
откуда, полагая
65
| g = | R | , | b | = | X L | , | b | = | X C | , | (3.63) | |
| Z 2 | L | Z 2 | C | Z 2 | ||||||||
| перейдем к равенству | ||||||||||||
| Y = | 1 | = Ye− j ϕ = g − j(b | − b )= g − jb . | (3.64) | |||||
| Z |
| L | C | ||||||
| g комплексной | активной | ||||||||
| Действительная часть | проводимости называется | ||||||||
составляющей проводимости (активной проводимостью),коэффициент b в мнимойчасти — реактивной составляющей проводимости (реактивной проводимостью):
| b = b L − b C . | (3.65) |
Полная проводимость Y ,равная модулю комплексной проводимости(3.64),определяется выражением
| Y = g 2+(b | − b | )2 | = g 2 | + b2. | (3.66) | ||||||||
| L | C | ||||||||||||
| Для величин g , b и Y справедливы следующие соотношения: | |||||||||||||
| g = Y cos ϕ , b = Y sin ϕ , | b | b | − b | ||||||||||
| ϕ | = arctg |
| = arctg | L | C | . | (3.67) | ||||||
|
| g | ||||||||||||
| g | |||||||||||||
Формулам (3.66), (3.67) можно сопоставить прямоугольный треугольник с катетами g , b и гипотенузой Y (рисунок 3.12, б). Этот треугольник называется
треугольником проводимостей.
а) б)
Рисунок 3.12 – Треугольник сопротивлений (а) и треугольник проводимостей (б)
Примечания
1 Индуктивное и ёмкостное сопротивления X L и X C являются арифметическими
величинами, зависящими только от параметров элементов и угловой частоты, реактивное же сопротивление X — величина алгебраическая и его знак зависит от соотношения между X L и X C . Аналогичным свойством обладают также индуктивная и
ёмкостная проводимости b L и b C в отношении реактивной проводимости b .
2 Соотношения (3.63) устанавливают связь между активными, индуктивными и ёмкостными сопротивлениями, т.е. величинами R , X L и X C , и соответствующими им
проводимостями g , b L и b C . Как следует из этих формул, в цепи синусоидального тока
активную, индуктивную и ёмкостную проводимости в общем случае нельзя рассматривать как величины обратные соответствующим сопротивлениям.Вчастном случае ветви, содержащей только однотипные пассивные элементы, как следует из (3.32), (3.41) и (3.50), величины g , b L и b C могут быть определены как обратные к
величинам R , X L и X C соответственно.
66
3 Из формул (3.58), (3.61) и (3.66) следует, что действующее значение тока в цепи можно рассчитать как
| I = | U | = | U | , I = UY = U g 2 + (b − b )2 . | (3.68) | |
| Z | R2+( X L − X C )2 | LC | ||||
Соотношения (3.68) называются законами Ома для действующих значений силы тока и напряжения.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 299; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!