Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметром параболы. Выведем каноническое уравнение параболы.

       Из геометрических соотношений: AM = MF ; AM = x + p /2;

MF² = y² + (x – p/2)²

(x + p/2)² = y² + (x – p/2)²

x² +xp + p²/4 = y² + x² – xp + p²/4

y ² = 2 px

       Уравнение директрисы: x = - p /2.

Пример. На параболе у² = 8х найти точку, расстояние которой от директрисы равно 4.

       Из уравнения параболы получаем, что р = 4.

r = x + p /2 = 4; следовательно:

x = 2; y ² = 16; y = ± 4. Искомые точки: M ₁ (2; 4), M ₂ (2; -4).

Поверхности второго порядка. Цилиндрические поверхности. Исследование поверхностей методом сечений.

Поверхности второго порядка.

Уравнение плоскости в пространстве характеризуется тем, что все переменные входят в степенях не выше первой. Поэтому плоскость является поверхностью 1го порядка. Если в уравнение поверхности хотя бы одна переменная входит во 2й степени, то говорят о поверхностях 2го порядка.

Сфера:

Определение. Поверхности второго порядка – это поверхности, уравнения которых в прямоугольной системе координат являются уравнениями второго порядка.

Цилиндрические поверхности.

       Определение. Цилиндрическими поверхностями называются поверхности, образованные множеством параллельных прямых (образующих), проходящих через все точки некоторой фиксированной линии (направляющей).

Рассмотрим поверхности, в уравнении которых отсутствует составляющая z , т.е. направляющие параллельны оси О z . Тип линии на плоскости ХO Y (эта линия называется направляющей поверхности) определяет характер цилиндрической поверхности. Рассмотрим некоторые частные случаи в зависимости от уравнения направляющих :

1) - эллиптический цилиндр.

2)  - гиперболический цилиндр.

2) x² = 2py – параболический цилиндр.

Конической поверхностью называется множество прямых (образующих), проходящих через

Некоторые точки вершины и пересекающие некоторую линию (направляющую).

Конус второго порядка:

Эллипсоид – поверхность, которая подходящим образом подобрана в системе координат и имеет уравнение

т.к. в уравнение текущие координаты входят в четных степенях, то эллипсоид симметричен относительно координатных плоскостей. Числа  полуоси эллипсоида.

Чтобы установить форму эллипсоида, будем пересекать его плоскостями, параллельными координатным плоскостям.

пересечем плоскостью .

Если линия лежит на , то отсутствует, значит, линия пересечения будет иметь вид: . При  получается эллипс с полуосями  и .

             эллипс.

Аналогично рассекаем плоскостью .

Пересечение эллипсоида любой поверхностью дает эллипс.

Однополостный гиперболоид – плоскость, которая в подходящим образом подобранной системе координат задается уравнением:

Имеет 3 плоскости симметрии (координатные плоскости).

---

Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 633; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!