Будем пересекать поверхность плоскостями, параллельными координатным плоскостям.

эллипс с полуосями и .

при любых правая часть >0. чем больше , тем больше полуоси эллипса.

Сечение такой поверхности плоскостью всегда дает эллипс.

гипербола.

Если , то в сечении гипербола, у которой действительная ось – ось ОХ. Если , то в сечении гипербола, у которой действительная ось .

гипербола, у которой действительная ось , а мнимая .

в зависимости от знака правой части получается либо гипербола с действительной осью , либо гипербола с действительной осью .

Двуполостный гиперболоид:

координатная плоскость не пересекает такую поверхность.

если эллипс.

Если - точка.

Пересечение двуполостного гиперболоида плоскостью, параллельной либо эллипс, либо точка, либо пустое сомножество.

гипербола с действительной осью .

Аналогично рассекаем плоскостью .

Всегда получается гипербола с действительной осью .

Эллиптический параболоид:

эллипс

эллипс стягивается в точку.

Сечение этой поверхности другими координатными плоскостями дает параболу.

парабола оси . парабола.

Гиперболический параболоид:

парабола.

парабола. парабола.

гипербола. Если , то действительная ось ОХ, если , то действительная ось .

II . Введение в математический анализ

Функция, область ее определения и способы задания. Сложные и обратные функции.

ФУНКЦИЯ - соответствие y = f ( x ) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой величины x (аргумента, или независимого переменного) соответствует определенное значение другой величины y (зависимой переменной, или функции).

Переменная y называется функцией переменной x , если каждому допустимому значению х соответствует определенное значение y .

Областью определения (существования) функции D ( y ) называется множество всех действительных значений аргумента х (множество всех точек числовой оси), при которых она имеет действительное значение.

Для задания функции необходимо и достаточно знать закон соответствия f , по которому для каждого значения аргумента можно указать единственное значение функции и область определения D ( y ).

Способы задания функций

Функция может быть задана:

Аналитически (формулой): зависимость между аргументом и функцией задается в виде математической формулы. В этой формуле указаны действия, которые нужно произвести над значением аргумента, чтобы получить соответствующее значение функции.

Таблицей: значения аргумента и соответствующие им значения функции записаны в виде таблицы.

Графиком: совокупность точек плоскости, абсциссы которых являются значениями независимой переменной, а ординаты – соответствующими значениями функции, называется графиком данной функции.

Сложная функция.

Пусть функция определена на множестве , а функция на множестве , причем для соответствующее значение . Тогда на множестве определена функция , которая называется сложной функцией от (или суперпозицией заданных функций, или функцией от функции).

Переменную называют промежуточным аргументом сложной функции.

Например, функция есть суперпозиция двух функций и . Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.

Обратная функция.

Пусть задана функция с областью определения и множеством значений Е. если каждому значению соответствует единственное значение , то определена функция с областью определения Е и множеством значений . Такая функция называется обратной к функции и записывается в следующем виде: . Про функции и говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию , обратную к функции , достаточно решить уравнение относительно (если это возможно).

Пример. Для функции обратной функцией является функция ;

Пример. Для функции , обратной функцией является ; заметим, что для функции заданной на отрезке , обратной не существует, т.к. одному значению соответствует два значения .

Из определения обратной функции вытекает, что функция имеет обратную тогда и только тогда, когда функция задает взаимно однозначное соответствие между множествами и Е. отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную. При этом если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).

Заметим, что функция и обратная ей изображаются одной и той же кривой, т.е. графики их совпадают. Если же условиться, что, как обычно, независимую переменную (т.е. аргумент) обозначить через , а зависимую переменную через , то функция обратная функции запишется в виде .

Графики взаимно обратных функций и симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

23. Свойства (четность, периодичность, монотонность, ограниченность) и графики функций.

1. Функция , определенная на множестве , называется четной, если выполняются условия и нечетной, если выполняются условия и .

График четной функции симметричен относительно оси , а нечетной – относительно начала координат.

2. Функция , определенная на множестве , называется периодической на этом множестве, если существует такое число , что при каждом значение и При этом число называется периодом функции. Если - период функции, то ее периодами будут также числа , где Так, для периодами будут числа Основной период (наименьший положительный) – это период . Вообще обычно за основной период берут наименьшее положительное число , удовлетворяющее равенству

3. Функция y = f ( x ) называется возрастающей на некотором интервале если для любых х из этого интервала большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. при имеет место неравенство f ( x 1)< f ( x 2) .

Функция y = f ( x ) называется невозрастающей, если на некотором интервале имеет место неравенство f ( x 1)≥ f ( x 2) .

Функция y = f ( x ) называется убывающей на некотором интервале, если для любых х из этого интервала большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. при имеет место неравенство f ( x 1)> f ( x 2) .

Функция y = f ( x ) называется неубывающей, если на некотором интервале имеет место неравенство f ( x 1)≤ f ( x 2) .

Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 195; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 8 9 10 11 121314 15 16 17 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!